Integracion por partes PDF

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teoria y ejercicios de Integracion por partes...

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3.4. Métodos de integración Método de integración por partes. Muchas integrales no pueden encontrarse con los métodos que hemos visto hasta ahora. Sin embargo, hay maneras de cambiar ciertas integrales a formas más fáciles de integrar.

Si f(x) y g(x) son funciones diferenciables de x, por regla del producto tenemos [f(x).g(x)]´ = f ´(x).g(x) + f(x).g ´(x)

Al reordenar términos resulta

[f(x).g(x)]´ - f ´(x).g(x) = f(x).g ´(x) Que es lo mismo que: f(x).g ´(x) = [f(x).g(x)]´ - f ´(x).g(x) Integrando ambos miembros con respecto a x, obtenemos

∫f(x).g ´(x).dx = ∫[f(x).g(x)]´.dx - ∫ f ´(x).g(x).dx

(1)

Sabemos que ∫[f(x).g(x)]´.dx = f (x).g(x) + C Por lo tanto, podemos reescribir (1) en la forma:

∫ f(x).g ´(x).dx = f (x).g(x) + C - ∫f ´(x).g(x).dx Absorbiendo C en la constante de integración obtenemos la fórmula de integración por partes.

Formula de integración por partes

∫ f(x).g ´(x).dx = f (x).g(x) - ∫f ´(x).g(x).dx Esta fórmula expresa una integral ∫f(x).g ´(x).dx , en términos de otra integral ∫f ´(x).g(x).dx , que puede ser más fácil de integrar. Para aplicar la fórmula a una integral dada: ∫ h(x).dx , debemos escribir h(x)como un producto de 2 factores (o partes) escogiendo una función f(x) y una función derivada g´(x). Sin embargo para que la fórmula resulte útil, debemos ser capaces de integrar la parte seleccionada como g´(x). Para ilustrar esto consideremos:

∫ x.e x .dx Esta integral no puede determinarse con las fórmulas de integración previas. Una manera de escribir x.ex en la forma f(x).g´(x) es haciendo x f(x) = x y g´ (x) = e Para aplicar la fórmula de integración por partes debemos encontrar f ´(x) y g(x) f ´(x) = 1

y

g (x) = ∫ex .dx = e x

Entonces,

∫ x.ex .dx = f (x).g(x) - ∫f ´(x).g(x).dx = x.e x − ∫1.e x .dx = x.e x − ∫ e x .dx = x.e x − e x + C Cuando se usa la fórmula de integración por partes, algunas veces la “mejor selección” de f(x) y g´(x) puede no ser obvia. En algunos casos una selección puede ser tan buena como otra; en otros, sólo una selección puede ser adecuada. La habilidad para hacer una buena selección (si ésta existe) se adquiere con la práctica y, desde luego, con el procedimiento de ensayo y error. EJEMPLO 1: Integración por partes 1. Encontrar ∫ x3 .ln x.dx utilizando integración por partes.

Solución: Probamos la siguiente selección: f(x) = ln x

y

g´ (x) = x

3

Para aplicar la fórmula de integración por partes debemos encontrar f ´(x) y g(x) 1 g (x) = ∫ x 3 .dx = .x 4 f ´(x) = 1/x y 4 Entonces,

∫ x 3 .lnx.dx = f (x).g(x) - ∫ f ´(x).g(x).dx g´(x) f ( x) 4 4 = ln x. 1 .x − ∫ 1 . 1 .x .dx x 4 4 1 4 1 1 = 4 .x .ln x − 4 .∫ x.x 4 dx 1 4 1 3 = 4 .x .ln x − 4 .∫ x dx 1 1 1 = .x 4 .ln x − . .x 4 + C 4 4 4 1 4 1 = .x .ln x − .x 4 + C 4 16

2. Encontrar ∫ ln x.dx Solución: No podemos integrar lnx con los métodos previos, por lo que trataremos de hacerlo con integración por partes. Para ello escribiremos la integral dada de la forma: ∫1.ln x.dx y haremos la siguiente elección: f(x) = ln x y g´ (x) = 1 Para aplicar la fórmula de integración por partes debemos encontrar f ´(x) y g(x) f ´(x) = 1/x

y

g (x) = ∫1.dx = x

Entonces,

∫ 1.lnx.dx = f (x).g(x) - ∫f ´(x).g(x).dx g´(x) f ( x)

1

= ln x.x − ∫ x .x.dx = x.ln x − ∫1.dx = x.ln x − x + C = x.(ln x −1) + C

EJEMPLO 2: Ejemplo de la integración por partes dos veces Encontrar ∫ x2 .e2 x+1.dx Solución: Sea f(x) = x y g´(x) = e . Entonces f ´(x) = 2.x y g(x) = ∫ e2 x+1.dx (esta integral fue desarrollada en el ejemplo2, ítem 2, obteniendo 2

2x+1

∫ et .

como resultado

dt

=

2

∫x

2

+ C ), por lo tanto g(x)=

1 2 x+1 .e

2

1 e2 x+1. dx .e2 x+1.dx = x 2 . .e2 x+1 − ∫ 2.x. 22

1

. e2x+1

2

1

= 2 .x 2 .e2 x+1 − ∫ x.e2 x+1.dx Para encontrar ∫ x.e2 x+1.dx , usaremos de nuevo la integración por 2x+1 partes. Aquí f(x) = x y g´(x) = e . Entonces f ´(x) = 1 y g(x) = 1 2

∫ x.e

+

2x 1

1

.dx = x. 2 .e2 x+1 − ∫

1

1

1

1

1

1

e2 x+1 2 .dx

= 2 .x.e2 x+1 − 2 .∫ e2 x+1.dx

1

= 2 .x.e2 x+1 − 2 . 2 .e2 x+1 = 2 .x.e2 x+1 − 4 .e2 x+1

∫ x 2 .e2 x+1.dx = Así,

1

1 1 2 2 x+1 − [ 2 .x.e2 x+1 − 4 .e2 x+1 ] + C 2 .x .e

+ 1 1 1 x+1 x+1 = 2 .x 2 .e 2 − 2 .x.e2 + 4.e2 x+1 C 1 1 = 2 .e2.x+1 .(x 2 − x + 2 ) + C

Integrales definidas usando el método de integración por partes. Tenemos que tener cuidado cuando calculamos una integral definida usando el método de integración por partes. Recordemos que

∫ f(x).g ´(x).dx = f (x).g(x) - ∫ f ´(x).g(x).dx En caso de tener que calcular ∫b f(x).g ´(x).dx debemos tener en cuenta a

que los límites de integración deben afectar a los dos términos de la fórmula, a saber:

∫ b f(x).g ´(x).dx = f (x).g(x)

a

b

a

-

∫b f ´(x).g(x).dx a

Veamos un ejemplo: EJEMPLO 3: Integración por partes en una integral definida Encontrar ∫2 x.ln x.dx utilizando integración por partes. 1

Solución: Probamos la siguiente selección: f(x) = ln x y

g´ (x) = x

Para aplicar la fórmula de integración por partes debemos encontrar f ´(x) y g(x) 1 g (x) = ∫ x.dx = 2 .x 2 f ´(x) = 1/x y Así, − ∫2

2

1x

12 .

.x

2

. dx 1

1

∫ 2 x.ln x = (ln x. .x 2 ) 2

1

1

1

1

1 2 2 − .∫2 .x 2 .dx = (ln x. 2 .x ) 2 x 1

1

1

1 2 2 − .∫2 x.dx = (ln x. 2 .x )

2

11

2

2

= (ln x. 1 .x 2 ) − 1 .1 .x 2 2 2 2 1 1 2

= (ln x. 1 .x 2 ) − 1 .x 2 2 4 1

1

2

1

1

1

1

= (ln 2. 2 .22 − ln1. 2 .12 ) − ( 4 .22 − 4 .12 )

1

= (2.ln 2 − 0) − (1 − 4) = 2.ln 2 −

3

4...