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SOLUCIONARIO INTEGRACION POR PARTES SESIÓN 3 Tema: Integración por Partes 1. Usando el método de integración por partes calcula las siguientes integrales:  xe dx x a) Solución: En primer lugar, según el método de ILATE, identificamos a x como Algebraica y e x como Exponencial. ILATE Sea u  x , su ...

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SOLUCIONARIO INTEGRACION POR PARTES

SESIÓN 3 Tema: Integración por Partes 1.

Usando el método de integración por partes calcula las siguientes integrales: a)

 xe dx x

Solución: En primer lugar, según el método de ILATE, identificamos a x como Algebraica y e x como Exponencial.

ILATE

Sea u  x , su diferencial es du  dx. Además, sea dv  e x , integrando sería v  e x .

Ahora aplicando la definición  udv  uv   duv , se obtiene

 xe dx

 xe x   e x dx

x

 xe x  e x  c  e x ( x  1)  c

b)

 x ln( x)dt Solución: En primer lugar, según el método de ILATE, identificamos a x como Algebraica y ln x como Logarítmica.

ILATE

x2 1 Sea u  ln x , su diferencial es du  dx. Además, sea dv  x , integrando sería v  . 2 x

Ahora aplicando la definición  udv  uv   duv , se obtiene

 x ln xdx

c)

x

2

 x2  x2  1   ln x       2  x  2 



x 2 ln x x   c 2 2



x 2 ln x x 2  c 2 4

sen( x) dx

Solución: 2 En primer lugar, según el método de ILATE, identificamos a x como Algebraica y sen( x) como

Trigonométrica.

ILATE

Sea u  x 2 , su diferencial es du  2 xdx. Además, sea dv  senx , integrando sería v   cos( x). 1

SOLUCIONARIO INTEGRACION POR PARTES

Ahora aplicando la definición  udv  uv   duv , se obtiene

 x sen( x) dx 2

 x2 ( cos( x))    cos( x)(2 x)  c

  x 2 cos( x)  2 x cos( x)  c

  x2 cos( x)  2( A) ….. (I)

Se considera A   (cos( x))( x)dx

Sea u  x , su diferencial es du  dx. Además, sea dv  cos( x)dx , integrando sería v  sen( x).

Ahora aplicando la definición  udv  uv   duv , se obtiene

 x cos( x)dx  xsen( x)   sen( x)dx  c  xsen( x)  ( cos( x)  c

 xsen( x)  cos( x)  c ….. (II)

(II) en (I):

  x2 cos( x)  2(sen( x)  cos( x))  c

  x2 cos( x)  2sen( x)  2cos( x)

d)

 ln( x)dx

 cos(2  x2 )  2 xsenx

La integral se puede escribir  1.ln( x)dx En primer lugar, según el método de ILATE, identificamos Solución:

a 1  x0 como Algebraica y ln x como Logarítmica.

ILATE

1 Sea u  ln x , su diferencial es du  dx. Además, sea dv  x0 dx , integrando sería v  x. x

Ahora aplicando la definición  udv  uv   duv , se obtiene

 x ln xdx

1  x ln x   x    x

 x ln( x)  1  c  x ln( x)  x  c

2

SOLUCIONARIO INTEGRACION POR PARTES

e)

 ln

2

( x)dx

Solución: En primer lugar, según el método de ILATE, identificamos a x 0 como Algebraica y ln 2 x como Logarítmica.

ILATE

Sea u  ln 2 x , su diferencial es du 

0 2ln x dx. Además, sea dv  x dx , integrando sería v  x. x

Ahora aplicando la definición  udv  uv   duv , se obtiene

 x ln xdx

 2ln( x)   x ln 2 x   x    x 

 x ln 2 ( x)   2ln( x)  c

 x ln 2 ( x)  2( x ln( x)  x)  c

 x ln 2 ( x)  2 x ln( x)  2 x  c

f)

 ( x  1)e

x2

dx

Solución:

En primer lugar, según el método de ILATE, identificamos a x  1 como Algebraica y e x  2 como Logarítmica.

ILATE

Sea u  x  1 , su diferencial es du  dx. Además, sea dv  e x 2 , integrando sería v  e x  2 .

Ahora aplicando la definición  udv  uv   duv , se obtiene

 x ln xdx

 ( x  1)e x  2   e x  2

 ( x  1)e x2  e x 2  c

 ( x  1)e x2  e x 2  c

 ( x  1  1)e x2

= xe x  2

g)

e

x

sin( x)dx

Solución: x En primer lugar, según el método de ILATE, identificamos a e como Exponencial y sen( x)

como Trigonométrica.

ILATE

Sea u  sen( x) , su diferencial es du  cos( x)dx. Además, sea dv  e x , integrando sería v  e x .

Ahora aplicando la definición  udv  uv   duv , se obtiene 3

SOLUCIONARIO INTEGRACION POR PARTES

 e sen( x) dx x

 e x sen( x)   e x cos( x)  e x sen( x)  A ….. (I)

Se considera A   e x cos( x)

Sea u  cos( x) , su diferencial es du  sen( x)dx.

v  ex .

Además, sea dv  e x dx , integrando sería

Ahora aplicando la definición  udv  uv   duv , se obtiene

e

x

cos( x)  e x cos( x)   e x sen( x)dx

 e x cos( x)   e x sen( x)dx …..(II)

 e sen( x) dx  e sen( x)  (e

(II) en (I): x

x

x

x

 e sen( x) dx  e sen( x)  e

x

x

cos( x)   e x sen( x)dx)

cos( x)   e x sen( x)dx

Considerando  e x sen( x) dx  y

y  e x sen( x)  e x cos( x)  y

2 y  e x (sen( x)  cos( x)) y  ex (

h)

e

ax

sen( x) cos( x)  ) 2 2

cos(bx)dx

Solución: En primer lugar, según el método de ILATE, identificamos a e ax como Exponencial y cos(bx) como Trigonométrica.

ILATE

Sea u  cos(bx) , su diferencial es du  bsen(bx)dx. Además, sea dv  eax , integrando sería

v

e ax . a

Ahora aplicando la definición  udv  uv   duv , se obtiene ax  e cos(bx) dx 

eax cos(bx) eax  (bsen(bx)) a a



eax cos(bx) b ax   e sen(bx) a a



eax cos(bx) b  ( A) ….. (I) a a

4

SOLUCIONARIO INTEGRACION POR PARTES

Se considera A   eax sen(bx)

Sea u  sen(bx) , su diferencial es du  cos( x)dx.

v

Además, sea dv  eax dx , integrando sería

e ax . a

Ahora aplicando la definición  udv  uv   duv , se obtiene ax  e sen(bx) 



eax sen(bx) eax cos(bx)bdx  a a

eax sen(bx) b ax   e cos(bx)dx …..(II) a a

(II) en (I):

ax  e cos(bx) dx ax  e cos(bx) dx ax  e cos(bx) dx



eax cos(bx) b  ( A) a a





 eax cos(bx) b  eax sen(bx) b ax     e cos(bx)dx  a a a a 

eax cos(bx) beax sen(bx) b2 ax   2  e cos(bx)dx a a2 a

Considerando  eax cos(bx) dx  y

y 

y

eax cos(bx) beax sen(bx) b 2   2 ( y) a a2 a

b2 eax  bsen(bx)  y   cos(bx)   2 a  a a 

 b 2  eax  bsen(bx)  y 1  2    cos(bx)   a   a  a 

 a 2  b 2  eax  bsen(bx)  y     cos(bx)   2 a   a  a 

y

y

aeax  bsen(bx)  cos(bx)   2 2 a a b  

eax  a cos(bx)  bsen(bx)  a 2  b2

 a cos(bx)  bsen(bx)  y  eax   a 2  b2  

Reemplazando en y:

e

ax

 a cos(bx)  bsen(bx)  cos(bx) dx  eax   a 2  b2  

5

SOLUCIONARIO INTEGRACION POR PARTES

i)

 (x

2

 3x  1)sin( x)dx

Solución:

2 En primer lugar, según el método de ILATE, identificamos a ( x  x  1) como Algebraica y

senx como Logarítmica.

ILATE

u  x2  3x  1 , su diferencial es du  (2 x  3)dx. Además, sea dv  senxdx , integrando sería

v   cos x.

Ahora aplicando la definición  udv  uv   duv , se obtiene

 (x

2

 3x  1)sin( x)dx  ( x2  3x  1)( cos x)    cos x(2 x  3)  ( x2  3x  1)( cos x)   cos x(2 x  3)

 ( x2  3x  1)( cos x)  A ….. (I)

Se considera A   cos x(2 x  3)dx

Sea u  2 x  3 , su diferencial es du  2dx. v  sen( x).

Además, sea dv  cos( x)dx , integrando sería

Ahora aplicando la definición  udv  uv   duv , se obtiene

 x cos( x)dx  (2x  3)sen( x)   2sen( x)dx

 (2 x  3)sen( x)  2( cos x)  c

 (2 x  3)sen( x)  2cos x  c ….. (II)

(II) en (I):

 ( x2  3x  1)( cos x)  (2 x  3) sen( x)  2cos x  c

 (2 x  3)sen( x)  ( x2  3x  3)cos x  c

j)

 (2 x

2

 5x  2)e x dx

Solución:

En primer lugar, según el método de ILATE, identificamos a (2 x2  5 x  2) como Algebraica y e x como Exponencial.

Sea u  2 x2  5x  2 , su diferencial es du  (4 x  5)dx. Además, sea dv  e x dx , integrando sería

v  ex .

Ahora aplicando la definición  udv  uv   duv , se obtiene

 (2 x

2

 5x  2)e x dx  (2 x2  5x  2)e x   e x (4 x  5) 6

SOLUCIONARIO INTEGRACION POR PARTES  (2 x2  5x  2)e x  A

Se considera A   e x (4 x  5)

Sea u  4 x  5 , su diferencial es du  4dx. Además, sea dv  e x dx , integrando sería v  e x .

Ahora aplicando la definición  udv  uv   duv , se obtiene

e

x

(4 x  5)  (4 x  5)e x   4e x dx

 (4 x  5)e x  4e x  c …..(II)

(II) en (I):

 (2 x2  5x  2)e x  A

 (2 x2  5x  2)e x  ((4 x  5)e x  4e x )  c

k)

 (2 x

 (2 x2  x  1)e x  c

2

 1) ln( x)dx

Solución:

2 En primer lugar, según el método de ILATE, identificamos a (2 x  1) como Algebraica y ln x

como Logarítmica.

1 Sea u  ln x , su diferencial es du  dx. Además, sea dv  2 x2  1 , integrando sería v  4 x  1. x

Ahora aplicando la definición  udv  uv   duv , se obtiene  2 x3   2 x3  x   1  2 x x   ln (2 x  1) ln( x ) dx       3       3  x   2 x3  2 x2  ln x   x     1 3  3 

 2 x3  2 x3  ln x   x   x  3  3(3)

 2 x3  2 x3  ln x   x   x  3  9

 (3x 1) cos( x)dx Solución:

En primer lugar, según el método de ILATE, identificamos a 3x  1 como Algebraica y cos x como Trigonométrica. 7

SOLUCIONARIO INTEGRACION POR PARTES Sea u  3x  1, su diferencial es du  3dx. Además, sea dv  cos xdx , integrando sería v  senx.

Luego, aplicando la definición  udv  uv   duv , se obtiene

 (3x 1) cos( x)dx

 (3x  1)(senx)   3senx

 (3x  1)(senx)  3( cos x)  c

 (3x  1)(senx)  3(cos x)  c

2. La intensidad de amortiguación de los resortes de una moto lineal es estimado por:

A' (t )  15e 0.015t sin(t ) ¿Cómo determinaría la ecuación que describe la amortiguación de

los resortes? Solución:

Recuerde que la ecuación de amortiguación de un resorte es la derivada de la función A(t). Entonces,

dA  15e0.015t sin(t ) dt Y por tanto, A(t ) debe ser antiderivada de A(t ) =

 dt =  15e dA

0.015t

dA , así dt

sin(t )

Resolviendo en A(t ), Según el método de ILATE, identificamos a e0.015t como Exponencial y sen(t ) como Trigonométrica.

Sea u  sen(t ) , su diferencial es du  cos(t )dt. Además, sea dv  e3t /200 dt , integrando sería

v

200e3t /200 . 3

Ahora aplicando la definición  udv  uv   duv , se obtiene

 15e

0.015t

15

sin(t )

  

(200)e3t /200 sen(t ) 200e3t /200   (cos(t )) 3 3

(200)e3t /200 sen(t ) 200e3t /200   (cos(t )) 3 3

(200)e3t /200 sen(t ) 200 3t /200  e cos(t ) ….. (I) 3 3 

Se considera A   e3t /200 cos(t )

Sea u  cos(t ) , su diferencial es du  sen(t )dt. Además, sea dv  e3t /200 dt , integrando sería

v

200e3t /200 3

8

SOLUCIONARIO INTEGRACION POR PARTES

Ahora aplicando la definición  udv  uv   duv , se obtiene 3t /200 cos(t ) e



200e3t /200 cos(t ) 200e3t /200 (sen(t ))dt  3 3



200e3t /200 cos(t ) 200 3t /200  e sen(t )dt …..(II) 3 3 

(II) en (I)

 15e

 15e

0.015t

15

0.015t

15

sen(t )

sen(t )





(200)e3t /200 sen(t ) 200  200e3t /200 cos(t ) 200 3t /200 e sen(t )dt    3 3  3 3 

(200)e3t /200 sen(t ) 200  200e3t /200 cos(t )   3 3  3

Considerando:  e0.015t sen(t )  y

y (200)e3t /200 sen(t ) 200  200e3t /200 cos(t )    15 3 3  3

 200  200 3t /200  e sen(t )dt      3  3  

 200  200 y      3  3 (15)  





y (200)e3t /200 sen(t ) 40000 3t /200 40000  y  e cos(t )      3 9 9  15  15



40000 (200)e3t /200 sen(t ) 40000 3t /200   1  y y e cos(t )           9 3 9    15 



40009 (200)e3t /200 sen(t ) 40000 3t /200  1 cos(t ) y e        9 3 9  15 









40009 1 40000 3t /200  cos(t )  e  y     (200)e3t /200 sen(t )  9 3 3  y



 (9000) sen(t ) 600000cos(t )  y  e3t /200    40009  40009 

Reemplazando en y: 0.015t



3(15)  40000 3t /200  3t /200 cos(t )  sen(t )  e  (200)e 40009  3 

 (9000)e3t /200 sen(t ) 600000e3t /200 cos(t )  y     40009 40009  

e

 (9000) sen(t ) 600000cos(t )   sen(t )  e3t /200   40009  40009 

9

  

SOLUCIONARIO INTEGRACION POR PARTES

3. Una empresa tiene un costo marginal por unidad de su producto dado por C'(x) 

5000ln(x  20) , en donde x es el nivel de producción. Si los costos fijos ascienden a (x  20)2

$ 2000, determine la función de costo.

Solución:

a) El costo C ( x) se determina integrando C '( x) con respecto a x . Así  5000ln( x  20)  C ( x)   C '( x)dx    dx 2  ( x  20)   ln( x  20)   5000  2   ( x  20) 

Para integrar ambos miembros, se emplea la integración por partes usando la técnica de ILATE: -Identificamos a ln( x  20) como Logarítmica y x  20 como Algebraica. Sea u  ln( x  20) , su diferencial es du  v

1 1 . Además, sea dv  , integrando sería x  20 x  20

1 . x  20

Ahora aplicando la definición  udv  uv   duv , se obtiene  ln( x  20)   1    1  1   5000   5000  ln( x  20)         2   x  20   x  20  x  20     ( x  20)   1  2    5000  ln( x  20)       x  20    x  20   

 1   ( x  20)1     5000  ln( x  20)      c   1  x  20      ln( x  20)   5000    ( x  20)1   c x  20    ln( x  20)  1   5000   c x  20  

El valor de C se determina por el hecho de que C (0)  0 . Así, 0  R(0)

  ln(0  20)  1   0  5000  C 0  20    0  250ln(20)  250  C  C  250ln(20)  250

Por tanto

 ln( x  20)  1  C ( x)  5000     250ln(20)  250 x  20  

10

SOLUCIONARIO INTEGRACION POR PARTES

b) El costo total está definido por el costo variable más el costo fijo  ln( x  20)  1  CT ( x)  5000     250ln(20)  250  2000 x  20    ln( x  20)  1   5000     250ln(20)  2250 x  20  

4. El ingreso marginal de una empresa por su producto es I'(x)  10(20  x)e x/20 : determine la función de ingreso. Solución:

I ( x)   I '( x)dx  10(20  x)e x /20 dx

a) El ingreso I ( x) se determina integrando I '( x) con respecto a x . Así Para integrar ambos miembros, se emplea la integración por partes usando el método de ILATE, identificamos a e



x 20

como Exponencial y (20  x) como Algebraica. (ILATE)

Sea u  20  x , su diferencial es du  1.

v  20e x /20 .

Además, sea dv  e x /20 dx , integrando sería

Ahora aplicando la definición  udv  uv   duv , se obtiene

 (20  x)e

 x/20

 (20  x)20e x/20   20e x/20 ( 1)  C

 (20  x)20e x/20   20e x/20 (1)  C

 (20  x)20e x/20  20(20)e x/20  C

 e x/20 (20x  400  400)  C

 e x/20 (20x  400  400)  C  10(20)e x/20  C

 200e x/20  C

El valor de C se determina por el hecho de que I (0)  0 . Así, 0  I (0)

0/ 20  0  200e    C  0  200  C  C  200

Por tanto

I ( x)  200e x /20  200

5. Un fabricante de juegos de video determina que su nuevo juego se vende en el mercado a una

tasa de I'(x)  4000xe0,2x juegos por semana, en donde x es el número por semanas desde el 11

SOLUCIONARIO INTEGRACION POR PARTES

lanzamiento del juego. Exprese las ventas totales, s, como una función de x. ¿Cuántos juegos se venderán durante las primeras cuatro semanas? Solución:

I ( x)   I '( x)dx   4000 xe0,2 x

a) Las ventas I ( x) se determina integrando I '( x) con respecto a x . Así Para integrar ambos miembros, se emplea la integración por partes usando el método de ILATE, identificamos a e0.2x como Exponencial y x como Algebraica.

Sea u  x , su diferencial es du  1. Además, sea dv  e0.2x dx , integrando sería v  5e0.2 x .

Ahora aplicando la definición  udv  uv   duv , se obtiene

 4000xe

  4000  x( 5e  4000  x( 5e

0,2x



 4000 x( 5e0.2x )   5e0.2x  C



0.2x

0.2x

 C

)   5e0.2x  C

)   5e0.2x



 4000 5xe0.2x  5( 5)e0.2x  C





 4000 5xe0.2x  25e0.2x  C  4000(5e0.2x )  x  5   C

 20000(e0.2x )  x  5   C

El valor de C se determina por el hecho de que I (0)  0 . Así, 0  I (0)

 0  20000e0.2(0) (0  5)  C  0  100000  C  C  100000

I ( x)  20000(e0.2 x )  x  5  100000

Por tanto

I (4)  20000(e0.2(4) )  4  5   100000

b) El número de ventas totales durante las 4 primeras semanas es  80879.2135  100000  80879.21  80879

6. Durante el desarrollo de una epidemia a la razón de llegada de casos nuevos a cierto hospital

es igual a C '(t )  5te0,1t , donde t está medido en días, t = 0 es el inicio de la epidemia.

¿Cuántos casos ha tratado en total el hospital cuando t =5 y cuando t=10? 12

SOLUCIONARIO INTEGRACION POR PARTES Solución: C ( x)   C '( x)dx   5t...