Gabarito Lista de exercícios 3 de FT I PDF

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Exercícios sobre mecânica do fluidos/fenômenos de transporte....

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GABARITO LISTA 3 DE FENÔMENOS DE TRANSPORTE I

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1) Uma caixa d´água de 800 litros mede 1,00 x 1,00 x 0,80 m. Determinar o empuxo que atua em uma de suas paredes laterais e o seu ponto de aplicação (utilizar sistema MKS*).

R: F = 320 kgf; yP = 0,534 m V = 800 L = 0,8 m 3

γ = 9,81.103 kgf/m 3 F = γ .h . A h =? No desenho dado observa - se que o centro de gravidade se encontra à meia altura do corpo, ou seja h = 0,40 m A área das faces laterais, como é pedido é igual em todas as laterais ou seja : A = 0,80 x 1 = 0,80 m 2 Assim : F = γ .h. A = 9,81.10 3.0,40.0,80 = 320 kgf. O ponto de aplicação é o centro de pressão que é dado por : I yP = y + 0 A. y Como a superfície se encontra na vertical tem - se que h = y = 0,4 m b.d 3 1.0,8 3 = = 0,043 m 4 12 12 0,043 = 0,534 m yP = 0,4 + 0,8.0,4 Observe que o centro de pressão se encontra abaixo do Centro de gravidade. I0 =

GABARITO LISTA 3 DE FENÔMENOS DE TRANSPORTE I

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2) Calcular os módulos das componentes do empuxo que agem sobre a comporta cilíndrica da figura, de 3,28 m de comprimento (utilizar sistema MKS*).

R: EH = 8399,5164 kgf EV = 9.896 kgf Deseja-se calcular as componentes do empuxo horizontal e vertical. Na verdade há necessidade de se calcular essas duas components, pois a superfície não se encontra totalmente na vertical ou na horizontal, pois a superfície é curva. A componente vertical é dada diretamente pela lei do empuxo, ou seja: EV = γl .Vdeslocado A componente horizontal do empuxo é dada por: E H = γ .h . A O volume deslocado de fluído corresponde a ¼ do volume de um cilindro de raio 1,96 m e largura 3,28 m. Assim:

1 Vdeslocado = .(3,1415.1,96 2 ).3,28 = 9,8960 m3 4 Com relação a area da superfície submerse tem-se um retângulo com base igual a ¼ do comprimento de uma circurferência de raio 1,96 m e comprimento 3,28 m, assim:

A=

1 (2.3,1415.1,96).3,28 = 10,0980 m2 4

h representa a altura em relação à superfície do centro de gravidade. O centro de gravidade de ¼ de circunferência sera: h=

4.R = 0,4244.R = 0,8318m 3π

Assim ter-se-á, lembrando que γ = 1000 kgf/m 3

EV = γl .Vdeslocado = 1000.9,8960 = 9896 kgf EH = γ .h . A = 1000.0,8318.10,0980 = 8399,5164 kgf

GABARITO LISTA 3 DE FENÔMENOS DE TRANSPORTE I

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3) A superfície mostrada, com dobradiça ao longo de A, tem 5 m de largura. Determinar a força resultante F da água sobre a superfície inclinada, o ponto de sua aplicação e o esforço na dobradiça (utilizar SI).

R: F = 588 kN yp = 2,22 m FA = 261,92 kN A força que atua sobre a superfície é o empuxo dado por:

E = γ .h . A Onde h é a altura do centro de gravidade da superfície submersa à superfície do líquido.

y

h

d

CG 2m

Do desenho acima pode-se observar que:

h = D+d =2+d Mas d pode ser obtido por:

2m CG

300 sen300 =

d

d ⇒ d = 2.0,5 = 1 m logo h = D + d = 2 + 1 = 3 m 2

A área em questão é A = 4.5 = 20 m 2 Assim a força ou empuxo que atua na superfície será:

E = γ .h .A = 9810.3.20 = 588600 N Para se determinar o ponto de aplicação da força, sabe-se que esta é aplicada no centro de pressão y P, que é dado por:

GABARITO LISTA 3 DE FENÔMENOS DE TRANSPORTE I yP = y +

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I0 A. y

Deve-se observar que neste caso y não é igual ao h , pois a superfície está inclinada. Do desenho temse:

y CG

3m

300

3 3 ⇒y= =6m 1/ 2 y O momento de inércia da placa refere-se ao momento de inércia de um placa retangular, dado por: sen300 =

I0 =

b.d 3 5.43 = = 26,7 m4 12 12

Assim:

yP = y +

26,7 I0 = 6+ = 6,22 m 20.6 A .y

Assim em relação à dobradiça o centro de pressão se encontra a: 300 D=2 m

D=2 m

a

a=4 m

yP = 6,22m 2,22 m

2 sen30 = ⇒ a = 4m a 0

Para se calcular o a força que atua sobre a dobradiça deve-se recordar o conceito de momento resultante, Para que exista o equilíbrio como é suposto no enunciado da questão, deve-se ter o momento resultante em relação ao ponto de giro nulo. Logo: A r r ME 0 M FA 0 E=F r CG FA CP

M0 = 0 O

d1=1,78 m d2=2 m

d3=4 m

∑ M 0 = 0 ⇒ M 0 +M E − M F A = 0 0 + E.d1 − FA. d3 = 0 0 + 588600.1,78 − FA .4 = 0 1047708 = 261927 N FA = 4

GABARITO LISTA 3 DE FENÔMENOS DE TRANSPORTE I

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4) Um portão retangular de 4 m de largura e comprimento 8 m, pesa 8000 kgf e é mantido por um ponto articulado A, e pelo cabo horizontal, dentro da água. A inclinação do portão em relação à horizontal é 600. Determine a tensão no cabo. Considere γ H 2O = 1000 kgf / m 3

F = 62400kgf, ycp = 4 m T=20317,46 kgf Inicialmente deve-se determiner os valor da altura do centro de gravidade vertical h e inclinado y

h

y

Assim do desenho acima tem-se: 6 = 3m 2 h = 3.sen600 = 2,60m y=

Para se determiner a tensão no cabo que sustenta o portão, deve-se aplicar a condição de equilíbrio da estática onde o somatório de todas as forcas que atuam sobre o corpo e o momento resultante devem ser nulos:

∑F =0 ∑MO= 0 Agora deve-se fazer o desenho do portão marcando todas as forcas que atuam sobre ele e as repectivas distâncias em relação a um ponto adotado como referencia.

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T

Linha d’água

4m

CG yP

E

6m

8m

W CP

τ A

Para se realizar o cálculo de T necessita-se de: W,E e τ e suas respectivas distâncias em relação a um ponto fixo que pode convienetemente ser A, pois no cálculo do momento resultante ele é anulado. O peso é dado no enunciado e tem valor de 8000 kgf. Assim necessita-se do E e sua distância em relação ao ponto A. O empuxo é dado por:

E = γ .h . A A area do portão é: 2

A = 6.4 = 24m (não deve-se esquecer que somente 6 m do portão estão submersos) Assim

E = 1000.2,60.24 = 62400 kgf Para se achar o centro de pressão usa-se a expressão:

yP = y +

I0 A. y

O momento de inércia sera: Tx

b.d 3 4.63 I0 = = = 72m4 12 12

T Ty

Logo

yP = 3 +

Linha d’água

4m

72 = 4m 24.3

CG E

Wx

Wy

4m 6m

8m

W

τ

CP

oA No desenho acima a tensão T e o peso W foram decompostos pois as components perpendiculares ao portão que realizam o momento sobre ele. Assim estas componentes são:

3 Tkgf 2 W x = W cos 600 = 8000.0,5 = 4000kgf

Tx = Tsen 600 =

GABARITO LISTA 3 DE FENÔMENOS DE TRANSPORTE I Tx

MTxO

Linha d’água

4m MEO

CG

MWxO Wx

E MτO=0

τ

4m 6m

8m

4m

CP

oA Assim: ∑M = 0 Mτ O + M E O + MWx O − MTx O = 0 0 + 62400.2 + 4000.4 − T=

3 T.8 = 0 2

140800 = 20322,7294kgf 4 3

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GABARITO LISTA 3 DE FENÔMENOS DE TRANSPORTE I

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5) Uma certa área em forma de triângulo isósceles com base 6 m e altura de 8 m esta no plano formado por uma parede de um tanque que contém um líquido com peso específico 1260 kgf/m3. Determine a força que o fluído exerce sobre esta área triangular quando se tem 20 m de fluído acima da base da área triangular. Determine também o centro de pressão.

R: F = 534158,992 kgf 3,0746 m inclinado ou 2,6667 m vertical acima da base do triângulo. Para se determinar a força exercida pelo fluído ou empuxo que atua sobre a superfície submersa, bem como o seu centro de pressão deve-se utilizar as equações: E = γ .h . A yP = y +

I0 A.y

A area da superfície triangular sera:

A=

b.h 6.8 = = 24m2 2 2

O momento de inércia de uma superfície triangular é dado por:

I0 =

b.h3 6.83 = = 85,33 m 4 36 36

Falta determinar os valores de h e y relativos ao centro de pressão. Observe que na verdade a base triangular recebe a força do fluído através da parede inclinada, a qual recebe todo o empuxo do fluído.

h

y

yP

20 m

H=

20 = 23,0940m sen600

CG CP

O centro de gravidade ou baricentro de um triângulo é definido como sendo o encontro das 3 medianas. No caso específico do triângulo isósceles por meio do cálculo diferencial e integral se h mostra que o CG fica a . Assim: 3

hCG∆ = Assim h será:

8 = 2,6667m 3

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h = 20 − 2,6667 = 17,3333m No desenho observa-se que y pode ser calculado por: 0 sen60 =

17,3333 ⇒ y = 20,0148m y

Assim:

E = γ .h. A = 1260.17,3333.24 = 534158,992 kgf 85,33 I0 = 20,0148 + = 20,0194 m em relação à superfície inclinada ou seja a 24.20,0148 A. y 23,0940 - 20,0194 = 3,0746 m da base do triângulo. yP = y +

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6) Um portão rígido OAB, da figura abaixo é articulável em O e é apoiado num suporte rígido B. Qual a mínima força horizontal P necessária para manter o portão fechado se sua largura é 3 m ? Desconsidere o peso do portão e a fricção da articulação. Considere que o sistema esta exposto à pressão atmosférica. Considere γ H2 O = 9800N / m 3

R: P = 435,22 kN Para se calcular o valor da força P, deve-se respeitar a condição de equilíbrio ou seja o momento resultante deve ser nulo, além da força resultante ser nula. Para se aplicar uma destas condições deve-se inicialmente determinar as forças que atuam sobre o portão. Considerando-se o desenho dado observa-se que dois empuxos devem ser exercidos pelo fluido sobre o portão, um horizontal sobre a parte AO e um vertical sobre AB.

h1 = 5m h2 = 7 m E1 E2

2m

O empuxo será dado por E = γ .h . A . Para a parte 1 (OA) tem-se:

A1 = 4.3 = 12m 2 E1 = γ .h1. A1 = 9800.5.12 = 588000 N Para a parte 2 (AB) tem-se:

A2 = 2.3 = 6m 2 E2 = γ .h2 . A2 = 9800.7.6 = 412000 N A determinação dos centros de pressão:

GABARITO LISTA 3 DE FENÔMENOS DE TRANSPORTE I yP1 = y1 +

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I I01 e yP2 = y 2 + 02 A2 . y2 A1 .y1

Como a superfície OA é vertical, y p1 = h1 = 5m . Para a superfície AB não há necessidade de cálculo pois ela é totamente horizontal. O momento de inércia de OA sera:

b.d 3 3.43 = = 16 m4 12 12

I 01 = Assim

I01 16 = 5+ = 5,26 m 12.5 A1. y1

yP1 = y1 +

Considerando a condição de equilíbrio dos momentos tem-se:

∑M 0 = 0

superfície

3m

O

Mo = 0

yP1 = 5,26 m d1=5,26 - 3 = 2,26 m

d=4m

E1 M E 2o B

CP1

M E 1o

E2 CP2

A

P

MPo

2m d2 = 1 m

Assim pelo momento resultante determina-se P:

∑ M0 = 0 M E2 O + M E1 O − M PO + M O = 0 E2 .d 2 + E1.d1 − P.d + 0 = 0 412000.1 + 588000.2,26 − P.4 = 0 P = 435220N

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7) Uma barragem de concreto como a mostrada na figura abaixo, tem peso específico de 23,6 kN/m3 e volume de 20 m3 de concreto, repousa sobre uma base sólida. Determine o coeficiente de fricção mínimo necessário entre a barragem e a base em que se encontra para que a barragem não deslize com o esforço recebido da água que a mesma represa. Suponha não haver alteração de pressão do fluido ao longo da base. A base tem comprimento de 1 m.

R: η = 0,1467 Para que a barragem não deslize deve-se respeitar a condição de que a força resultante que atua sobre ela deve ser nula. Como a superfície que recebe a ação do fluido é inclinada, ter-se-á componente de força na vertical e horizontal. Marcando todas as forças que atuam na barragem: 6m

2m

E

EV

h = 2m 5m

CG EH N

W

θ Ff

4m

O empuxo é dado por:

E = γ .h . A A aérea em contato com o fluido é:

4 5 onde θ = arctg = 51,30 4 senθ 4 2 A = 1. = 5,12 m sen51,30

A = b. L = b.

E = γ .h . A = 9810.2.5,12 = 100560 N EV = E cos 51,30 = 100560.0,6254 = 62890,224N EH = Esen51,30 = 100560.0,7804 = 78477,024 N ∑F x = 0

Ff − EH = 0 ⇒ η .N = EH Onde η é o coeficiente de fricção.

∑ Fy = 0 EV + W − N = 0 Dos dados do enunciado determina-se o peso W da barragem: W γ B = ⇒ W = 23600.20 = 472000N V Assim: 62890,224 + 472000 = N N = 534890, 224 N Agora determina-se o coeficiente de fricção:

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η . N = EH η=

78477,024 = 0,1467 534890,224

8) Um objeto cúbico de dimensão L = 0,6m de lado e massa M = 450 kg é suspenso por um fio em um tanque aberto com líquido de densidade de 1030 kg/m3 .

a) Encontre a força total para baixo, exercida pelo líquido e pela atmosfera sobre o objeto. 37.559,2644 N A fora exercida pelo líquido sobre a área superficial do corpo (seu topo) é dada por: F = P. A Onde : L P = Patm + ρ .g .h = Patm + ρ .g . 2 Assim a força será:

L F = ( Patm + ρ . g . ). L2 2 5 F = (1,013 .10 + 1030 . 9 ,81 . 0 ,3 ).( 0 , 6 ) 2 F = 37 . 559 , 2644 N b) Encontre a força total para cima, na base do objeto. 39.741,7932 N A força que atua na base do corpo para cima corresponde à reação da força exercida pela coluna de fluído acima dela para baixo, ou seja: 3L 3L L P = Patm + ρ.g.h' = Patm + ρ. g. onde = L+ 2 2 2

3L 2 ). L 2 F ' = (1,013 . 105 + 1030 .9 ,81 .0 ,0 ,9 ).( 0 , 6 ) 2 F ' = 39 .741,7932 N

F ' = ( Patm + ρ .g .

F

T

c) Encontre a tensão no fio. 2.232,4444 N

W

F’

F + W = F ' +T T = F + W − F' T = 37559,2644 + 450.9,81 − 39741,7932 T = 2.232,4444N

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d) Calcule o empuxo sobre o objeto, usando o Princípio de Arquimedes. 2.182,5288 N E = ρ . g.Vdes = 1030.9,81.(0,6)3 = 2.182,5288 N Observe que o empuxo corresponde a: E = F ' −F = 39.741,7932 − 37.559,2644 = 2.182,5288 N

9) Um bloco de madeira flutua em água com dois terços do seu volume submerso. Em óleo, flutua com 90% do seu volume submerso.

a) Encontre a densidade da madeira. 666,6667 kg/m3 Para a flutuação do corpo tem-se: E= W ρágua .Vdesl .g = m.g = ρcorpo .Vcorpo .g

(2 )V Vdesl = 1000. 3 = 666,6667 kg / m3 Vcorpo V

ρcorpo = ρágua .

b) Encontre a densidade do óleo. 740,7407 kg/m3 Idem ao anterior: E=W ρ óleo .Vdesl .g = m.g = ρ corpo .Vcorpo .g

ρ óleo = ρ corpo .

Vcorpo V = 666,6667. = 740,7407 kg / m3 0,9.V Vdesl

10) Uma esfera oca, de raio interno igual a 8 cm e raio externo igual a 9 cm , flutua submersa pela metade em um líquido de densidade 800 kg/m3 .

a) Qual a massa da esfera? 1,2214 kg Na situação de flutuação:

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E=W ρ líquido.V desl. g = m esf. g

m esf

 4    π.R 3   = ρ líquido.  3 2   

 4   .3,1415.(0,09)3  = 800. 3 2     

   = 1,2214kg  

b) Calcule a densidade do material de que ele é feita. 1343,7629 kg/m3

ρ esf =

1,2214 1,2214 m m = = = = 1.343,7629 kg / m3 4 4 V π (R 3 − r 3 ) .3,1415(0,09 3 − 0,08 3 ) 0,0009089 3 3

11) Uma lata tem volume de 1200 cm3 e massa de 130 g . Quantos gramas de balas de chumbo ela poderia carregar sem que afundasse na água?

R: 1,07 kg Para que a lata se mantenha flutuando, o empuxo exercido pelo fluido deve ser igual ao peso da lata mais o peso das esferas de chumbo. Considere que 100% do volume da caixa estará submerso, ou seja, no limite do seu volume. Assim:

W=E (mlata + m Pb ).g = ρágua V . desl .g (0,130 + mPb ) = 1000.0,0012 mPb = 1,2 − 0,130 = 1,07 kg...