GCJF 12 M3A Ensayo 5 PDF

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Resumen 5.1 Cálculo de áreas e integrales dobles. 5.2 Integrales iteradas. 5.3 Integral doble en coordenadas rectangulares. 5.4 Integral doble en coordenadas polares. 5.5 Integral triple en coordenadas rectangulares. Volumen. 5.6 Integral triple en coordenadas cilíndricas y esféricas. 5.7 Campos vectoriales. 5.8 La Integral de línea. 5.9 Divergencia, rotacional, interpretación geométrica y física. 5.10 Teoremas de integrales. Aplicaciones. Concusión Bibliografía

En el presente documento se da a conocer el siguiente tema de cálculo vectorial el cual es integración múltiple, así mismo se tratan los subtemas siguientes: Cálculo de áreas e integrales dobles, Integral doble en coordenadas rectangulares, Campos vectoriales, entre otros. Sea 𝑓 una función de dos variables definida sobre una región cerrada 𝑅 del plano 𝑥𝑦. Entonces la integral doble de 𝑓 sobre 𝑅, denotada por ∬ 𝑅𝑓 (𝑥, 𝑦)𝑑𝐴, se define como

Si el límite existe afirmamos que f es integrable sobre R y que R es la región de integración. Para una aparición de P de R en subregiones R k con (x k , yk ) en R k , una suma de la forma ∑nk-1 f(xk , yk )ΔA k se denomina suma de Riemann. (Zill, 2011)

Una integral iterada es una integral evaluada múltiples veces sobre una misma variable (en contraste con una integral múltiple, que consiste en un número de integrales evaluada con respecto a diferentes variables). La integración iterada es un método de integración en el cual efectuamos la operación de integración en cascada con respecto a cualquier variable en relación con las otras variables que se mantienen constantes. Es importante tomar en cuenta en qué posición vienen dados los límites de las integrales en cuestión para saber en qué orden serán ejecutados los procesos de integración simple; es decir, reconocer si se va integrar primero considerando la diferencial 𝑑𝑥 o la diferencial 𝑑𝑦 o viceversa. (aleman, s.f.)

Sea f una función real definida en un intervalo cerrado [𝑎, 𝑏]. La integral definida de 𝑓 desde a hasta 𝑏 , denotada por:

(sarmiento, 12)

Para definir la integral doble de una función sobre una región 𝑅 en el plano 𝑥𝑦, iniciamos dividiendo a 𝑅 en rectángulos cuyos lados fueran paralelos a los ejes coordenados. Ésta era la forma natural para usarlos porque sus lados tenían valores constantes, ya sea de 𝑦 o de 𝑥 . En coordenadas polares, la forma natural es un “rectángulo polar”, cuyos lados tienen valores constantes de 𝑟 y 𝑢 . (coordenadas polares , s.f.)

Si 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) es una función definida en una región cerrada 𝐷 y acotada en el espacio, como la región ocupada por una bola sólida o un montón de arcilla, entonces la integral de 𝐹 sobre 𝐷 se define de la siguiente manera. Partimos una región en forma de caja rectangular que contiene a 𝐷 en celdas rectangulares mediante planos paralelos a los ejes coordenados.

Estamos interesados en lo que pasa cuando D se parte en celdas cada vez más pequeñas, de manera que Δxk , Δyk , Δzk y la norma de la partición ‖P‖, el valor máximo entre Δxk , Δyk , Δzk tienden a cero. Cuando se obtiene el único valor limite, sin importar la forma de elegir las particiones y puntos, decimos que f es integrable sobre D. (integrales triples , s.f.)

las integrales triples en coordenadas cilíndricas es que 𝑑𝑉 , que representa un pedacito de volumen, se desarrolla como: 𝑑𝑉 = 𝑟 𝑑𝜃 𝑑𝑟 𝑑𝑧

Usar las coordenadas cilíndricas puede simplificar enormemente una integral triple cuando la región que estás integrando tiene algún tipo de simetría radial alrededor del eje z. (integrales triples, s.f.) un campo vectorial representa la distribución espacial de una magnitud vectorial. Es una expresión de cálculo vectorial que asocia un vector a cada punto en el espacio euclidiano, de la forma 𝜑 ∶ ℝn ⟶ ℝm . Se dice que F es un campo vectorial C k si como función es k veces diferenciable con continuidad en X. Un campo vectorial se puede visualizar como un espacio X con un vector n- dimensional unido a cada punto en X. (wikipedia, 2020)

una integral de línea o curvilínea es aquella integral cuya función es evaluada sobre una curva. En el caso de una curva cerrada en dos dimensiones o del plano complejo, se llama también integral de contorno. Las integrales de línea de campos escalares son independientes de la parametrización de 𝑪 porque solo depende de la longitud del arco y lo son también de la orientación de 𝑪 , esto es, si 𝑪 es una curva simple orientada y −𝑪 denota la misma curva pero con orientación opuesta entonces

(wikipedia, 2021) Se entiende por rotacional al operador vectorial que muestra la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto. También se define como la circulación del vector sobre un camino cerrado del borde de un área con dirección normal a ella misma cuando el área tiende a cero .

La divergencia de un campo vectorial mide la diferencia entre el flujo entrante y el flujo saliente en una superficie que encierra un fluido. La divergencia de un campo vectorial en un punto es un campo especial, que se define como el flujo del campo vectorial por unidad de volumen conforme el volumen alrededor del punto tiende a cero. (flores, 2017) El teorema de Stokes y el teorema de la divergencia se usan a menudo para desarrollos teóricos, principalmente como herramientas en física matemática. La clave de algunas de esas aplicaciones es que, si 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) es la tasa de flujo por unidad de área, la integral de super ficie representa la tasa neta de flujo hacia afuera por unidad de volumen. Ésta es la razón del nombre de divergencia, porque la integral de la izquierda es una integral de flujo y así determina el flujo total de fluido a través de la superficie S por unidad de tiempo. Por otra parte, la integral de la derecha mide el mismo flujo de fluido, calculando el fluido hacia afuera. (aplicaciones de teoremas )

5.1 Cálculo de áreas e integrales dobles Ejercicio Calcular la siguiente integral doble

Donde S es la región limitada por las rectas y = -1, y = 1, x = 3 y el eje y.

Solución:

Graficamos la región de integración.

De esta región se desprenden los siguientes intervalos: 0≤x≤3

Lo que nos permite reescribir:

-1 ≤ y ≤ 1

Primero se resuelve la integral interna la que llamaremos Ι,

En (𝑎):

5.2 Integrales iteradas Ejercicios Dada la integral iterada

Expresar la integral, cambiando el orden de integración, y calcular su valor. Solución: a) El dominio de integración está dado por:

b) El dominio D, está limitado por las rectas y = 0, y = 3, x = 1 y la gráfica x = √4 - y, representando gráficamente en la siguiente figura:

c) El dominio D también se puede describir: 1≤x≤2 D∶ { 0 ≤ y ≤ 4-x 2 Por lo tanto 2

Ι = ∫ ∫

2

e12x - x dydx

0

= ∫ [ye(12x - x ) |

= ∫ ((4-x e 1

2

1

4-x2

2 ) 12x - x3

1

3

e12x - x ) dx = 3

3

3

y = 4-x 2 ] dx y =0

2 e11 5 | = (e -1) ≈ 2942078,792 1 3

5.3 Integral doble en coordenadas rectangulares. Ejercicios

Calcular ∬𝐷 √x + ydxdy sí D es la región acotada por las respectivas rectas 𝑦 = 𝑥, 𝑦 = −𝑥 y 𝑥 = 1 Solución: Se tiene que la región D = {(x, y) ∈ IR2 /0 ≤ x ≤ 1; -x ≤ y ≤ x} 1

x

∬ √x + ydxdy = ∫ ∫ √x + ydxdy 𝐷

0

-x

2 1 x = ∫ (x + y)3/2 | dx -x 3 0 2 1 = ∫ (x + y)3/2 dx 3 0

25/2 2 01 (x)5/2 | 5 3 8√2 = 15 =

5.4 integral doble en coordenadas polares. Ejercicios •

Determine los límites de la integración para integrar 𝑓(𝑟, 𝜃) sobre la región 𝑅 que está dentro del cardioide 𝑟 = 1 + 𝑐𝑜𝑠𝜃 y fuera de la circunferencia

𝑟 = 1. Solución: 1. Primero trazamos la región y marcamos las curvas fronteras como se muestra en la siguiente figura.

2. En seguida los límites de integración en 𝑟. Un rayo típico que sale del origen a 𝑅 cuando 𝑟 = 1 y sale cuando 𝑟 = 1 + 𝑐𝑜𝑠𝜃 . 3. Al final, encontramos los límites de integración en 𝜃. Los rayos desde el origen que cortan a 𝑅 varían desde 𝜃 = -𝜋/2 hasta 𝜃 = 𝜋/2. La integral es: 𝜋

∫ ∫ -𝜋

•

1+cos 𝜃

1

f(r, 𝜃) 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃

Obtenga el área encerrada en la lemniscata r 2 = 4 cos 2𝜃.

Solución:

Graficamos la lemniscata para determinar los límites de integración como se muestra a continuación y vemos, a partir de la simetría de la región, que el área total es cuatro veces la porción del primer cuadrante.

5.5 Integral triple en coordenadas rectangulares. Volumen. Ejercicios

Calcule el volumen de la región D encerrada entre las superficies z = x 2 + 3y 2 y z = 8 - x 2 - y 2 . Solución:

El volumen es: 𝑉 = ∭𝐷 dz dy dx,

La integral de 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 1 sobre 𝐷. Para obtener los límites de integración y evaluar la integral, primero se debe graficar la región. Las superficies se cortan en el cilindro elíptico x 2 + 3y 2 = 8 - x 2 -y 2 o x 2 + 2y 2 = 4, z > 0. La frontera en la región R, la proyección de D sobre el plano 𝑥𝑦, es una elipse con la misma ecuación: x 2 + 2y 2 = 4. La frontera

“superior” de R es la curva y = √(4 - x 2 )/2. La frontera inferior es la curva y = √(4 - x 2 )/2.

Ahora determinamos los límites de integración en z. la recta M, paralela al eje z, que pasa por un punto típico (𝑥, 𝑦) en R, entra en D en z = x 2 + 3y 2 y sale en z = 8 - x 2 - y 2 .

En seguida obtenemos los límites de integración en y . La recta L, paralela al eje y que pasa de 𝑥 = −2 en (−2,0,0) hasta 𝑥 = 2 en (2,0,0). El volumen de la región D es 𝑉 = ∭ dz dy dx 𝐷 2

=∫ ∫

√(4−x2 )/2

∫

-2

-√(4−x2 )/2

-2

-√(4−x2 )/2

2

=∫ ∫ 2

√(4−x2 )/2

8-x2 -y2

dzdydx

x2 +3y2

(8 − 2x 2 − 4y 2 )𝑑𝑦𝑑𝑥

= ∫ [(8 − 2x 2 )𝑦 − -2

2

= ∫ (2(8 − 2x -2

2 )√

4 − x2 ) = ∫ [8 ( 2 -2 2

= 𝟖𝝅√𝟐

4 3 y = √(4 − x 2 )/2 y ] 𝑑𝑥 3 y = -√(4 − x 2 )/2

8 4 − x2 4 − x2 ) − ( 2 2 3

3/2

8 4 − x2 ) - ( 2 3

3/2

3/2

] 𝑑𝑥 =

) 𝑑𝑥

4√2 2 ∫ (4 − x 2 )3/2 𝑑𝑥 3 -2

5.6 Integral triple en coordenadas cilíndricas y esféricas. Ejercicios

Hallar el volumen del solido interior a la esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 y por encima del cono x 2 + y 2 − z 2 = 0. Solución:

a) Coordenadas cilíndricas

b) Coordenadas esféricas

Pasar la integral a coordenadas cilíndricas y a coordenadas esféricas 4

∫ ∫ 0

√16-x2

0

∫

a) Coordenadas cilíndricas

0

√16-x2 -y2

√x 2 + y 2

dzdydx

b) Coordenadas cilíndricas

5.7 Campos vectoriales.

󰇍 se dice que es conservativo si existe alguna función Un campo vectorial F diferenciable f tal que 󰇍F = 𝛻f. La función f se llama función potencial de 󰇍F.

󰇍 es conservativo si y solo si 𝛻 × 𝐹 = 󰇍 Un campo vectorial F 0.

Ejercicios

Determine si 𝐹 = (2 xy, x2 - y) es conservativo. En caso de serlo encuentre la

función potencial. Solución

El rotacional de 󰇍F seria:

Por lo tanto, 𝐹 sí es conservativo.

Note que para campos de ℝ2 , basta que

𝜕N

𝜕x

=

𝜕M 𝜕y

para ser conservativos.

Cuando el campo es conservativo la función potencial existe y, además: 𝐹 = 𝛻f = (

𝜕f 𝜕f , ) = (2xy, x 2 -y) 𝜕x 𝜕y

Es decir, conocemos las derivadas parciales de la función potencial, entonces:

𝜕f

𝜕x

𝜕f

= 2𝑥𝑦 ⇒ 𝑓 = ∫ 2xy dx ⇒ 𝑓 (𝑥, 𝑦) = x 2 𝑦 + 𝑔(𝑦) + C1 2

y = x − 𝑦 ⇒ 𝑓 = ∫( x − 𝑦)𝑑𝑦 ⇒ 𝑓(𝑥, 𝑦) = x 𝑦- 2 + ℎ(𝑥) + C2 𝜕y Haciendo superposición de soluciones la función potencial seria: 2

2

2

y2 𝑓 (𝑥, 𝑦) = x 𝑦 − + 𝐶 2 2

5.8 La Integral de línea. Ejercicios

Calcular las siguientes integrales:

a) ∫𝐶(𝑥 + 𝑦)𝑑𝑠 donde 𝜎 es el borde del triángulo con vértices (0,0), (1,0), (0,1) .

b) ∫ √x 2 + y 2 𝑑𝑠 donde 𝜎 es la circunferencia x 2 + y 2 = 𝑎𝑥 (𝑎 > 0). 𝐶

Solución: a) El triángulo dado se descompone en tres segmentos de recta que parametrizamos de la siguiente forma: x=t C1 ∶ {y = 0 (0 ≤ 𝑡 ≤ 1); x = 1- t C2 : { y = t (0 ≤ 𝑡 ≤ 1); x=0 (0 ≤ 𝑡 ≤ 1). C3 : { y=1 Calculamos cada tramo en el módulo del vector velocidad:

Con estos datos, la integral de línea se calcula como sigue:

b) Si escribimos la circunferencia x 2 + y 2 = 𝑎𝑥 de la forma (𝑥 − 𝑎/2)2 + y 2 = a2 /4, su parametrización viene dada por:

De este modo,

Por tanto,

5.9 Divergencia, rotacional, interpretación geométrica y física. Sea F un campo vectorial dado por 𝐹 ∶ 𝐷 ⊂ ℝ3 → ℝ3 /𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝐹1 (𝑥. 𝑦. 𝑧), F2 (𝑥. 𝑦. 𝑧), F3 (𝑥, 𝑦, 𝑧)), donde F1 , F2 y F3 tienen derivadas parciales continuas en alguna región R. El rotacional del campo F esta dado por:

Ejercicios Sea el campo vectorial 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (0, 𝑐𝑜𝑠(𝑥𝑧), −𝑠𝑒𝑛(𝑥𝑦) determine su rotacional. Solución, Al aplicar la definición del rotacional se obtiene el siguiente vector que lo representa.

Sea el campo vectorial 𝐹(𝑥. 𝑦. 𝑧) = (ex 𝑠𝑒𝑛(𝑦), ex 𝑐𝑜𝑠 (𝑦), 𝑧 ) determine su divergencia Solución.

𝜕 𝜕 𝜕 x (e sen(y)) + (ex cos(y)) + (𝑧) 𝜕y 𝜕x 𝜕z = ex 𝑠𝑒𝑛 (y) − ex 𝑠𝑒𝑛(y) + 1 =1

𝑑𝑖𝑣(𝐹) =

5.10 Teoremas de integrales Teorema de la divergencia de gauss

Evalué ∬𝑆 F ∙ n dS, donde 𝐹 = 4𝑥𝑧i – y 2 j + 𝑦𝑧k , y S es la superficie del cubo limitado por 𝑥 = 0, 𝑥 = 1, 𝑦 = 0, 𝑦 = 1, 𝑧 = 0 y 𝑧 = 1. Solución.

Por el teorema de la divergencia, la integral perdida es igual a:

Teorema de la Stokes

Verifique el teorema de Stokes para 𝐴 = (2x– y)i– 𝑦z 2 j– y 2 𝑧k , donde 𝑆 es la mitad superior de la superficie de la esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1 , y 𝐶 es su frontera. Sea 𝑅 la proyección de 𝑆 sobre el plano 𝑥𝑦. Solución.

La frontera C de S es una circunferencia en el plano 𝑥𝑦 de radio igual a 1 y centro en el origen. Las ecuaciones paramétricas de 𝐶 son 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑡, 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝑡 y 𝑧 = 0,0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋. Entonces,

Así mismo:

Entonces,

Ya que 𝑛 ⋅ 𝑘 𝑑𝑆 = 𝑑𝑥𝑑𝑦y R es la proyección de S sobre el plano 𝑥𝑦. Esta última integral es igual a:

Y se verifica el teorema de Stokes

Teorema de Green

Verifique el teorema de Green en el plano para ∮𝐶 (𝑥𝑦 + y 2 )𝑑𝑥 + x 2 𝑑𝑦, donde C es

la curva cerrada de la región por 𝑦 = 𝑥 y 𝑦 = 𝑥 2 . (ver figura)

Solución.

En la figura se aprecia que 𝑦 = 𝑥 y 𝑦 = 𝑥 2 se intersecan en (0,0) y (1,1), y también la dirección positiva en que se recorre C. A lo largo de 𝑦 = 𝑥 2 , la integral de línea es igual a:

A lo largo de 𝑦 = 𝑥, de (1,1) a (0,0), la integral de línea es igual a:

Entonces, la integral de línea requerida = 20 – 1 =– 20. 19

1

Y se verifica el teorema de Green

En conclusión, a grandes rasgos se puede decir que las integrales dobles son una manera de integrar sobre una región bidimensional lo cual entre muchas cosas nos permite saber el área bajo una superficie, por su parte las integrales triples son utilizadas para tres dimensiones, estas son una herramienta para sumar infinitas cantidades infinitesimales asociadas con puntos de una región tridimensional. Un campo vectorial representa la distribución espacial de una magnitud vectorial, los campos vectoriales se utilizan en física, por ejemplo, para representar la velocidad y la dirección de un fluido en el espacio, o la intensidad y la dirección de fuerzas como la gravitatoria o la fuerza electromagnética. El rotacional de un campo se puede calcular siempre y cuando este sea continuo y diferenciable en todos sus puntos, el resultado del rotacional es otro campo vectorial. La divergencia de un campo vectorial mide la diferencia entre el flujo entrante y el flujo saliente en una superficie que encierra un elemento de volumen, si el volumen

elegido solamente contiene fuentes o sumideros de un campo, entonces su divergencia es siempre distinta de cero. La divergencia de un campo es un valor escalar con signo. Si este signo es positivo, quiere decir que el campo emana hacia el exterior de dicho punto y, por tanto, es una fuente o manantial. Si el signo es negativo, el campo converge hacia un punto del interior del volumen, por lo que constituiría un sumidero. Si la divergencia fuese cero el campo neto (diferencia entre las líneas entrantes y salientes) sería nulo.

Bibliografía aleman, R. (s.f.). prezi. Obtenido de https://prezi.com/lhcolfyjhwfc/integralesiteradas/?frame=d3f26c30de5e39c5d510805cd8e70212e85e53db aplicaciones de teoremas . (s.f.). Obtenido de http://sistemas.fciencias.unam.mx/~erhc/calculo4_20172/Aplicaciones_Divergencia.pdf coordenadas polares . (s.f.). Obtenido de http://sgpwe.izt.uam.mx/files/users/uami/ceciliahd/cvvi/CoordenadasPolaresCilindricasEs fericasThomas.pdf flores, m. (26 de julio de 2017). prezi . Obtenido de https://prezi.com/lti8nfp03sy-/59-divergenciarotacional-interpretacion/ integrales triples. (s.f.). Obtenido de https://docs.google.com/viewer?a=v&pid=sites&srcid=ZGVmYXVsdGRvbWFpbnxhZ3JvaW 5kdXN0cmlhcGZtMDEyMDE4cGVydXxneDo2MmYyN2IwNTBjODNkMjA2 integrales triples . (s.f.). Obtenido de http://sgpwe.izt.uam.mx/files/users/uami/ceciliahd/cvvi/IntegralesTriplesThomas.pdf sarmiento, l. (2017 de febrero de 12). prezi . Obtenido de https://prezi.com/bd6vcb4sfuwg/integrales-dobles-en-coordenadasrectangulares/?fallback=1 wikipedia. (8 de diciembre de 2020). wikipedia. Obtenido de https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_vectorial#:~:text=es%20un%20campo%20vectorial% 20C,a%20cada%20punto%20en%20X. wikipedia. (12 de enero de 2021). Obtenido de https://es.wikipedia.org/wiki/Integral_de_l%C3%ADnea Zill, D. G. (2011). matematicas 3. Mexico,D.F: Mc Graw Hill....