Formulas de integracion de Newton-Cotes PDF

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Resumen de cierto capitulo del libro. Incluye un programa en python ...

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Fórmulas de integración de Newton-Cotes Estefanía Martínez Mazuca Métodos numéricos, Ingeniería Física Universidad Autónoma de Querétaro

Resumen Se realizó un programa en python que permite realizar integraciones numéricas. El código está basado en las fórmulas de integración de Newton-Cotes y para cada ecuación utilizada se calcula el error relativo porcentual (εt ) tomando como valor verdadero el obtenido al utilizar la función para realizar integrales en python.

1

Fórmulas de integración de Newton-Cotes

Estas fórmulas son los tipos de integración numérica más comunes, consisten en reemplazar una función complicada o un conjunto de datos por un polinomio de aproximación Z b Z b ∼ I= f (x)dx = fn (x)dx (1) a

a

donde fn (x) es un polinomio de la siguiente forma

fn (x) = a0 + a1 x + · · · + an−1 xn−1 + an xn La integral también se puede aproximar usando segmentos de línea recta, de igual forma pueden utilizarse polinomios de grado superior con los mismos propósitos (figura 1).

1

2

Figura 1: Aproximación de una integral mediante el área bajo a) tres segmentos de línea recta y b) una parábola

Existen formas cerradas y abiertas de las fórmulas de Newton-Cotes, las formas cerradas son aquellas donde se conocen los datos al inicio y al final de los límites de integración y las formas abiertas tienen límites de integración que se extienden más allá del intervalo de los datos.

2

La regla del trapecio

Esta fórmula cerrada de Newton-Cotes es para el caso donde el polinomio de la ecuación (1) es de primer grado Z b Z b I= = f1 (x)dx f (x)dx ∼ a

a

Recordando que una línea recta se puede representar de la siguiente manera

f (b) − f (a) (x − a) (2) b−a El área bajo la línea recta será una aproximación de la integral de f(x) entre los límites a y b  Z b f (b) − f (a) I= f (a) + (x − a) dx b−a a f1 (x) = f (a) +

El resultado de la integración denominada regla del trapecio es I = (b − a)

2.1

f (a) + f (b) 2

(3)

Error de la regla del trapecio

Cuando empleamos la integral bajo una línea recta para aproximar la integral bajo una curva se tiene un error que puede ser importante. Una estimación al error de truncamiento local para una sola aplicación de la regla del trapecio es

3

1 ′′ f (ξ)(b − a)3 (4) 12 donde x está en algún lugar en el intervalo de a a b. La ecuación (4) indica que si la función a integrar es lineal, la regla del trapecio será exacta. De otra manera, para funciones con derivadas de segundo orden y de orden superior puede ocurrir algún error. Et = −

2.2

La regla del trapecio de aplicación múltiple

Una forma de mejorar la regla del trapecio consiste en dividir el intervalo de integración de a a b en varios segmentos, y aplicar el la regla a cada uno de ellos, luego las áreas se suman para obtener el área final bajo la curva. Las ecuaciones resultantes se llaman fórmulas de integración, de aplicación múltiple o compuestas. La figura 2 muestra el formato general y la nomenclatura que se usará para obtener integrales de aplicación múltiple. Hay n + 1 puntos igualmente espaciados (x0 , x1 , x2 ,..., xn ). Por ello existen n segmentos del mismo ancho h=

b−a n

(5)

Figura 2: Formato y nomenclatura para integrales de aplicación múltiple

Si los valores del intervalo a y b se designan como x0 y xn respectivamente, la integral se representa como

4

I=

Z

x1

f (x)dx +

x0

Z

x2

f (x)dx + · · · + x1

Z

xn

f (x)dx xn−1

Sustituyendo la ecuación (3) en cada integral se obtiene I =h

f (x1 ) + f (x2 ) f (x0 ) + f (x1 ) +h +··· 2 2 f (xn−1 ) + f (xn ) · · · +h 2

(6)

agrupando términos " # n−1 X h I= f (x0 ) + 2 f (xi ) + f (xn ) 2 i=1

(7)

y usando la ecuación (5) para expresar la ecuación (7), nos queda en forma general f (x0 ) + 2

n−1 X

f (xi ) + f (xn )

i=1

(8) 2n Se tiene un error con la regla del trapecio de aplicación múltiple al sumar los errores individuales de cada segmento I = (b − a)

n

Et = −

(b − a)3 X ′′ f (ξi ) 12n3

(9)

i=1

donde f (ξi ) es la segunda derivada en un punto ξi , localizado en el segmento i. El resultado se simplifica al estimar el valor promedio de la segunda derivada en todo el intervalo ′′

f¯′′ ∼ = Por ello,

P

n X

f ′′(ξi )

i=1

n

(10)

f ′′(ξi ) ∼ = n f¯′′ y la ecuación (9) queda

(b − a)3 ¯′′ f (11) 12n2 Así, si se duplica el número de segmentos, el error de truncamiento se divide entre cuatro.

3

Ea = −

Reglas de Simpson

Las reglas de Simpson mejoran la regla del trapecio al usar polinomios de grado superior para unir los puntos.

5

3.1

Regla de Simpson 1/3

Esta regla resulta cuando un polinomio de interpolación de segundo grado se sustituye en la ecuación (1) Z b Z b ∼ I= f2 (x)dx f (x)dx = a

a

Si a a y b los designamos como x0 y x2 , y f2 (x) se representa como un polinomio de Lagrange de segundo grado, la integral queda

I=

Z

x2

x0

(x − x1 )(x − x2 ) f (x0 ) (x0 − x1 )(x0 − x2 ) +

(x − x0 )(x − x1 ) (x − x0 )(x − x2 ) f (x1 ) + f (x2 )dx (x1 − x0 )(x1 − x2 ) (x2 − x0 )(x2 − x1 )

Luego de la integración resulta que ∼ h [f (x0 ) + 4f (x1 ) + f (x2 )] I= (12) 3 Esta ecuación se conoce como regla de Simpson 1/3, y es la segunda fórmula de integración cerrada de Newton-Cotes. La especificación “1/3” se origina del hecho de que h está dividida entre 3 en la ecuación. La regla de Simpson 1/3 también se puede expresar de la siguiente manera f (x0 ) + 4f (x1 ) + f (x2 ) I∼ = (b − a) 6 Cuyo error de truncamiento es Et = −

(13)

1 5 (4) h f (ξ) 90

o, como h = (b − a)/2 (b − a)5 (4) f (ξ) (14) 2880 donde ξ está en algún lugar del intervalo a y b. La regla de Simpson 1/3 es más exactaque la del trapecio, sin embargo en lugar de que el error sea proporcional a la tercera derivada, es proporcional a la cuarta derivada. Et = −

3.2

La regla de Simpson 1/3 de aplicación múltiple

Al igual que la regla del trapecio, la regla de Simpson 1/3 se mejora al dividir el intervalo de integración en varios segmentos de mayor tamaño, y la integral se puede representar como Z x2 Z x4 Z xn I= f (x)dx + f (x)dx + · · · + f (x)dx x0

x2

xn−2

6 Al sustituir la regla de Simpson 1/3 en cada integral se obtiene

I = 2h

f (x0 ) + 4f (x1 ) + f (x2 ) + 6 2h

f (x2 ) + 4f (x3 ) + f (x4 ) + 6 f (xn−2 ) + 4f (xn−1 ) + f (xn ) (15) · · · +2h 6

o también de la siguiente manera f (x0 ) + 4

n−1 X

f (xi ) + 2

f (xj ) + f (xn )

j=2,4,6

i=1,3,5

∼ (b − a) I=

n−2 X

(16) 3n El error estimado en la regla de Simpson de aplicación múltiple se obtiene de igual forma que los anteriores Ea = −

(b − a)5 ¯(4) f 180n4

(17)

donde f¯(4) es el promedio de la cuarta derivada en el intervalo. En el ejemplo 4 se demuestra que la versión de la regla de Simpson 1/3 de aplicación múltiple da resultados muy precisos, por esta razón, se considera mejor que la regla del trapecio. Sin embargo, está limitada a los casos donde los valores están equidistantes y a situaciones en las que hay un número par de segmentos y un número impar de puntos.

3.3

Regla de Simpson 3/8

De manera similar a la obtención de la regla del trapecio y Simpson 1/3, es posible ajustar un polinomio de Lagrange de tercer grado a cuatro puntos e integrarlo Z b Z b ∼ I= f3 (x)dx f (x)dx = a

a

para obtener

∼ 3h [f (x0 ) + 3f (x1 ) + 3f (x2 ) + f (x3 )] I= 8 Esta ecuación se llama regla de Simpson 3/8 debido a que h se multiplica por 3/8. Ésta es la tercera fórmula de integración cerrada de Newton-Cotes. La regla 3/8 se puede expresar también en la forma ∼ (b − a) f (x0 ) + 3f (x1 ) + 3f (x2 ) + f (x3 ) I= 8

(18)

7 Así los dos puntos interiores tienen pesos de tres octavos, mientras que los puntos extremos tienen un peso de un octavo. La regla de Simpson 3/8 tiene un error de (b − a)5 (4) f (ξ) (19) 6480 Por lo común, se prefiere la regla de Simpson 1/3, ya que alcanza una exactitud de tercer orden con tres puntos en lugar de los cuatro puntos requeridos en la versión 3/8. No obstante, la regla de 3/8 es útil cuando el número de segmentos es impar. Suponga que usted desea una estimación con cinco segmentos, una opción podría ser utilizar una versión de la regla del trapecio de aplicación múltiple. Quizá esto no sea recomendable, sin embargo, debido al gran error de truncamiento asociado con dicho método una alternativa sería aplicar la regla de Simpson 1/3 a los dos primeros segmentos y la regla de Simpson 3/8 a los últimos tres. De esta forma, podríamos obtener un estimado con una exactitud de tercer orden durante todo el intervalo[1] (figura 3). Et = −

Figura 3: Ilustración del uso conjunto de las reglas de Simpson 1/3 y 3/8 para aplicaciones múltiples con números impares de intervalos

8

4 4.1

Ejemplos Ejemplo 1. Aplicación de la regla del trapecio

Con la ecuación (3) integra numéricamente f (x) = 0.2 + 25x − 200x2 + 675x3 − 900x4 + 400x5 desde a = 0 hasta b = 0.8. El valor exacto es 1.640533 4.1.1

Solución

Al evaluar la función en los límites a y b f (0) = 0.2 f (0.8) = 0.232 sustituyendo los valores en la ecuación (3) se obtiene 0.2 + 0.232 = 0.1728 I∼ = 0.8 2 la cual representa un error verdadero de Et = 1.640533 − 0.1728 = 1.467733 En situaciones reales, tal vez no conozcamos previamente el valor verdadero. Por lo tanto, se requiere una estimación del error aproximado. Para obtener dicha estimación se calcula la segunda derivada de la función en el intervalo. Derivando dos veces la función original f ′′(x) = −400 + 4050x − 10800x2 + 8000x3 el valor promedio de la segunda derivada se calcula como Z 0.8 (−400 + 4050x − 10800x2 + 8000x3 )dx 0 f¯′′(x) = 0.8 − 0 f¯′′(x) = −60 el resultado se sustituye en la ecuación (4) y el resultado es 1 (−60)(0.8)3 = 2.56 12 Aunque existe una discrepancia, ya que en un intervalo de ese tamaño, el promedio de la segunda derivada no es necesariamente una aproximación exacta de f ′′ (ξ). Así, indicamos que el erorr es aproximado mediante la notación Ea, y no exacto usando Ef Ea = −

9

4.2

Ejemplo 2. Regla del trapecio de aplicación múltiple

Use la regla del trapecio con dos segmentos para estimar la integral de f (x) = 0.2 + 25x − 200x2 + 675x3 − 900x4 + 400x5 desde a = 0 hasta b = 0.8. El valor exacto es 1.640533 4.2.1

Solución h=

0.8 − 0 = 0.4 2 f (0) = 0.2

f (0.4) = 2.456 f (0.8) = 0.232 Sustituyendo los valores en la ecuación (8) obtenemos I = 0.8

0.2 + 2(2.456) + 0.232 = 1.0688 4

Et = 1.640533 − 1.0688 = 0.57173 Ea = −

ǫt = 34.9%

0.83 (−60) = 0.64 12(2)2

Observe como el error va disminuyendo a medida que n crece, sin embargo el error disminuye de forma gradual, si se usaran fórmulas de grados superiores además de dar un resultado más exacto convergerían al resultado en forma más rápida

4.3

Ejemplo 3. Aplicación simple de la regla de Simpson 1/3

Con la ecuación (13) integre f (x) = 0.2 + 25x − 200x2 + 675x3 − 900x4 + 400x5 desde a = 0 hasta b = 0.8. El valor exacto es 1.640533

10 4.3.1

Solución f (0) = 0.2 f (0.4) = 2.456 f (0.8) = 0.232

Por lo tanto, la ecuación (13) se utiliza para calcular 0.2 + 4(2.456) + 0.232 I∼ = 0.8 = 1.367467 6 que representa un error de Et = 1.640533 − 1.367467 = 0.2730667

ǫt = 16.6%

El error estimado es Ea = −

4.4

(0.8)5 (−2400) = 0.2730667 2880

Ejemplo 4. Regla de Simpson 1/3 de aplicación múltiple

Utilice la ecuación con n = 4 para estimar la integral de f (x) = 0.2 + 25x − 200x2 + 675x3 − 900x4 + 400x5 desde a = 0 hasta b = 0.8, recuerde que la integral exacta es 1.640533 4.4.1

Solución h=

0.8 − 0 = 0.2 4

f (0) = 0.2

f (0.2) = 1.2

f (0.884) = 2.456

f (0.6) = 3.464

f (0.8) = 0.232 Sustituyendo los valores en la ecuación (16) obtenemos I = 0.8

0.2 + 4(1.288 + 3.464) + 2(2.456) + 0.232 12 I = 1.62347

11

Et = 1.640533 − 1.623467 = 0.017067 Ea = −

4.5

ǫt = 1.04%

0.83 (−60) = 0.017067 180(4)4

Ejemplo 5. Regla de Simpson 3/8

a) Con la regla de Simpson 3/8 integre f (x) = 0.2 + 25x − 200x2 + 675x3 − 900x4 + 400x5 desde a = 0 hasta b = 0.8 b) Úsela junto con la regla de Simpson 1/3 con la finalidad de integrar la misma función en cinco segmentos. 4.5.1

Solución

Para el inciso a) f (0) = 0.2 f (0.5333) = 3.487177

f (0.2667) = 1.432724 f (0.8) = 0.232

Usando la ecuación (18) ∼ (0.8) 0.2 + 3(1.432724 + 3.487177) + 0.232 = 1.519170 I= 8 Et = 1.640533 − 1.51917 = 0.1213630

ǫt = 7.4%

0.85 (−2400) = 0.1213630 6480 b) Los datos para una aplicación de cinco segmentos (h=0.16) son Ea = −

f (0) = 0.2 f (0.32) = 1.743393 f (0.64) = 3.181929

f (0.16) = 1.296919 f (0.8) = 3.186015 f (0.80) = 0.232

La integral para los dos primeros segmentos se obtiene usando la regla de Simpson 1/3 0.2 + 4(1.296919) + 1.743393 = 0.3803237 I∼ = 0.32 6

12 Para los utlizamos tres segmentos utilizamos la regla 3/8 para obtener ∼ 0.48 1.743393 + 3(3.186015 + 3.181929 + 0.232 = 1.264754 I= 8 El área total se calcula sumando los dos resultados I = 0.3803237 + 1.264753 = 1.645077 Et = 1.640533 − 1.645077 = −0.00454383 ǫt = −0.28% Considere que, como en el caso de las reglas de Simpson 1/3 y 3/8, las fórmulas de cinco y seis puntos tienen el mismo orden de error. Esta característica general se satisface para fórmulas con más puntos. Sin embargo, se debe resaltar que, en la práctica de la ingeniería, las fórmulas de grado superior (es decir, con más de cuatro puntos) son poco utilizadas. Las reglas de Simpson bastan para la mayoría de las aplicaciones. La exactitud se puede mejorar al usar la versión de aplicación múltiple[1].

5 5.1

Problemario Problema 21.1

Evalúe la integral siguiente: Z

π 2

(8 + 4cosx)dx

0

a) en forma analítica; b) con una sola aplicación de la regla del trapecio; c) con aplicación múltiple de la regla del trapecio, con n =2 y 4; d) con una sola aplicación de la regla de Simpson 1/3; e) con la aplicación múltiple de la regla de Simpson 1/3, con n = 4; f) con una sola aplicación de la regla de Simpson 3/8, y g) con aplicación múltiple de la regla de Simpson, con n = 5. Para los incisos b) a g), determine el error relativo porcentual de cada una de las estimaciones numéricas, con base en el resultado del inciso a). 5.1.1

Solución

Para a) Z Z

π 2

π

0

π 2

(8 + 4cosx)dx = 8( 0

Z

0

π

(8 + 4cosx)dx = 8x|02 + 4senx| 02

π 2

π π − 0) + 4(sen − sen0) 2 2

(8 + 4cosx)dx = 4(π + 1) ∼ = 16.5663

13 Se introdujo la fúnción a integrar directamente en el código 1 y se seleccionó la fórmula de integración correspondiente en cada inciso. Dando como resultado: para b) I = 15.7079 εt = 5.1816%

Figura 4: Gráfica usando la regla del trapecio con n=1 para c) con n=2 I = 16.3586

εt = 1.2541%

Figura 5: Gráfica usando la regla del trapecio con n=2 con n=4 I = 16.5148

εt = 0.3110%

14

Figura 6: Gráfica usando la regla del trapecio con n=4 para d) I = 16.5754

εt = 0.0550%

Figura 7: Gráfica usando la regla de Simpson 1/3 con n=1 para e) I = 16.5669

εt = 0.0032%

15

Figura 8: Gráfica usando la regla de Simpson 1/3 con n=4 para f) I = 16.5703

εt = 0.0242%

Figura 9: Gráfica usando la regla de Simpson 3/8 con n=1 para g) I = 16.5667

εt = 0.0020%

16

Figura 10: Gráfica usando la regla de Simpson 3/8 con n=5

5.2

Problema 21.7

Integre la función siguiente tanto analítica como numéricamente. Para las evaluaciones numéricas use a) una sola aplicación de la regla del trapecio, b) la regla de Simpson 1/3, c) la regla de Simpson 3/8, d) la regla de Boole, e) el método del punto medio, f) la fórmula de integración abierta de 3 segmentos y 2 puntos, y g) la fórmula de integración abierta de 4 segmentos y 3 puntos. Calcule los errores relativos porcentuales de los resultados numéricos. Z 1 15−2x dx 0

5.2.1

Solución

Se calcula el valor de la integral analiticamente 1 Z 1 15−2x  15−2(1) − 15−2(0) −2x 15 dx = − = − 2ln(15) 2ln(15)  0 0 Z

1

15−2x dx =

0

112 ∼ = 0.1838 225ln(15)

Se introdujo la fúnción a integrar directamente en el código 1 y se seleccionó la fórmula deintegración correspondiente en cada inciso. Dando como resultado: para a) I = 0.7855 εt = 327.3650%

17

Figura 11: Gráfica usando la regla del trapecio con n=1 para b) I = 0.2767

εt = 50.5506%

Figura 12: Gráfica usando la regla de Simpson 1/3 con n=1 para c) I = 0.2329

εt = 26.7448%

18

Figura 13: Gráfica usando la regla de Simpson 3/8 con n=1 para d) I = 0.1926

εt = 4.8328%

Figura 14: Gráfica usando la regla de Boole para e) I = 0.0223

εt = 87.8565%

19

Figura 15: Gráfica usando el método del punto medio para f) I = 0.0487

εt = 73.4618%

Figura 16: Gráfica usando la fórmula de integración abierta de 3 segmentos y 2 puntos para g) I = 0.1191

εt = 35.1701%

20

Figura 17: Gráfica usando la fórmula de integración abierta de 4 segmentos y 3 puntos

6

Código

Código 1: Formulas de integración de Newton-Cotes im port im port im port im port

math m atplotlib . pyplot as plt num py as np sym py as sp

# Fun cion trapecio a p l i c a c i n multiple def tr (n , a ,b ): r =0 h=(b-a)/n x1 = np . ze ro s (( n +1) ) y1 = np . ze ro s (( n +1) ) x1 [0] , x1 [n ]=a ,b y1 [0] , y1 [ n ]= f (a ) ,f (b ) for i in ran ge (1 , n ) : x1 [ i ]= a +( i *h ) y1 [ i ]= f ( x1 [ i ]) r += y1 [ i] I =( b -a ) *( f ( a) +( 2* r ) +f (b ) ) /( 2* n ) prin t ( x1 , y1 ) return I , y1 , x1 # Regla de sim pson 1/3 def si mp 13 (n , a ,b ): if n ==1: n =2 r1 , r2 =0 ,0 h=(b-a)/n

21 x1 = np . ze ro s (( n +1) ) y1 = np . ze ro s (( n +1) ) x1 [0] , x1 [n ]=a ,b y1 [0] , y1 [ n ]= f (a ) ,f (b ) for i in ran ge (1 , n ,2) : x1 [ i ]= a +( i *h ) y1 [ i ]= f ( x1 [ i ]) r1 += y1 [i] for i in ran ge (2 , n ,2) : x1 [ i ]= a +( i *h ) y1 [ i ]= f ( x1 [ i ]) r2 += y1 [i] I =( b -a ) *( f ( a) +( 4* r1 ) +( 2* r2 ) +f (b ) ) /( 3* n ) return I , y1 , x1 # Regla de sim pson 1/8 def si mp 18 (n , a ,b ): I1 =0 x1 = np . ze ro s (( n +...