Gabarito Lista de Exercícios 5 de FT I PDF

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Exercícios sobre mecânica do fluidos/fenômenos de transporte....

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LISTA DE EXERCÍCIOS V DE FENÔMENOS DE TRANSPORTE I 1 - A Figura abaixo mostra um tanque (diâmetro D = 1,0 m) que é alimentado com um escoamento de água proveniente de um tubo que apresenta diâmetro, d, igual a 0,10 m. Determine a vazão em volume, Q, necessário para que o nível da água no tanque (h) permaneça constante e igual a 2 m.

R: 0,0492 m3/ s 2 - A Figura abaixo mostra o esquema de uma mangueira com diâmetro D = 0,03 m que é alimentada, em regime permanente, com ar proveniente de um tanque. O fluido é descarregado no ambiente através de um bocal que apresenta seção de descarga, d, igual a 0,01 m. Sabendo que a pressão no tanque é constante e igual a 3,0 kPa (relativa) e que a atmosfera apresenta pressão e temperatura padrões (101 kPa e 288 K), determine a vazão em massa e a pressão na mangueira sendo a temperatura do ar 15 C. Dado R=286,9 m2/s2.K. Lembre que a densidade P P +P pode ser calculada por ρ = = 1 atm R. T RT

R: 2.962,9697 N/m2 Se nós admitirmos que o escoamento ocorre em regime permanente é invíscido e incompressível, nós podemos aplicar a equação de Bernoulli ao longo da linha de corrente que passa por ( 1 ), ( 2 ) e ( 3 ). Assim,

ρv12

+ γh1 = P2 +

ρv22

+ γh2 = P3 +

ρv 23

+ γh3 2 2 2 Se nós admitirmos que h1 = h2 = h3 (a mangueira está na horizontal), quev1 = 0(o tanque é grande) e que P3 = 0 (jato livre), temos que P1 +

 ρv 22 ρv 22 ρv 22 P h P h P P P P + = + + ⇒ = + ⇒ = − γ γ 2 1 1 2 2  1 2 2 2 ρv 2 ρv 2  P1 + γh = P2 + 2 + γh = 3 + γh  2 2 2 2  P + γh = ρv 3 + γ h ⇒ P = ρv 3 ⇒ v = 2P1 3 1  1 ρ 2 2

A massa específica do ar no tanque pode ser obtida com a lei dos gases perfeito (utilizando temperatura e pressão absoluta). Assim, P P+P 3.103 + 101.103 ρ= = 1,26 kg / m3 = 1 atm = RT R .T 286,9.(15 + 273) Assim, nós encontramos que v3 =

2P1

ρ

=

2.3.103 = 69 m / s 1,26

− Q3 = A3 .v3 = πR .v3 = 3,1415.(0,005) 2 .69 = 5,4190.10 3 m 3 / s 2 3

O valor de V3 independe do formato do bocal e foi determinado utilizando apenas o valor de p1 e as hipóteses envolvidas na equação de Bernoulli. A pressão na mangueira pode ser calculada utilizando a Eq. 10 e a equação da conservação da massa (Eq. 5). 2

A2 v2 = A3v3 ⇒ v2 =

R  A3 v 3 ⇒ v 2 =  3  v 3 A2  R2 

2

 0,005  v2 =   .69 = 7,6667m / s  0,015 

P 2 = P1 −

ρv22 2

= 3.103 −

1,26.7,6667 2 = 2.962,9697 N / m 2 2

3 – A água de move com uma velocidade de 5m/s através de um tubo com uma área de seção transversal de 4 cm2. A água desce 10 m gradualmente enquanto a área do cano aumenta para 8 cm2. a) Qual a velocidade do escoamento da água no nível mais baixo? A1 v1 = A2 v2 ⇒ v2 = v2 =

A1 v A2 1

4.10 −4 5 = 2,5m / s 8.10 −4

b) Se a pressão no nível mais alto é 1,5.105 Pa, qual será a pressão no nível mais baixo?

P1 +

ρv12

+ γh1 = P2 +

2

ρv22 2

+ γh 2

1000.5 2 1000.2,5 2 + 9810.10 = P2 + + 9810.0 2 2 P2 = 1,5.10 5 + 12500 + 98100 − 3125

1,5.105 +

P2 = 2,57475.10 5 Pa

4 – Qual a velocidade da água através de um furo na lateral de um tanque, se o desnível entre o furo e a superfície livre é de 2 m?

R: 6,2641 m/s Utilizando a equação de Bernoulli simplificada (equação de Torricelli) e considerando h = 2 m e g = 9,81 m/s2, pode-se calcular a velocidade da água pela equação a seguir: v2 = 2.g .h = 2.9,81.2 = 6,2641m / s

5 - . Dois tanques, de grandes dimensões, estão cheios com o mesmo líquido. Os escoamentos dos dois tanques se misturam e são descarregados por um tubo comum (veja a figura). Se a descarga é feita na atmosfera, encontre a expressão para o escoamento do fluido. Considere regime permanente e desconsidere as perdas. O regime uniforme pode ser considerado. R: Qm =

ρπ 4

[

. d12 2 g ( z1 + z 3 ) + d 22 2 g ( z2 + z3 )

]

A equação para o volume de controle em regime permanente e uniforme é:

Qm1 + Qm 2 = Qm

ρ1QVa + ρ 2QVb = Qm ρ1A1va + ρ 2 A2vb = Qm (1) Para se resolver a última equação deve-se determinar as velocidades nos pontos a e b. Assim aplicando-se a equação de Bernoulli entre os pontos 1 e a e 2 e b e c e d respectivamente, temse: Aplicando - se a equação de Bernoulli entre os pontos 1 e a, vem :

v12 P v2 + g .z1 = a + a + g .za ρ 2 ρ 2 Mas pode - se considerar que v1 = 0, z a = 0 e que P1 = Patm logo : P1

+

v a2 (2) ρ ρ 2 Aplicando - se a equação de Bernoulli entre os pontos 2 e a, vem : Patm

+ g. z1 =

Pa

+

v22 P v2 + g .z 2 = b + b + g .zb ρ 2 ρ 2 Mas pode - se considerar que v 2 = 0, z b = 0 e que P 2 = Patm logo : P2

+

v b2 (3) ρ ρ 2 Após a região da mistura entre os pontos c e d tem - se :

Patm

+ g. z2 =

Pb

+

vc2 P v2 + g .z3 = d + d + g .zd ρ 2 ρ 2 Mas pode - se considerar que z b = 0 e que P d = Patm logo : Pc

+

vc2 P v2 + g .z3 = atm + d ρ 2 ρ 2 considerando - se que v c = vd da última equação tem - se : Pc = Patm − ρ gz3 (4) O resultado da equação (4) permite escrever as equações (2) e (3) considerando - se que Pa = Pb = Pc como : Pc

+

v a = 2 g ( z1 + z3 ) e v b = 2 g ( z 2 + z3 )

Assim da equação (1) para o fluxo de massa tem - se :

ρ A1v a + ρ A2 v b = Q m Qm =

ρπ

[

. d 2 2 g (z1 + z3 ) + d 22 2 g ( z 2 + z3 ) 4 1 que é o resultado procurado.

]

6 - Uma bomba de água é movida por um motor elétrico de 15 kW cuja eficiência é de 90%. A vazão é de 50 litros por segundo. Os diâmetros de entrada e de saída são os mesmos e a

diferença de cotas entre estes dois pontos é desprezível. Se as pressões na entrada e na saída forem iguais, respectivamente, a 100 kPa e a 300 kPa (absoluta), determine (a) a eficiência mecânica da bomba e (b) o aumento de temperatura da água devido a esta ineficiência. R: 75,07% e 16,7465 C A equação de carga do sistema será :

H1 + H

M

=H2⇒H

M

= H 2 − H1

v P v2 + h 2 − 1 − 1 − h1 2g γ γ 2g Mas A 1 = A 2 e Q = cte ⇒ v 1 = v 2 assim : P − P2 300000 − 100000 HM = 1 = = 20 ,3873 m 9810 γ A potência da bomba é dada por : N B = γ .Q.H M = 9810.50.10 −3.20,3873 = 9999,9706W Mas existe uma perda de 10% pois a eficiência é de 90%, logo : N = 15000.0,9 = 13500W Assim o rendimento será : N 9999,9706 η= B = = 0,7407 = 74,07% N 13500 HM =

P2

+

2 2

Observe que dos 13500 W de potência da bomba apenas 9999,9706 W são transferidos ao fluído e realizam o trabalho. Assim dos 13500 W, 3500,0294W são dissipados com aquecimento. Considerando a equação fundamental da calorimetria, tem - se : Q = m.c.∆T Q m Q m = .c.∆T onde é a potência N' e é a vazão em massa Q m = 50 kg / s. t t t t Considerando - se o calor específico da água 4,18 J/kg.C, vem : N' = Qm .c p .∆T ⇒ ∆T =

3500,0294 = 16,7465 C 50.4,18

7 - Água da chuva é bombeada de uma cisterna para a caixa d’água. Uma bomba de 20 kW de potência é usada para realizar o trabalho. A superfície livre da caixa d’água está a 65 metros de altura (acima da cisterna). Os diâmetros são iguais e a vazão desejada é de 0,03 m3 por segundo. Determine a máxima altura de elevação. R: 2,9578 m

A equação da carga para o sistema será : v12 P v2 + h1 + HM = 2 + 2 + h2 γ 2g γ 2g Considerando - se P1 = P2 e v 1 = v 2 e h 1 = 0 ou seja : H M = h2 − h1 = 65m H1 + H M = H 2 ⇒

P1

+

A potência entregue ao fluído será : N = Q .γ .H m = 0,03.9810.65 = 19129,5W ou seja, dos 20000W disponíveis há uma perda de 20000 - 19129,5 = 870,5W. Assim pode - se considerar que a potência perdida poderia ter uma carga de : 870,5 H= = 2,9578m 9810.0,03

8 -. Considere água de rio escoando a 3 metros por segundo, numa vazão de 300000 litros por segundo, em um ponto cuja cota esteja 180 metros abaixo do reservatório do lago. Determine a energia capaz de ser utilizada, em uma situação ideal. R:528,3897 MW A equação da carga para o sistema será : H1 + H M = H 2 ⇒ H M =

P2

γ

+

v22 P v2 + h2 − 1 − 1 − h1 2g γ 2g

0 32 0 02 + + ( −180) + + +0 9810 2.9,81 9810 2.9,81 = −179,5412m

HM = HM

A potência entregue ao fluído será : N = Q.γ . Hm = 300.9810.179,5412 = 528,3897 MW 10 - O tanque da figura descarrega água a atmosfera pelo tubo indicado. Sendo o tanque de grandes dimensões e o fluído considerado perfeito, determinar a vazão da água descarregada se a área da seção do tubo é 10 cm2.Considere o tanque de grandes dimensões o fluído perfeito e g = 9,81 m/s2

R:9,9045 l/s A equação da carga para o sistema será : v22 P v2 + h2 = 1 + 1 + h1 γ 2g γ 2g Mas P1 = P2 = Patm , v1 = 0 e h 2 = 0, logo : H1 = H 2 ⇒

P2

+

v 2 = 2.9,81.5 = 9,9045m / s Mas Q = A.v 2 = 10.10− 4.9,9045 = 9,9045.10− 3 m3 / s = 9,9045l / s 11 - Água escoa em regime permanente no tubo Venturi da figura. A área A é de 20 cm2 enquanto que a da garganta é 10 cm2. Um manômetro cujo líquido manométrico é mercúrio (γHg = 13600 kgf/m3) é ligado entre as seções (1) e (2) e indica o desnível mostrado na figura. Pedese a vazão de água que passa pelo Venturi

R:5,740 l/s 2.( P1 − P2 ) Q = A1.   A 2  ρ .  1  − 1    A2  mas P1 − P2 = (γ Hg .h ) − (γ H 2O .h ) P1 − P2 = 13600.0,10 −1000.0,10 P1 − P2 = 1260 kgf / m2 = 12356,3815 N / m2 Q = 20.10− 4 .

2.12356,3815 = 0,005740m 3 / s = 5,740l / s   20.10− 4  2   − 1 1000.  −4    10.10  

12 - Num tubo de seção circular o diâmetro é 10 cm e admite-se uniforme o diagrama de velocidades. Um tubo de Pitot está instalado de forma a medir a

velocidade no eixo do tubo. Determinar a vazão do tubo. Dados γagua=1000 kgf/m3 e γHg=13600 kgf/m3

5 cm

γ Hg R: 0,02761 m3/s A vazão no tubo será dada por :

d 12 .v 4 1 Mas a velocidade v1 é dada por :

Q = A 1v 1 = π.

v1 =

2g ( ρ B − ρ A )(h2 − h1 )

ρA

Assim : Q =π .

d12 2 g ( ρ B − ρ A )(h2 − h1 ) . ρA 4

(10.10− 2 ) 2 4 3 Q = 0,02761m / s Q = 3,1415.

2.9,81.(13600 − 1000).5.10− 2 1000

13 - Por um canal escoa água com uma profundidade de 4 ft (1,22 m) e uma velocidade de 8,02 ft/s (2,44 m/s). A água escoa por uma rampa para outro canal onde a profundidade é 2 ft (0,61 m) e a velocidade de 40,1 ft/s (12,22 m/s). Adotando escoamento sem atrito, determinar a diferença de cotas entre os fundos dos canais. R: 6,6976 m

A equação da carga para o sistema será : v12 P v2 + h1 = 2 + 2 + h 2 γ 2g γ 2g Considerando - se P1 = P2 = P atm e os dados do problema tem - se : H1 = H 2 ⇒

P1

+

P 2,44 2 12,22 2 + h1 = atm + +h 2.9,81 2.9,81 2 γ γ h2 − h1 = 0,3034 − 7,6110 = −7,3076 m ( h 2 encontra - se 7,3076 m abaixo de h1 ) Mas a diferença entre as profundidades dos canais é 1,22 - 0,61 = 0,61m. Assim a diferença de cotas ( ∆h' ) entre os fundos será : ∆h' = 7,3076 - 0,61 = 6,6976m Patm

+

14 - A carga de pressão estática em uma tubulação de ar (figura abaixo) é medida com um tubo piezométrico e acusa 16 mm de água. Um tubo Pitot na mesma localização indica 24 mm de água. Calcule a velocidade do ar a 20º C. Considere R=287m2/s2.K e Patm=1,01.105 Pa

Dica: Para determinar a densidade do ar considere a equaçãoρ ar = temperatura em kelvin. R: 11,4230 m/s A velocidade v1 é dada por : v1 =

2( P2 − P1 )

ρar

P1 = γ .h1 = 9810.0,016 = 156,96Pa P2 = γ . h2 = 9810.0,024 = 235,44 Pa

ρ ar =

P P + P 156,96 + 101000 = atm 1 = = 1,2029 kg / m3 + R.T RT 287.( 273 20)

v1 =

2.( 235,44− 156,96) = 11,4230m / s 1,2029

P P +P = atm 1 onde T é a R.T R.T...