Fundamentos de Física – Volume I – Mecânica – 8ª Edição Halliday, Resnick e Walker Capítulo IV Movimento em duas e três dimensões PDF

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Fundamentos de Física – Volume I – Mecânica – 8ª Edição Halliday, Resnick e Walker Capítulo IV Movimento em duas e três dimensões Resolvido por Nelson Poerschke *01. Um pósitron sofre um deslocamento ∆ ⃗ = 2,0 ̂ − 3,0 ̂ + 6,0 e termina com o vetor posição ⃗ = 3,0 ̂ − 4,0 , em metros. Qual era o veto...

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Fundamentos de Física – Volume I – Mecânica – 8ª Edição Halliday, Resnick e Walker Capítulo IV Movimento em duas... Nathalia Messias

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I IV Fundament os de Fisica Halliday Vol I Mecanica Cap IV Moviment o em duas e t res dimens… Lena Vasco Resolucao Cap 4 Halliday Moviment o em duas e t res dimensoes Miguel Sousa I IV Fundament os de Física Halliday Vol I Mecânica Cap IV João Vict or Galdino Bouzon

Fundamentos de Física – Volume I – Mecânica – 8ª Edição Halliday, Resnick e Walker

Capítulo IV Movimento em duas e três dimensões Resolvido por Nelson Poerschke *01. Um pósitron sofre um deslocamento ∆ ⃗ = 2,0 ̂ − 3,0 ̂ + 6,0 e termina com o vetor posição ⃗ = 3,0 ̂ − 4,0 , em metros. Qual era o vetor posição inicial do pósitron. ∆⃗ = ⃗ − ⃗ =

= ( −2,0

− 2,0 ̂ − 3,0 ̂ + 6,0

→ ⃗ = ∆ ⃗ − ⃗ = 3,0 ̂ − 4,0

) ̂ + ( 6,0

) ̂ − ( 10

)

=

*02. Uma semente de melancia possui as seguintes coordenadas: x = -5,0 m; y = 8,0 m; e z = 0 m. Determine o vetor posição da semente. a) na notação de vetores unitários ⃗=

̂+

̂+

b) como um módulo ⃗ = | ⃗| =

= ( −5,0

( −5,0

) ̂ + ( 8,0

) + ( 8,0

) + (0

) ̂ ) = 9,4

c) como um ângulo em relação ao sentido positivo do eixo x. Como z = 0, observamos que o vetor encontra-se no plano xy. Logo, =

=

=

,

=

,

= −58°

Mas verificamos que o vetor está no segundo quadrante, então o ângulo formado pelo vetor com o eixo x positivo é 180° - 58° = 122°. d) Desenhe o vetor em um sistema de coordenadas dextrogiro.

Se a semente é transportada até as coordenadas (3,00 m, 0 m, 0 m), e) determine o seu deslocamento na notação de vetores unitários. ⃗ = ( −5,0

) ̂ + ( 8,0

) ̂

⃗′ = ( 3,00

) ̂

∆ ⃗ = ⃗′ − ⃗ = ( 3,00

) ̂ − [ ( −5,0

) ̂ + ( 8,0

e) determine o seu deslocamento como um módulo. ⃗ = | ⃗| =

( 8,0

) + ( −8,0

) + (0

) ]̂ = ( 8,0

) ̂ − ( 8,0

) ̂

) = 11

f) determine o seu deslocamento como um ângulo em relação ao sentido positivo do eixo x. =

=

=

=

, ,

= −45°

Como o vetor encontra-se no quarto quadrante, o ângulo em relação ao eixo x positivo é −45°, se medido no sentido horário, ou 360°-45° = 315º, se medido no sentido anti-horário.

*03.

O vetor posição de um elétron é ⃗ = ( 5,0 a) Determine o módulo de ⃗. ⃗ = | ⃗| =

( 5,0

) + ( −3,0

) ̂ − ( 3,0

) + ( 2,0

) ̂ + ( 2,0

) .

) = 6,2

b) Desenhe o vetor em um sistema de coordenadas dextrogiro.

**04. O ponteiro dos minutos de um relógio de parede mede 10 cm da ponta até o eixo de rotação. O módulo e o ângulo do vetor deslocamento da sua ponta devem ser determinados para três intervalos de tempo. a) Determine o módulo do deslocamento da ponta entre as posições correspondentes a quinze e trinta minutos depois da hora. Considerando como eixo y positivo a direção do centro até 12 horas e x positivo a direção do centro até 3 horas teremos: Posição do ponteiro em 15 minutos é ( 0,10 Posição do ponteiro em 30 minutos é ( −0,10 ∆ ⃗ = ⃗ − ⃗ = [( −0,10 ⃗ = | ⃗| =

( 0,10

) ̂] − [0,10

) + ( −0,10

) ̂.

) ̂.

) ̂] = ( −0,10

) = 0,14

) ̂ − ( 0,10

) ̂

b) Determine o ângulo associado ao deslocamento da ponta entre as posições correspondentes a quinze e trinta minutos depois da hora. =

=

=

,

=

= −45°

,

Como o vetor encontra-se no terceiro quadrante, o ângulo em relação ao eixo x positivo é −45° − 90°= −135 , se medido no sentido horário, ou 360°-135° = 225º, se medido no sentido anti-horário. c) Determine o módulo correspondente a meia hora seguinte. Estou considerando que o ponteiro parte da posição de 30 minutos até a posição de hora cheia. Posição do ponteiro em 30 minutos é ( −0,10 Posição do ponteiro em hora cheia é ( 0,10 ∆ ⃗ = ⃗ − ⃗ = [( 0,10

) ̂] − [ −0,10

| ⃗| = 0,20

) ̂.

) ̂.

) ̂] = ( 0,20

) ̂

d) Determine o ângulo correspondente a meia hora seguinte. Estou entendendo que o autor quer o ângulo formado a partir do eixo x positivo, no sentido anti-horário. =

=

=

=

,

= 90°

d) Determine o módulo correspondente a hora seguinte. Em uma hora o ponteiro dos minutos realiza uma revolução, logo o vetor deslocamento, bem como o módulo do deslocamento é zero. e) Determine o módulo correspondente a hora seguinte. Como não há deslocamento, o ângulo é zero. *05. O vetor posição de um íon é, inicialmente, ⃗ = 5,0 ̂ − 6,0 ̂ + 2,0 , e 10 s depois passa a ser ⃗ = −2,0 ̂ + 8,0 ̂ − 2,0 , com todos os valores em metros. Na notação de vetores unitários, qual é a velocidade média ⃗ durante os 10 s? ⃗

=

=

, ̂

∆⃗ ∆

⃗

=

,

̂

⃗

,

=

, ̂

, ̂

= ( −0,70

,

( , ̂

/ ) ̂ + ( 1,4

,

̂

,

)

=

/ ) ̂ − ( 0,40

/ )

Obs: Na versão do livro em português, ⃗ consta como ⃗ = 2,0 ̂ + 8,0 ̂ − 2,0 , o que inviabiliza a resposta que está no final do livro. Na versão em inglês, ⃗ é ⃗ = −2,0 ̂ + 8,0 ̂ − 2,0 o que torna a resposta correta.

*06. A posição de um elétron é dada por ⃗ = 5,00 ̂ − 4,00 em metros.

̂ + 2,00 , com t em segundo e ⃗

a) Qual é a velocidade, ⃗( ) do elétron na notação de vetores unitários? ⃗=

⃗

5,00 ̂ − 4,00

̂ + 2,00

/ ) ̂ − ( 8,00

= ( 5,00

/ ) ̂

b) Quanto vale ⃗ ( ) no instante t = 2,00 s na notação de vetores unitários? ⃗ ( 2 ) = ( 5,00

/ ) ̂ − [8,00(2)

/ ] ̂ = ( 5,00

/ ) ̂ − ( 16,0

/ ) ̂

c) Quanto vale ⃗ ( ) no instante t = 2,00 s como módulo? ⃗ = | ⃗| =

) + ( −16, 0

( 5,00

) = 16,8

d) Quanto vale ⃗ ( ) no instante t = 2,00 s como um ângulo em relação ao sentido positivo do eixo x? =

=

=

,

=

= −72,6° no sentido horário a partir do eixo x positivo.

,

*07. Um trem com uma velocidade constante de 60,0 km/h se move na direção leste por 40,0 min, depois em uma direção que faz um ângulo de 50,0° a leste com a direção norte por 20,0 min e, finalmente, na direção oeste por mais 50 min. Considerando leste no sentido positivo do eixo x e norte no sentido positivo do eixo y. a) Qual é o módulo da velocidade média do trem durante essa viagem. ∆ ⃗ = ( 60

/ ℎ)

⃗ = ( 60

/ ℎ)

∆ ⃗ = ( 20

∆ ⃗ = −( 60

̂ = ( 40,0

/

= 20,0

/

cos 50°) ̂ + ( 20 / ℎ)

/

∆ ⃗ = ∆ ⃗ + ∆ ⃗ + ∆ ⃗ = ( 40,0 ∆ ⃗ = ( 2,8

) ̂

) ̂ + ( 15,3

50°) = ( 12,8

̂ = ( −50,0

) ̂ + ( 12,8

) ̂

) ̂

) ̂ + ( 15,3

) ̂ + ( 15,3

) ̂ + ( −50,0

40min + 20 min + 50 min = 110 min = 1,83 h = |⃗

∆⃗ ∆

|=

=

,

,

̂+

,

,

/ ℎ) + ( 8,36

( 1,53

̂ = ( 1,53

/ ℎ) ̂ + ( 8,36

/ ℎ ) = 8,50

/ℎ

/ ℎ) ̂

b) Qual é o ângulo da velocidade média do trem durante essa viagem. =

=

=

=

,

/

,

/

) ̂

= 79,6° medidos a norte do leste

) ̂

**08. Um avião voa 483 km para leste, da cidade A para a cidade B, em 45 min, e depois 966 km para o sul, da cidade B para a cidade C, em 1,5 h. Para a viagem inteira determine: Considerando leste no sentido positivo do eixo x e norte no sentido positivo do eixo y. a) o módulo do deslocamento do avião. ∆ ⃗ = ( 483

) ̂

∆ ⃗ = ( −966

) ̂

∆ ⃗ = ∆ ⃗ + ∆ ⃗ = ( 483 | ⃗| =

) ̂ − ( 966

) + ( −966

( 483

) ̂

) = 1,08 × 10

b) a direção do deslocamento do avião. =

=

=

=

c) o módulo da velocidade média.

= −63,4° (63,4° a sul do leste ou 26,6° a leste do sul).

0,75 h = 1,5 h = 2,25 h = |⃗

∆⃗ ∆

|=

=

̂−

,

,

/ ℎ) + ( −429

( 215

d) a direção da velocidade média. =

=

=

=

e) a velocidade média escalar média. =

â

∆

=

,

̂ = ( 215

/ ℎ ) ̂ − ( 429

/ ℎ) = 480

/ℎ

/ ℎ) ̂

= −63,4° = 644

/ℎ

**09. A figura mostra os movimentos de um esquilo em um terreno plano, do ponto A (no instante t = 0) para os pontos B(em t = 5,00 min); C(em t = 10,0 min) e, finalmente, D( em t = 15,0 min). Considere as velocidades médias do esquilo do ponto A para cada um dos outros três pontos. Entre essas velocidades médias determine:

⃗

⃗

⃗

⃗

⃗

⃗

⃗

⃗

∆⃗

,

=

,

= ( 0,05 =

,

=

,

∆

,

=

=

= 0,0083

/

∆⃗

=

,

= ( 0,03

∆

=

=

[(

=

–

[(

) ̂ (

) ̂]

/ ) ̂

/ ) = 0,1118

=

) ̂] [ (

) ̂ (

) ̂]

=

) ̂ (

) ̂] [ (

) ̂ (

) ̂]

=

) + ( 0,03

–

–

/ ) ̂

/ ) = 0,0471

(

) ̂ (

( ,

) ̂

(

) ̂ (

) ̂

=

/

) ̂ (

/ ) ̂ + ( 0,03

( 0,03

) ̂] [(

) + ( −0,10

=

∆

,

,

/ ) ̂ − ( 0,10

( 0,05

∆⃗

) ̂ (

[(

=

= ( 0,0083

) ̂

/ ) ̂

=

/

a) o módulo da que possui o menor módulo. ⃗

,

= 0,0083

/

b) o ângulo da que possui o menor módulo. =

=

=

=

= 0°

,

c) o módulo da que possui o maior módulo. ⃗

,

=

( 0,05

) + ( −0,10

/ ) = 0,1118

/

d) o ângulo da que possui o maior módulo. =

=

=

=

, ,

/ /

= −63° (63° a sul do leste)

) ̂ mostra a posição de uma partícula em função do tempo t. ***10. O vetor ⃗ = 5,00 ̂ + ( + O vetor ⃗ está em metros, t está em segundos e e e f são constantes. A figura mostra o ângulo da direção do movimento da partícula em função de t ( é medido a partir do semi-eixo x positivo).

a) Determine e indicando sua unidade. A posição da partícula é ⃗ = 5,00 ̂ + (

) ̂

+

O movimento da partícula pode ser indicado pela derivada da posição. ⃗=

⃗

=

( 5,00 ̂ + ( =

+ =

=

(

) ̂) = 5,00 ̂ + ( + 2 )

,

Consultando o gráfico, verifica-se que (

35°=

= 35°, e

)

/ (

→

35°)

b) Determine f indicando sua unidade.

+ 2

= 0, então

,

+ 2 ( 0 ) = 5,00

Quando

) ̂

= 3,5

/

= 0 , = 14 , então

→

= 0

=

=

,

/

(

)

= −0,125

/

*11. Uma partícula se move de tal forma que sua posição (em metros) em função do tempo (em segundos) é dada por ⃗ = ̂ + 4 ̂ + . a) Escreva a expressão para a sua velocidade em função do tempo. ⃗=

⃗

⃗=

⃗

̂+ 4

̂+

= 8 ̂+

b) Escreva a expressão para a sua aceleração em função do tempo. 8 ̂+

= 8 ̂

*12. A velocidade inicial de um próton é ⃗ = 4,0 ̂ − 2,0 ̂ + 3,0 ; 4,0 s mais tarde, passa a ser ⃗ = −2,0 ̂ − 2,0 ̂ + 5,0 (em metros por segundo). Para esses 4,0 s, determine: a) Qual é a aceleração média do próton na notação de vetores unitários? ⃗

=

∆⃗ ∆

=

⃗

= ( −1,5

|⃗

|=

, ̂

,

̂

,

,

) ̂ + ( 0,5

/

, ̂

/

/

̂

,

,

/

=

, ̂ ,

,

=

)

b) Qual é o módulo da aceleração média do próton? ( −1,5

/

) + ( 0,5

/

) = 1,6

/

c) Qual é o ângulo entre a aceleração média e o semi-eixo x positivo? =

=

=

=

,

/ ,

/

= −18° ou 162°

(162°, pois o vetor está no 2° quadrante).

A posição ⃗ de uma partícula que se move em um plano xy é dada por ⃗ = ( 2,00 5,00 ) ̂ + ( 6,00 − 7,00 ) ̂, com ⃗ em metros e t em segundos.

*13.

−

a) Na notação de vetores unitários, e para t = 2,00 s calcule ⃗. ⃗ = ( 2,00

− 5,00 ) ̂ + ( 6,00 − 7,00 ) ̂,

⃗( 2,00 ) = [2,00(2,00) − 5,00( 2,00) ] ̂ + [( 6,00 − 7,00( 2,00) ] ̂,

⃗( 2,00 ) = ( 6,00

) ̂ − ( 106

) ̂

b) Na notação de vetores unitários, e para t = 2,00 s calcule ⃗. ⃗=

⃗

− 5,00 ) ̂ + ( 6,00 − 7,00 ) ̂ = ( 6,00

( 2,00

− 5,00) ̂ − ( 28,0 ) ̂

− 5,00 ) ̂ − ( 28,0 ) ̂ = [ 6,00( 2,00) − 5,00 ] ̂ − [28,0 ( 2,00 ) ] ̂

⃗ ( 2,00 ) = ( 6,00

⃗ ( 2,00 ) = ( 19,0

/ ) ̂ − ( 224

/ ) ̂

c) Na notação de vetores unitários, e para t = 2,00 s calcule ⃗. ⃗=

⃗

− 5,00 ) ̂ − ( 28,0 ) ̂ = ( 12,0 ) ̂ − ( 84,0 ) ̂

( 6,00

⃗ ( 2,00 ) = [12,0( 2,00) ̂] − [84,0( 2,00) ] ̂ ⃗ ( 2,00 ) = ( 24,0

̂) ̂ − ( 336

/

) ̂

/

d) Qual é o ângulo entre o sentido positivo do eixo x e uma reta tangente à trajetória da partícula em t = 2,00 s? A reta tangente à trajetória é encontrada derivando a posição. É a velocidade instantânea. Então: =

=

=

/

=

,

/

= −85,2°

Analisando as componentes do vetor percebemos que o mesmo encontra-se no quarto quadrante, logo a resposta correta é: 360° - 85,2° = 275°. *14. Em um certo instante um ciclista está 40,0 m a leste do mastro de um parque, indo para o sul com uma velocidade de 10,0 m/s. Após 30,0 s o ciclista está 40,0 m ao norte do mastro, dirigindo-se para leste com uma velocidade de 10,0 m/s. Para o ciclista, durante esse intervalo de 30,0 s, quais são: a) o módulo do deslocamento? ⃗ = ( 40,0

) ̂

∆ ⃗ = ⃗ − ⃗ = ( 40,0 | ∆ ⃗| =

( −40

⃗ = ( 40,0

) ̂ − ( 40,0

) + ( 40,0

) ̂

) ̂ = ( −40,0

) = 56,6

) ̂ + ( 40,0

) ̂

b) a direção do deslocamento? =

=

=

,

=

= −45,0°

,

como o vetor encontra-se no segundo

quadrante, soma-se 180° o que dará a direção 135° a partir do semi-eixo x positivo. c) o módulo da velocidade média? ∆ = 30 |⃗

|=

⃗

=

| ∆ ⃗|

∆

| ∆ ⃗| = 56,6

,

=

= 1,89

/

d) a direção da velocidade média?

=

∆⃗ ∆

(

=

) ̂

,

=

=

(

) ̂

,

,

=

/ ,

= ( −10 /

/ ) ̂ + ( 1,33

/ ) ̂

= −45,0° como o vetor encontra-se no segundo

quadrante, soma-se 180° o que dará a direção 135° a partir do semi-eixo x positivo. e) o módulo da aceleração média? ⃗

= |⃗

⃗− ⃗ ( 10 = ∆

|=

( 0,333

/ ) ̂ − ( −10

/ ) ̂

30

/

) + ( 0,333

/

= ( 0,333 ) = 0,471

/ /

) ̂ + ( 0,333

/

) ̂

f) a direção da aceleração média? =

=

=

=

,

/

,

/

= 45,0°

como o vetor encontra-se no primeiro

quadrante, este é o valor correto (45° a norte do leste, ou 45° a leste do norte). **15. Um carro se move sobre um plano xy com componentes da aceleração = −2,0 / . A velocidade inicial tem componentes = 8,0 / e

= 4,0 / e = 12 / . Na

notação de vetores unitários, qual é a velocidade do carro quando atinge a maior coordenada y?

Primeiramente temos que pensar que se a aceleração em y é negativa, vai chegar um momento em que a velocidade em y chegará a zero. Neste momento o carro atinge a maior coordenada y. Então =

→

+

=

=

/ /

= 6

Como deduzimos anteriormente, na maior coordenada y a velocidade em y é zero, mas resta a velocidade em x. =

+

= ( 8,0

/ ) + ( 4,0

/

) ( 6,0 ) = 32

/

Portanto a velocidade do carro quando atinge y máximo é ( 32

/ ) .̂

**16. Um vento moderado acelera um seixo sobre um plano horizontal xy com uma aceleração constante ⃗ = ( 5,00 / ) ̂ + ( 7,00 / ) ̂. No instante t = 0, a velocidade é ( 4,00 / ) .̂ a) Qual é o módulo da velocidade do seixo após ter se deslocado 12,0 m paralelamente ao

eixo x? Nós temos como dados, a aceleração, a velocidade inicial e o ∆ . Como não temos o ∆ , precisamos encontrar o tempo de deslocamento. ...