Fungsi Geometri Transformasi.pdf PDF

Preview

Summary

Naufal Ishartono, M.Pd. [email protected] Pengertian Transformasi Definisi: Suatu transformasi pada bidang V merupakan fungsi bijektif dari V ke V. Dengan kata lain T: V → V merupakan suatu transformasi jika T merupakan fungsi bijektif, dengan V = {(x,y) | x,y ϵ R}. Fungsi bijektif adalah fungsi yang ...

Description

Naufal Ishartono, M.Pd. [email protected]

Pengertian Transformasi Definisi: Suatu transformasi pada bidang V merupakan fungsi bijektif dari V ke V. Dengan kata lain T: V → V merupakan suatu transformasi jika T merupakan fungsi bijektif, dengan V = {(x,y) | x,y ϵ R}. Fungsi bijektif adalah fungsi yang injektif dan fungsi surjektif.

Fungsi

Fungsi Injektif

Fungsi Surjektif

Suatu fungsi f dari himpunan A kedalam (into) himpunan B, adalah suatu pengawanan yang memasangkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B. Dengan notasi matematika dapat dituliskan f : A ⟶ B merupakan fungsi jika a, b di A, a = b maka f(a) = f(b).

Fungsi f : A ⟶ B disebut fungsi injektif (satu-satu), jika untuk sebarang a, b di A dengan f(a) = f(b) maka a = b.

Fungsi f: A ⟶ B disebut fungsi surjektif (pada/onto), jika untuk setiap b di B terdapat a di A sedemikian sehingga f(a) = b.

Fungsi Bijektif Fungsi f: A ⟶ B disebut fungsi bijektif jika f merupakan fungsi injektif dan surjektif. Seringkali f: A ⟶ B fungsi bijektif maka dikatakan terdapat korespondensi satu-satu antara A dengan B.

Ilustrasi Fungsi Surjektif, Injektif, Bijektif

CONTOH 1. I: V ⟶ V yang didefinisikan sebagai I(x,y) = (x,y) untuk setiap (x,y) di V merupakan transformasi, karena I merupakan fungsi bijektif. Selanjutnya I

disebut transformasi identitas. 2. Bijektif apabila dia harus surjektif dan injektif.

Misalkan

,

=

sehingga diperoleh ′ ,6 .

′

+ ,

=

atau +

dan

′

′ = ′ =

+

→

′,

′

=

. Misalkan pada titik

+ , ,

→

CONTOH Perkawanan T: V → V dengan � , = , + merupakan transformasi, karena:  Perkawanan tersebut merupakan fungsi T: V → V.  Merupakan fungsi Bijektif (Injektif dan Surjektif).

untuk setiap (x,y) di V

Bukti:

 Akan dibuktikan bahwa T merupakan fungsi dari V ke V.

Jawab: ∃ ,

Misal

∈�∋

Karena

= , akan dibuktikan T(A) = T(B).

= { , } dan

=

Berakibat �

= { , } dengan , , ,

maka x = u dan y = v s.d.h. =

, +

=

Maka tebukti bahwa T(A) = T(B).

, +

=

∈ �.

=�

dan .

+

=

+ .

CONTOH

 Akan dibuktikan bahwa T fungsi satu-satu (Fs. Injektif). Bukti: ∃ , ∈ � dengan T(A) = T(B), akan dibuktikan bahwa A = B. Misal A = {x,y} dan B = {u,v}. = , + = , + =� . Maka � Sehingga 2x = 2u dan x + y = u + v. Akibatnya x = u dan y = v. Jadi A = B.  Akan dibuktikan bahwa T fungsi pada (Fs. Surjektif). Bukti: ∃ ∈ �, akan dibuktikan bahwa ∃ ∈ � ∋ T(A) = B. Misal B = {x, y}, dan pilih = , − . Sehingga diperoleh � Jadi terdapat

=

, −

=�

,

−

+

=

,

sedemikian hingga T(A) = B.

= .

LATIHAN Diketahui

,

=

+ ,

. Tentukanlah:

a. Apakah f merupakan transformasi? b. Gunakan rumus f (x,y) pada titik P (-3,2). c. Gunakan rumus f (x,y) pada garis 2x – y – 2 = 0. d. Gambarkan ∆

dan ∆

′ ′

′ jika A (3,1), B (0,-2), C (-2,1) dan �∆

=∆

′ ′

′.

ISTILAH DALAM TRANSFORMASI 1. 2. 3. 4. 5.

Unsur Tetap Kolineasi Identitas Isometri Involusi

1. UNSUR TETAP Definisi: Suatu titik A di V disebut titik tetap dari transformasi T jika T(A)=A. Kemudian suatu garis g disebut garis tetap dari transformasi T jika T(g) = g. Contoh: Apakah T(x,y) = (x + 4, y – 3) memiliki titik tetap? Jawab: Misalkan P (x,y) adalah titik tetap. Maka T(P) = (x + 4, y – 3) = P = (x,y) x+4=x→4=0 y – 3 = y → -3 = 0 Jadi T tidak punya titik tetap.

Soal Latihan: Apakah T(x,y) = (2x + y, x – y) memiliki titik tetap?

2. Kolineasi  Suatu transformasi T disebut punya sifat kolineasi jika t memetakan garis menjadi garis lagi.

 Oleh karena suatu refleksi adalah suatu kolineasi maka setengah putaran juga suatu kolineasi. Ini tidak mengherankan sebab setiap isometri adalah suatu kolineasi.

 Suatu transformasi disebut kolineasi jika hasil transformasi sebuah garis (lurus) akan berupa garis lagi.

 Jadi, jika g adalah garis maka T adalah kolineasi jika T(g) berupa garis, yaitu himpunan titik P’ = T(P) dengan P terletak pada g.

2. Kolineasi (cont’d)

T : (x,0) →(x,x + 1)

Rumus transformasinya adalah merupakan kolineasi?

′ = ′

+

. Apakah

,

=

, +

)

3. Identitas Definisi: Suatu transformasi T disebut transformasi identitas jika T(A)=A untuk setiap A di V. Selanjutnya transformasi identitas dinotasikan sebagai I.

4. Isometri Definisi: Transformasi T disebut Isometri, jika untuk setiap A,B di V berlaku |AB|=|T(A)T(B)| (jika T(A)=A’ dan T(B)=B’). Dalam istilah lain, seringkali suatu transformasi disebut isometri jika mempertahankan jarak. Def: T Isometri jika |AB|=|T(A)T(B)| = |A’B’| Contoh: Diketahui T(x,y) = (y,4x). Apakah T Isometri? Bukti: Bukan Isometri, karena missal ambil sebarang A , dan B( , ) maka terdapat A’ dan B’ dimana ′ = � dan ′ = � . � , = ,4 ′ , , Maka , sehingga didapatkan: , ′ , = ′ ′ − + − = − + 6 − ≠ ′ ′ Jadi T bukanlah isometri.

4. Isometri (cont’d) Soal: 1. Diketahui T(x,y) = (2x,2y). Apakah T sebuah isometri? 2. Diketahui F(x,y) = (3y, x). Apaah F merupakah isometri?

5. Involusi Definisi: Suatu transformasi V merupakan involusi, jika V tidak sama dengan I dan berlaku V2=I. Ini berarti V=V-1. Suatu transformasi yang inversnya adalah transformasi itu sendiri dinamakan involusi. Berdasarkan penjelasan di atas, jelas bahwa refleksi garis adalah suatu involusi. Contoh: Diketahui T(x,y) = (-x, kx+y). Tunjukkan T involusi? Bukti: Dengan cara komposisi T(x,y) = (-x, kx+y) Maka T(T(x,y)) = (-(-x), k(-x)+kx+y) = (x,y) Jadi T Involusi

Teorema 1: Misal T suatu transformasi. Jika T isometri maka T kolineasi. Bukti: ∃ ∈ �, ambil dua titik A dan B di dimana , ∈ �. dan ′ = � . Lalu l merupakan garis yang melalui A’ dan B’. Selanjutnya akan dibuktikan Misal ′ = � bahwa T(g) = l atau g = l (pembuktian dilakukan dengan cara menunjukkan bahwa T(g) ⊆ l dan l ⊆ T(g) ). 1. Akan dibuktikan bahwa l ⊆ T(g). Bukti: ∃ pada ∋ − − , dan misalkan ′ = � . Andaikan D’ diluar l, maka A’B’D’ akan membentuk segitiga, atau ∆ ′ ′ ′. Maka dipenuhi A’D’ + D’B’ > A’B’. Tetapi karena T isometri, pastilah A’D’ + D’B’ = AD + DB. Timbul kontradiksi, maka pengandaian bahwa D’ diluar salah. Berarti D’ pada l dan A’ – D’ – B’. Terbukti T(g) ⊆ l. 2. Akan dibuktikan bahwa T(g) ⊆ l. Bukti: Misal ∃ �′ pada l. Karena T bijektif maka terdapat Q dengan T(Q) = Q’. Misalkan Q diluar g, dengan ketidaksamaan segitiga dibuktikan bahwa Q harus pada g, sehingga Q’ = T(Q) harus pada l = T(g). Sehingga T(g) ⊆ l. Maka terbukti bahwa Isometri adalah Kolineasi.

Teorema 2: Isometri mempertahankan besar sudut.

Bukti: Ambil sebarang sudut < ABC di V dengan m(...