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Lista de exercício com respostas ...

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UNIVERSIDADE CATÓLICA DE BRASÍLIA – UCB CURSO ENGENHARIA CIVIL Disciplina: Mecânica I Professora: Luciani Tavares

2º semestre/2013

LISTA EXTRA DE EXERCÍCIOS GABARITO

1. A figura abaixo mostra de forma esquemática um carrinho com pequenas dimensões deslocando-se ao longo de uma trajetória orientada da esquerda para a direita. Um cronômetro foi acionado quando o carrinho passou, em movimento acelerado, pela posição - 2m, com velocidade escalar de módulo igual a 3m/s. No instante de 1s, o carrinho passou pela posição P com velocidade escalar de módulo v. A aceleração P0 -2

P 0

2

4

6

8

10

x (m) 12

permaneceu constante durante todo o movimento no percurso considerado. a) Qual o módulo da aceleração do carrinho, em m/s2?

1 𝑥 = 𝑥0 + 𝑣0 𝑡 + 𝑎𝑡 2 2 1 10 = −2 + 3(1) + 𝑎(1)2 2 𝒂 = 𝟏𝟖 𝒎/𝒔𝟐

b) Qual a função horária das posições ocupadas pelo carrinho? 1 𝑥 = 𝑥0 + 𝑣0 𝑡 + 𝑎𝑡 2 2 1 𝑥 = −2 + 3𝑡 + 2 18𝑡 2 𝒙 = −𝟐 + 𝟑𝒕 + 𝟗𝒕𝟐

c) Qual o módulo da velocidade escalar v do carrinho ao passar pelo P, em m/s? R.: a) 18m/s2; b) x = -2 + 3t + 9t2; c) 21 m/s. 𝑣 = 𝑣0 + 𝑎𝑡 𝑣 = 3 + 18. (1) 𝒗 = 𝟐𝟏𝒎/𝒔

2. Um veículo desloca-se com velocidade escalar de módulo igual a 90 km/h quando o

condutor avista um obstáculo à frente. Nesse instante, o veículo começa a ser freado com aceleração constante de módulo igual a 5m/s2. Qual a distância mínima que separa o veículo do obstáculo no momento em que foi iniciada a freagem para que não ocorra a colisão do veículo com o obstáculo. Resposta em unidades do SI. R.: 62,5m. 𝑣0 = 90 𝑘𝑚/ℎ = 25𝑚/𝑠

𝑣 2 = 𝑣0 2 + 2𝑎∆𝑆 (0)2 = (25)2 + 2(−5)∆𝑆 ∆𝑺 = 𝟔𝟐, 𝟓𝒎

3. A velocidade de uma partícula que se move sobre o eixo dos x varia com o tempo de acordo com a expressão v = 40 – 5t2 (m/s), onde t está em segundos. a) Determine a aceleração média no intervalo de tempo entre t = 0 e t = 2s. ∆𝑣 20 − 40 = ∆𝑡 2−0 𝒂𝒎 = −𝟏𝟎𝒎/𝒔𝟐

𝑎𝑚 =

b) Calcule a aceleração em t = 2s.

𝑣(𝑡) = 40 − 5𝑡 2 𝑑𝑣 = −(5.2). 𝑡 = −10𝑡 𝑎 (𝑡) = 𝑑𝑡 𝑎 = −10. (2) 𝒂 = −𝟐𝟎𝒎/𝒔𝟐

c) Construa o gráfico de v x t e encontre a aceleração por meio do coeficiente angular. R.: a) -10m/s2; b) -20m/s2; c) ~ -20 m/s2. 𝑣(𝑡) = 40 − 5𝑡 2 𝑣(𝑡 = 0) = 40 − 5(0)2 𝑣(𝑡 = 1) = 40 − 5(1)2 𝑣(𝑡 = 2) = 40 − 5(2)2 𝑣(𝑡 = 3) = 40 − 5(3)2

= 40𝑚/𝑠 = 35𝑚/𝑠 = 20𝑚/𝑠 = −5𝑚/𝑠 50 40

v (m/s)

30 20 10 0 -10

0

1

2

3

4

t(s)

Para calcular pelo coeficiente angular, deve-se escolher dois pontos: 10 − 30 𝑎= 2,5 − 1,5 𝒂 = −𝟐𝟎𝒎/𝒔𝟐

4. Certo fabricante afirma que um de seus carros, superesportivo, de luxo, pode acelerar uniformemente, do repouso, e atingir uma velocidade de 140 km/h em 8s. a) Determine a aceleração do carro. 𝑣 = 𝑣0 + 𝑎𝑡 38,9 = 0 + 𝑎. (8) 𝒗 = 𝟒, 𝟖𝟔 𝒎/𝒔

b) Calcule a distância percorrida pelo carro nos primeiros 8s. 𝑣 2 = 𝑣0 2 + 2𝑎∆𝑆 (38,9)2 = (0)2 + 2(4,86)∆𝑆 ∆𝑺 = 𝟏𝟓𝟓, 𝟔𝟖 𝒎

c) Qual é a velocidade do carro 10s depois de iniciar seu movimento, admitindo que continue com aceleração constante? R.: a) 4,86m/s2; b) x= 155,68m; c) 48,6 m/s. 𝑣 = 𝑣0 + 𝑎𝑡 𝑣 = 0 + 4,86. (10) 𝒗 = 𝟒𝟖, 𝟔 𝒎/𝒔

5. Uma bola é arremessada para cima, ao longo do eixo y, com uma velocidade inicial de 12 m/s. a) Quanto tempo a bola leva para atingir a altura máxima? 𝑣 = 𝑣0 + 𝑎𝑡 𝑣𝑦 = 𝑣0𝑦 − 𝑔𝑡 −10𝑡 = −12 𝒕 = 𝟏, 𝟐𝒔

b) Qual é a altura máxima alcançada pela bola em relação ao ponto de lançamento? 1 𝑦 = 𝑦0 + 𝑣0 𝑡 + 𝑔𝑡 2 2 1 𝑦 = 𝑦0 + 𝑣0 𝑡 − 𝑔𝑡 2 2 1 𝑦 = 0 + (12). (1,2) − 10. (1,2)2 2 𝒚 = 𝟕, 𝟐 𝒎

c) Quanto tempo a bola leva para atingir um ponto 5,0m acima do ponto inicial? R.: a) 1,2s; b) y = 7,2m; c) 2s e 0,5s. 1 𝑦 = 𝑦0 + 𝑣0 𝑡 + 𝑔𝑡 2 2 1 5 = 0 + 12𝑡 − (10)𝑡2 2 5𝑡 2 − 12𝑡 + 5 = 0 12 ∓ 6,6 𝑡= 10 𝒕 = 𝟎, 𝟓 𝒔

6. Um objeto é arremessado verticalmente para baixo de uma certa altura em relação ao solo. Sabendo que em 3s e 4s ele percorre, respectivamente, 1/2 e 4/5 da distância que o separa do solo, encontre: a) de que altura o objeto foi projetado; b) a velocidade de lançamento. R.: a) 150m e 10m/s. Para t = 3s

Para t = 4s

1

1

𝑦0 − 𝑦1 = 2 𝑦0

𝑦1 = 𝑦0 2

1 𝑦 = 𝑦0 + 𝑣0 𝑡 + 𝑔𝑡 2 2 1 𝑦1 = 𝑦0 − 3𝑣0 − 2 𝑔(3)2 (I) 4

𝑦0 − 𝑦2 = 𝑦0 5

1

𝑦2 = 5 𝑦0

1 𝑦 = 𝑦0 + 𝑣0 𝑡 + 𝑔𝑡 2 2 1 𝑦2 = 𝑦0 − 4𝑣0 − 2 𝑔(4)2 (II) Substituindo y1 e y2 nas equações I e II, temos: 𝒗𝟎 = 𝟏𝟎 𝒎/𝒔

𝒚𝟎 = 𝟏𝟓𝟎 𝒎

7. Um veículo elétrico parte do repouso e acelera em linha reta a uma taxa de 2,0m/s2 até atingir 20m/s. Em seguida, o veículo desacelera a uma taxa constante de 1,0m/s2 até parar. a) Quanto tempo transcorre entre a partida e a parada? 𝑣 = 𝑣0 + 𝑎𝑡 20 = 0 + 2𝑡1 𝑡1 = 10𝑠

0 = 20 − 1𝑡2 𝑡2 = 20𝑠 𝑡𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑡1 + 𝑡2 𝒕𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 = 𝟑𝟎𝒔

b) Qual é a distância percorrida pelo veículo desde a partida até a parada? R.: a) 30s; b) 300m.

∆𝑺𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍

𝑣 2 = 𝑣0 2 + 2𝑎∆𝑆 (20)2 = (0)2 + 2(2)∆𝑆1 ∆𝑺𝟏 = 𝟏𝟎𝟎𝒎 2 (0) = (20)2 − 2(1)∆𝑆1 ∆𝑺𝟐 = 𝟐𝟎𝟎𝒎 ∆𝑆𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = ∆𝑆1 + ∆𝑆2 = 𝟑𝟎𝟎𝒎

8. Que distância percorre em 16s um corredor cujo gráfico velocidade-tempo é mostrado na figura ao lado? A escala vertical do gráfico é definida por v = 8,0m. R.: 100m. 𝑑 = 𝐴𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝐴1 + 𝐴2 + 𝐴3 + 𝐴4 8+4 2.8 ) . 2 + (4.4) 𝑑 = ( ) + (8.8) + ( 2 2 𝒅 = 𝟏𝟎𝟎𝒎

9. Você precisa dirigir em uma via expressa para se candidatar a um emprego em outra cidade, a uma distância de 300km. A entrevista foi marcada para as 11:15h da manhã. Você planeja dirigir a 100km/h e parte as 8:00h da manhã para ter algum tempo de sobra. Você dirige na velocidade planejada durante os primeiros 100km, depois um trecho da estrada em obras o obriga a reduzir a velocidade para 40km/h por 40km. Qual é a menor velocidade que você deve manter no resto da viagem para chegar a tempo para a entrevista? R.: 128m/h. 𝑇𝑟𝑒𝑐ℎ𝑜𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑇𝑟𝑒𝑐ℎ𝑜1 + 𝑇𝑟𝑒𝑐ℎ𝑜2 + 𝑇𝑟𝑒𝑐ℎ𝑜3 ∆𝑥 𝑣= ∆𝑡 ∆𝑥 ∆𝑡 = 𝑣 100 40 ∆𝑡1 = = 1ℎ ∆𝑡2 = = 1ℎ 100 40 3,25ℎ = 1ℎ + 1ℎ + 𝑇𝑟𝑒𝑐ℎ𝑜3 𝑇𝑟𝑒𝑐ℎ𝑜3 = 1,25ℎ 𝑣=

160 1,25

𝒗 = 𝟏𝟐𝟖𝒌𝒎/𝒉

10. A velocidade de um projétil, colocado em movimento a partir da origem de um referencial xy, é v = 5 i - 10 t j, com t medido em segundos e v em metros por segundo. Determine a equação da trajetória. R.: y = - x2/5. 𝑣 = 𝑣𝑥 𝑖 + 𝑣𝑗 𝑣𝑥 = 𝑣 cos 𝜃 𝑣𝑦 = 𝑣 sen 𝜃 − 𝑔𝑡 𝑣 = 5𝑖 − 10𝑡𝑗 𝑣𝑦 = 𝑣 sen 𝜃 − 10𝑡 = −10𝑡 𝑣 sen 𝜃 = 0 𝑣𝑦 = −10𝑡 𝑣𝑥 = 𝑣 cos 𝜃 = 5 1 𝑥 = 𝑥0 + 𝑣0 𝑡 + 𝑎𝑡 2 2 𝑥 − 𝑥0 = 𝑣 cos 𝜃 𝑡 𝑥 − 𝑜 = 5𝑡 𝑥 = 5𝑡 𝑥 𝑡 = (I) 5

1 𝑦 = 𝑦0 + 𝑣0 𝑡 + 𝑔𝑡 2 2 1 𝑦 − 𝑦0 = 𝑣 sen 𝜃 𝑡 − 10 𝑡2 2 1 𝑦 − 0 = 0𝑡 − 10 𝑡2 2 𝑦 = −5 𝑡 2 (II) Substituindo I em II, temos 𝑥 𝑦 = −5 ( )2 5

𝒚 (𝒙) = −

𝒙𝟐 𝟓

11. A figura ao lado mostra um navio pirata a 560m de um forte que protege a entrada de um porto. Um canhão de defesa, situado ao nível do mar, dispara balas com uma velocidade inicial vi = 82m/s. a) Com que ângulo θi em relação a horizontal as balas devem ser disparadas para acertar o navio? 𝑣0 2 𝑠𝑒𝑛 2𝜃 𝑅= 𝑔

(82)2 𝑠𝑒𝑛 2𝜃 10 𝑠𝑒𝑛 2𝜃 = 0,83 𝑠𝑒𝑛−1 0,83 = 2𝜃 𝜽 = 𝟐𝟖, 𝟎𝟓°

560 =

b) Qual é o alcance máximo das balas de canhão?

R.: a) 28,05°; b) 672,4m.

𝑣0 2 𝑅 = 𝑔 𝑠𝑒𝑛 2𝜃 (82)2 𝑠𝑒𝑛 2. (45°) 𝑅= 10 𝑹 = 𝟔𝟕𝟐, 𝟒 𝒎

12. Um projétil é disparado horizontalmente de uma arma que está a 45,0m acima de um

terreno plano, emergindo da arma com uma velocidade de 250m/s. (a) Por quanto tempo o projétil permanece no ar? (b) A que distância horizontal do ponto de disparo ele se choca com o solo? (c) Qual é o módulo da componente vertical da velocidade quando o projétil se choca com o solo? R.: a) 3s; b) 750m; c) 30m/s. 1 𝑦 = 𝑦0 + 𝑣0 𝑡 + 𝑔𝑡 2 2 1 𝑦 = 45 + 0 − 10 𝑡2 2 𝑡2 = 9 𝒕 = 𝟑𝒔

𝑥 = 𝑥0 + 𝑣0𝑥 𝑡 𝑥 = 0 + 250. (3) 𝒙 = 𝟕𝟓𝟎𝒎 𝑣𝑦 = 𝑣0𝑦 + 𝑔𝑡

𝑣𝑦 = 0 − 10. (3) 𝑣𝑦 = −30𝑚/𝑠 |𝒗𝒚| = 𝟑𝟎𝒎/𝒔

13. Um avião tem uma velocidade de 290km/h e está mergulhando

em uma ângulo θ = 30,0° abaixo da horizontal quando o piloto libera um chamariz (conforme figura ao lado). A distância horizontal entre o ponto de lançamento e o ponto onde o chamariz se choca com o solo é de 𝑑 = 700𝑚. (a) Quanto tempo o chamariz passou no ar? (b) De que altura foi lançado? R.: a) 10s; b) 903m. 𝑣0𝑥 = 𝑣0 cos 𝜃 = 69,8𝑚/𝑠 𝑣0𝑦 = 𝑣0 sen 𝜃 = −40,3𝑚/𝑠

𝑥 = 𝑥0 + 𝑣0𝑥 𝑡 700 = 69,8𝑡 𝒕 = 𝟏𝟎𝒔

1 2 𝑔𝑡 2 0 = −40,3𝑡 − 5 𝑡 2 𝑡 = 10𝑠 𝒚𝟎 = 𝟗𝟎𝟑𝒎

𝑦 = 𝑦0 + 𝑣0𝑦 𝑡 +

14. Um mergulhador salta com uma velocidade horizontal de 2,00m/s de uma plataforma que está 10,0m acima da superfície da água. a) A que distância horizontal da borda da plataforma está o mergulhador 0,800s após o início do salto? 𝑟(𝑡) = (𝑥)𝑖 + (𝑦)𝑗 1

𝑟(𝑡) = (𝑥0 + 𝑣0𝑥 𝑡)𝑖 + (𝑦0 + 𝑣0𝑦𝑡 + 𝑔𝑡2 )𝑗 𝑥 = 𝑥0 + 𝑣0𝑥 𝑡 = 0 + 2𝑡 𝑦 = 𝑦0 + 𝑣0𝑦 𝑡 +

2

1 2 𝑔𝑡 = 10 + 0 − 5𝑡 2 = 10 − 5𝑡 2 2

𝑥(𝑡 = 0,8𝑠) = 2.0,8 = 𝟏, 𝟔𝒎

b) A que distância vertical acima da superfície da água está o mergulhador nesse instante? 𝑦(𝑡 = 0,8𝑠) = 10 − 5(0,8)2 = 𝟔, 𝟖𝒎 c) A que distância horizontal da borda da plataforma o mergulhador atinge água? R.: a) 1,6m; b) 6,8m; c)2,82m. 𝑦 = 10 − 5𝑡 2 0 = 10 − 5𝑡 2

𝑡 2 = 1,41𝑠

𝑥(𝑡 = 1,41𝑠) = 2.1,41 = 𝟐, 𝟖𝟐𝒎

15. Uma bola é lançada a partir do solo. Quando ela atinge uma altura de 9,1m sua velocidade é 𝑣 = (7,6𝑖 + 6,1𝑗) m/s, com 𝑖 horizontal e 𝑗 para cima. a) Qual é a altura máxima atingida pela bola? 2 + 2𝑔∆𝑦 𝑣𝑦 2 = 𝑣0𝑦 2 2 (6,1) = 𝑣0𝑦 − 2.10.9,1 𝑣20𝑦 = 219,81 𝑣0𝑦 = 14,8𝑚/𝑠 2 𝑣𝑦 2 = 𝑣0𝑦 + 2𝑔∆𝑦 2 2 (0) = (14,8) + 2.10. ∆𝑦𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 ∆𝒚𝒎á𝒙𝒊𝒎𝒐 = 𝟏𝟏𝒎

b) Qual é a distância horizontal coberta pela bola?

1 2 𝑔𝑡 2 0 = 0 + 14,8. 𝑡 − 5𝑡 2 𝑡 = 3𝑠

𝑦 = 𝑦0 + 𝑣0𝑦 𝑡 +

𝑥 = 𝑥0 + 𝑣0𝑥 𝑡 𝑥 = 0 + 7,6. (3) 𝒙 = 𝟐𝟐, 𝟖𝒎 c) Quais são o módulo e o ângulo (abaixo da horizontal) da velocidade da bola no instante em que atinge o solo? R.: a) 11m; b) 22,8m; c) 16,6m/s e -62,8°. 2 2 𝑣 2 = 𝑣0𝑥 + 𝑣0𝑦 𝑣 = √(7,6)2 + (−14,8)2 𝒗 = 𝟏𝟔, 𝟔 𝒎/𝒔 −14,8 ) 7,6 𝜽 = −𝟔𝟐, 𝟖°

𝜃 = 𝑡𝑔−1 (

16. Na figura ao lado mostra-se uma pedra sendo

lançada em ℎ com uma velocidade inicial de 42,0𝑚/𝑠 e um ângulo 𝜃𝑜 = 60,0° com a horizontal. A pedra cai em um ponto A, 5,50𝑠 após o lançamento. Determine (a) a altura ℎ do rochedo, (b) a velocidade da pedra imediatamente antes do impacto em A e (c) a máxima altura 𝐻 alcançada acima do solo. R.: a) 48,79m; b) 27,4m/s; c) 66,15m. 𝑣0𝑥 = 𝑣0 cos 𝜃 = 21𝑚/𝑠 𝑣0𝑦 = 𝑣0 sen 𝜃 = 0,86𝑚/𝑠

𝑣𝑦 = 𝑣0 sen 𝜃 − 𝑔𝑡 = −17,08𝑚/𝑠 1 2 𝑔𝑡 2 𝑦 = 0 + 0,86. (5,5) − 5 . (5,5)2 𝒚 = 𝟒𝟖, 𝟕𝟗𝒎 𝑦 = 𝑦0 + 𝑣0𝑦 𝑡 +

2 2 𝑣 2 = 𝑣0𝑥 + 𝑣0𝑦

𝑣 = √(21)2 + (−17,08)2 𝒗 = 𝟐𝟕, 𝟒 𝒎/𝒔 2 𝑣𝑦 2 = 𝑣0𝑦 + 2𝑔∆𝑦 ∆𝑦 = 𝐻

0 = (0,86)2 + 2.10. 𝐻 𝑯 = 𝟔𝟔, 𝟏𝟓𝒎

17. Um satélite se move em uma órbita circular, 640km acima da superfície da Terra, a qual possui um raio de aproximadamente 6,4.106m, com um período de 98 minutos. Quais são: a) A velocidade da aceleração centrípeta? (Utilize o r = 640.103 + 6,4.106 = 7,04.106m)

𝑣=

2𝜋𝑟 𝑇

=

2𝜋(7,04.106 ) 5880

𝒗 = 𝟕, 𝟓𝟐. 𝟏𝟎𝟑𝒎/𝒔

b) O módulo da aceleração ce ntrípeta do satélite? R.: a) 7,52.103m/s; b) 8m/s2. 𝑣 2 (𝟕, 𝟓𝟐. 𝟏𝟎𝟑)𝟐 𝑎= = 7,04. 106 𝑟 𝒂 = 𝟖𝒎/𝒔𝟐

18. Qual é o módulo da aceleração, para um piloto cuja aeronave inicia uma curva horizontal com uma velocidade de 󰇍𝑣󰇍𝑖 = (400𝑖 + 500𝑗) m/s, e 24 segundos mais tarde, termina a curva com uma 󰇍󰇍𝑣󰇍󰇍𝑓 = (−400 − 500𝑗) m/s? R: 83,77 m/s². |𝑣| = √𝑣𝑥2 + 𝑣𝑦2

|𝑣| = √(400)2 + (500)2 |𝑣| = 640,31𝑚/𝑠 É dito no problema que a velocidade final é o negativo da velocidade inicial, ou seja, a aeronave termina a curva no lado oposto da circunferência e completa metade de uma circunferência em 24s. Portanto, 2𝜋𝑟 𝑇= 𝑣 𝑇. 𝑣 = 2𝜋𝑟 𝑇. 𝑣 𝑟= 2𝜋 𝑣2 2𝜋𝑣 𝑣2 𝑎= . 2𝜋 = = 𝑇 𝑇. 𝑣 𝑟 2𝜋𝑣 2. (3,14). (640,31) 𝑎= = 48 𝑇 𝒂 = 𝟖𝟑, 𝟕𝟕𝒎/𝒔𝟐...