Función Cuadrática - Funciones PDF

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Este contenido puede verse en las siguientes clases grabadas:

1. https://www.uade.edu.ar/videos/uadestreaming.aspx?id=nb:cid:UUID:d138926d-99ff-4bc2947c-5558c1ccac6f 2. https://www.uade.edu.ar/videos/uadestreaming.aspx?id=nb:cid:UUID:0f34e133-7661-4f63aa60-52fc25a9cc08 1.

Función Cuadrática

Para iniciar el estudio de las funciones cuadráticas les proponemos que resuelvan el siguiente problema: Cuando se produce una cantidad q (en miles de unidades) de una cierta mercadería, un productor recibe un beneficio mensual en miles de pesos dado por la función: B (q ) = -

1 2 q + 6q - 10 cuyo gráfico se 2

adjunta. Analizar dicho gráfico y responder: a) ¿Cuántas toneladas debe producir dicho productor para obtener el máximo beneficio? ¿Cuál es dicho beneficio máximo? b) ¿Cuánto debe producir si no desea tener pérdidas? Les daremos unos minutos para que respondan las preguntas planteadas y luego resolveremos el ejercicio todos juntos para que corroboren sus respuestas. ¡Atención! Sólo se permite seguir leyendo a quienes hayan resuelto el problema planteado… Para responder al ejercicio planteado bastará analizar el gráfico de la función dada… a) El beneficio máximo lo obtiene al producir 6 mil unidades y dicho beneficio máximo es de $ 8ooo. b) El productor obtendrá ganancias cuando el beneficio resulte positivo y esto ocurre si produce entre 2000 y 10000 unidades. ¿Se imagina haber resuelto el mismo problema si no contáramos con el gráfico? Si bien hubiéramos podido dar respuesta al ítem b), resolviendo la inecuación -

1 2 q + 6q - 10 > 0, ésto 2

nos demandaría mucho más esfuerzo que simplemente leer la información del gráfico; sin embargo, no contamos con las armas para resolver el ítem a) Aquí estudiaremos a las funciones cuadráticas. Aprenderemos a reconocer las distintas formas en que se puede presentar su fórmula y veremos cómo graficarla en cada caso.

1

➢ Función Cuadrática: Esta función responde a la expresión: f:  →  / f (x) =ax2+bx+c (forma polinómica) Donde a , b y c son constantes reales y a  0 Como lo muestra la definición el dominio de una función cuadrática son los números reales: Domf =  Su gráfica es una curva llamada parábola, para recordar su forma realizaremos el gráfico de f ( x ) = x 2, para lo cual nos ayudaremos con una tabla de valores: Si ubicamos los puntos en el gráfico… y = x2

x

0 1 -1 2 -2

02 = 0 2 1 =1

2

(- 1) = 1 2 2 = 4

2

(- 2 ) = 4

Si ahora unimos los puntos… De la observación del gráfico podemos destacar: ➢ La simetría de la gráfica respecto de la recta x=0 (eje de simetría) ➢ La gráfica presenta un mínimo en x=0, el punto del gráfico correspondiente a dicho mínimo coincide con el punto de intersección del gráfico con el eje de simetría. Este punto recibe el nombre de vértice de la parábola, en este caso dicho punto tiene coordenadas (0,0) Realicen ahora el gráfico de f ( x ) = - x 2 … Veamos que sucedió… Podemos observar que al cambiar signo del parámetro “ a ” la gráfica invierte su concavidad, es decir, mientras que en el caso anterior las ramas iban hacia arriba (parábola cóncava positiva), ahora las ramas van hacia abajo (parábola cóncava negativa).

2

El signo del parámetro a , coeficiente de x 2 , determina que las ramas vayan hacia arriba o hacia abajo, es decir que la parábola sea cóncava positiva o negativa respectivamente.

Para realizar el gráfico de una función cuadrática dada en forma polinómica es importante saber identificar: la concavidad de la parábola, su vértice, eje de simetría e intersecciones con los ejes. Veamos como reconocer cada uno de estas características y apliquémoslo a un ejemplo: ì a= 1 Características del gráfico de f ( x) = ax2 + bx + c 2 Ejemplo 1: graficar f (x )= x - 4 x + 3 b = - 4 ➢

Concavidad: Si a >0 el gráfico de y = ax2 + bx + c es una parábola cóncava positiva (las ramas van hacia arriba) y admite un mínimo. Si a 0 parábola cóncava positiva

parábola cóncava negativa (las ramas van hacia abajo) y admite un máximo. Vértice: es el punto de intersección de la curva con el eje de simetría. En dicho punto la gráfica posee un máximo o un mínimo de a cuerdo con la concavidad de la misma. Sus coordenadas son V=( xv , yv ) con

➢

xv =

-b yv=f 2a

-b 2a

xv =

- (- 4) 2.1

= 2 2

y v = f (2)= (2) - 4.(2)+ 3 = 4 - 8 + 3 = - 1

Por lo tanto: V=(2,-1) ➢ Eje de simetría: x=2

➢

Eje de simetría: recta vertical que pasa por el vértice, su ecuación es x = xv

➢

Ceros: se obtienen resolviendo la ecuación: ax 2 + bx + c = 0 para lo cual podemos aplicar la fórmula resolvente: x1,2 =

➢ Vértice:

Ubiquemos los datos en el gráfico:

- b ± b2 - 4 ac 2a

Según cuál sea el valor del discriminante  = b2 – 4ac podrán presentarse las siguientes situaciones:   0 la parábola corta al eje x en dos puntos, por ejemplo:

➢ Ceros En nuestro ejemplo, a partir de la ubicación del vértice y de la concavidad podemos observar que la parábola cortará al eje x en dos puntos. Para hallarlos resolvemos la ecuación x 2 - 4x + 3 = 0 la cual arroja como soluciones : x1 = 1 y x 2 = 3

3

 = 0 la parábola corta al eje x en un punto que coincide con su vértice, por ejemplo

➢ Intersección con el eje y: (0,3) Ubicamos los puntos hallados en el gráfico anterior y buscamos el simétrico del punto (0,3) respecto del eje de simetría, de forma de ganar otro punto por el que pasará nuestro gráfico…

  0 la parábola no corta al eje x, por ejemplo:

Unimos los puntos y obtendremos el gráfico buscado… y = x 2 - 4x + 3

Intersección con el eje y: Se produce en el punto de coordenadas (0, f(0)) =(0,c)

Veamos otro ejemplo donde aplicar lo aprendido: ➢ Ejemplo 2:

4

El costo de producción, en miles de pesos, de x unidades, en miles, de cierto producto está dado por C( x) =

1 2

2 x - 4 x + 11 . Grafique la función costo y determine cuál es el costo mínimo y cuánto debe

producir para obtener dicho costo.

➢ Resolución: Al igual que hicimos con el problema planteado al inicio de esta sección, para responder lo que nos piden podemos ayudarnos con el gráfico de la función costo dada En función del contexto de nuestro problema sólo debemos graficar la porción de curva gráfico de C(x) ubicada en el primer cuadrante puesto que x representa el número de unidades, medido en miles de unidades, y C representa los costos de producción motivo por el cual ambas variables deben ser positivas. 1 2 1 Para nuestra ecuación, f (x )= x 2 - 4 x + 11 b = - 4 2 c = 11 a=

A partir del signo de a podemos observar que la parábola gráfico de C( x) =

1 2 x - 4 x + 11 es cóncava 2

positiva. El valor del parámetro c nos indica que la parábola corta al eje y en el punto (0,11) El vértice de la parábola posee como abscisa xv = y v = C ( 4) =

- 4 = 4 y como ordenada 1 2. 2

1 2 (4) - 4(4) + 11= 3 por lo cual el vértice de la parábola será el punto V = (4,3) y el eje de 2

simetría será la recta de ecuación x=4 Si ubicamos estos datos en un gráfico…

Si ahora unimos los puntos hallados, el gráfico de C(x) nos queda:

A partir de la ubicación del vértice y la concavidad de la parábola podemos afirmar que la parábola no corta al eje x lo cual significa que C(x) no posee ceros es decir Cerf = 

5

A partir del gráfico podemos ver que el costo mínimo es de $3000 y dicho costo corresponde a la producción de 4000 unidades.

2.

Expresión canónica de la función cuadrática

Decimos que una función cuadrática está expresada en forma canónica si la misma responde a la expresión: 2

f ( x) = a( x - xo ) + y0

Veamos cómo se desplaza la curva: 𝒇(𝒙) = 𝒂 (𝒙 − 𝒉)𝟐 + 𝒌 Donde (h, k) es el vértice de la parábola - “h” indica un desplazamiento horizontal de la parábola básica (𝑦 = 𝑥 2 𝑜 𝑦 = −𝑥 2 )según “a” sea positivo o negativo - “k” indica un desplazamiento vertical de la parábola básica (𝑦 = 𝑥 2 𝑜 𝑦 = −𝑥 2 )según “a” sea positivo o negativo - El valor de “a” se relaciona con la amplitud de las ramas

Utilicen el recurso desplazamiento de gráficos y respondan a las siguientes preguntas: ¿Cuáles son los cambios que se producen en el gráfico de la función al variar los valores de a ? 12- ¿Cuáles son los cambios que se producen en el gráfico de la función al variar los valores de x0 e y0? 3- ¿Cómo influye la variación de x0 e y0 en las coordenadas del vértice? 4- ¿Qué información es necesario conocer para poder escribir la ecuación de una parábola en forma canónica? Conclusiones: ➢ Además de determinar la concavidad de la parábola y = ax2 , el coeficiente “ a ” es un factor de escalamiento: la parábola se aproxima al eje x conforme a se aproxima a cero y se aproxima al eje y conforme a aumenta. ➢ El valor de x 0 determina que la gráfica de y = ax2 se desplace x 0 unidades a la derecha si x 0 >0 o x 0 unidades a la izquierda si x 0 0 o y 0 unidades hacia abajo si y 0...