Integracion por sustitucion de variable PDF

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teoria y ejercicios de Integracion por sustitucion de variable...

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3.4. Métodos de integración Método de sustitución Consiste en la introducción de una nueva variable con el objeto de reducir el problema de integrar una composición de funciones a integrar una función más sencilla. Pretendemos calcular una integral ∫ h(x).dx , en la que somos capaces de reconocer que: h(x) = f (g(x)).g´(x) y supongamos que ∫ f (t).dt = F (t) + C nos resulta fácil de obtener. Entonces, en la integral que nos dan

∫ h(x).dx = ∫ f (g(x)).g´(x).dx debemos hacer el cambio de variables siguiente: t = g(x) , dt = g´(x).dx Queda así ∫ f (t).dt = F (t) + C = F (g(x)) + C EJEMPLO 1: Cálculo de integrales de la forma ∫ f (g(x)).g´(x).dx utilizando el método de sustitución 1. Calcular ∫ (x2 + 1)5 .2x.dx Solución:

∫ (x2 + 1)5 .2x.dx

Haciendo el cambio de variables: t = x2 +1 dt = (x2 +1)´.dx = 2.x.dx La integral queda entonces:

∫ t 5 .dt =

1

1 6 2 6 6 .t + C = 6 .(x + 1) + C

2. Calcular ∫

2.x 2

.dx

x −2

Solución:

∫

2.x

.dx puede escribirse también x −2 ∫ 2.x.(x 2 − 2)−1 dx = ∫(x 2 − 2)−1.2x.dx 2 Haciendo el cambio de variables: t = x -1 2

2

dt = (x -1)´.dx = 2.x.dx La integral queda entonces:

∫ t −1.dt = ln(t) + C = ln(x2 − 2) + C 12.x3 + 5 2 .dx (3.4 x + 5x + 2)

3. Calcular ∫

Solución: 12.x3 +5

3

∫(3.x 4 +5x +2) 2.dx = ∫(12.x +5)(3.x

4

−2

4

+5x +2) .dx= ∫ (3.x +5x +2)

−2

3

.(12x +5).dx

4

Haciendo el cambio de variables: t = 3.x +5.x +2

dt =(3.x4 +5.x +2)´.dx = (12.x3 +5).dx La integral queda entonces:

∫t −2 .dt =

1

.t C −2+1

− 2+ 1

+ C = (−1).t

−1

+ C = (−1).(3x

4

+ 5x + 2)

−1

+

Repasamos entonces los pasos de éste método: a) Llamar t a g(x) y sustituir todas las g(x) por t en la integral. b) Sustituir g´(x).dx por dt. c) Calcular la ∫ f (t).dt como si t fuese, simplemente, la variable de integración (obteniendo una primitiva que depende de t). d) Reemplazar t por g(x) en la primitiva obtenida en c). Muchas veces la integral a resolver no es exactamente de la forma: ∫ f (g(x)).g´(x).dx , sino una que difiere de ella en una constante multiplicativa; en ese caso, debemos ajustar el diferencial como veremos en el siguiente ejemplo. EJEMPLO 2. Cálculo de una primitiva mediante el método de sustitución (ajuste del diferencial)

1. Calcular ∫ (x 2 + 1)5 .x.dx Solución:

∫ (x 2 + 1)5 .x.dx

Haciendo el cambio de variables: t = x2 +1 dt = (x2 +1)´.dx = 2.x.dx Para reemplazar en la integral tenemos que ajustar el diferencial. dt = x.dx

2

La integral queda entonces: t5.

1 1 6 1 6 1 2 dt 1 1 5 6 5 2 = ∫ t .dt. 2 = 2 .∫t .dt = 2 . 6.t + C = 12 .t + C = 12 .(x + 1) + C

2. Calcular ∫e2 x+1.dx Solución:

∫ e2 x+1.dx Haciendo el cambio de variables: t = 2.x +1 dt = (2.x +1)´.dx = 2.dx Para reemplazar en la integral tenemos que ajustar el diferencial. dt = dx

2

La integral queda entonces:

∫e t .

dt

1 1 1 t 1 2 x+1 t t +C 2 = ∫ e .dt. 2 = 2 .∫e .dt = 2 .e + C = 2 .e

3. Calcular ∫ x.3 x 2 + 4.dx Solución:

∫ x.3

x 2 + 4.dx = ∫ 3 x 2 + 4.x.dx = ∫ (x 2 + 4) 13 .x.dx 2 Haciendo el cambio de variables: t = x + 4 dt = (x2 + 4)´.dx = 2.x.dx Para reemplazar en la integral tenemos que ajustar el diferencial.

dt = x.dx 2 La integral queda entonces: 1 1 1 1 dt

∫

1

1

1 +1

. t 3 . 2 = 2 .∫t 3 .dt = 2 . ( t + 1) 3

1

3

1

. + C =2 . 4 3 t

1 3

4

. 3 + C = 2 . 4t

4

3

3

3

= 8 .t 43 + C = 8 .(x 2 + 4) 43 + C El método de sustitución también puede aplicarse en integrales de la forma: ∫ f (x). f ´(x).dx En ese caso, el cambio de variables consiste en llamar: t = f(x), dt = f´(x).dx como veremos en el siguiente ejemplo. EJEMPLO 3: Cálculo de integrales de la forma ∫ f (x). f ´(x).dx , mediante el método de sustitución. Calcular ∫ x −1.ln x.dx Solución:

∫ x −1.ln x.dx = ∫ ln x.x −1dx = ∫ln x.

1

x .dx

Haciendo el cambio de variables: t = ln x dt = (ln x)´.dx = 1/x.dx La integral queda entonces:

∫ t.dt =

1

1 2 2 2 .t + C = 2 .(ln x) + C

Integrales definidas utilizando el método de sustitución Cuando calculamos una integral definida usando el método de sustitución, debemos tener cuidado con los límites de integración. Si la integral a calcular es ∫b f (g(x)).g´(x).dx podemos proceder de dos a

maneras. • Una vez hecha la sustitución se vuelve a la variable original, sin cambiar los límites de integración. Esto es, usando la regla de Barrow

+C=

∫b

f (g(x)).g´(x).dx = F (g(b)) − F (g(a))

a

•

Hecha la sustitución, se cambian los límites de integración sin volver a la variable original. Llamando t = g(x) resulta dt = g´(x).dx

Con ésta sustitución cuando x = a es t = g(a) cuando x = b es t = g(b) entonces b

g ( b)

∫ f (g(x)).g´(x).dx = ∫ f (t).dt a

g ( a)

Y se resuelve la integral de la derecha.

EJEMPLO 4: Integración por sustitución en una integral definida 2

Encontrar ∫ 4.x. 2.x 2 + 1.dx 0

Solución: •

Utilizando el primer camino:

Calculamos primero la primitiva. Llamando t = 2.x2 +1 resulta dt = 4.x.dx

∫ 4.x. 2.x2 +1.dx= ∫

t.dt = ∫t 12 .dt = 1

1

2+1

1 +1

1.

3

2

3

.t 2 +C = 3 t 2 +C= 3.(2x 2 +1) 2 +C 2

Así 2

2

∫2 4.x. 2.x +1.dx = .(2x +1) 2

3

0

•

2

3

2

2 3 2 52 2 3 = .[(2.22 +1) 32 −(1) 2]= .[9 2 −1] = .(27−1) = 3 3 3 0 3

Usando el segundo camino

Hacemos 2

t = 2.x +1 con lo cual dt = 4.x.dx cambiamos los límites de integración cuando x = 0 resulta t = 1 cuando x = 2 resulta t = 9 Entonces sin volver a la variable original, calculamos 2 3 ∫ 2 4.x. 2.x 2 + 1.dx = ∫9 t .dt = .t 2 0

1

3

9

= 1

3 2 2 52 .[9 2 −1] = .(27−1) = 3 3 3...