Gerarchia infiniti per successioni PDF

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gerarchia delgli infintitni ...

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Gerarchia degli infiniti e asintotici per successioni numeriche

Siano

e

1

due successioni infinite.

Vogliamo stabilire una gerarchia di tali successioni nel senso di confrontare, se possibile, le velocità con le quali le successioni tendono all'infinito. Per fare questo dobbiamo calcolare il

lim

, limite che si presenta ovviamente nella forma indeterminata

Calcolando tale limite, si presentano i seguenti casi che ci consentono di dare le seguenti definizioni:

I.

lim

II.

lim

0 , diremo in tale caso che

III.

lim

, diremo in tale caso che

IV.

Non esiste il

0 , diremo in tale caso che

le successioni

e

sono infiniti dello stesso ordine

è un infinito di ordine superiore a

, diremo in tal caso che

lim

lim

In particolare se

è un infinito di ordine inferiore a

e

non sono confrontabili

1 , diamo la seguente definizione:

e

sono asintotiche per

se

lim

1 (si tratta di un caso particolare di II).

UNA GERARCHIA DEGLI INFINITI IN ODINE CRESCENTE È LA SEGUENTE: ;

* log dove:

;

1

;

,

!;

1e

.... quindi

è il pesce più grosso e

è il più piccolo...

log

0

Dimostriamo quanto sopra affermato:

log

lim

1.

ℝ;

Sia

0

0 . Indichiamo con

la parte intera di

Per la monotonia della funzione esponenziale di base

2

2

1 1

1

1

:

2 , si ha che:

(per la disuguaglianza di Bernoulli), quindi:

2 Applicando ad ambo i membri della disuguaglianza il logaritmo di base crescente, si ha che:

log

log 2

Sia

2

;

log 2

log

log 2

0.

Sostituendo nell' ultima disuguaglianza

log

2

1 , funzione monotona strettamente

2

log 2

2

log

2

2

0 , si ottiene:

log 2

Dividendo ambo i membri dell'ultima disuguaglianza per

2

2

0 , si ottiene:

.

Gerarchia degli infiniti e asintotici per successioni numeriche

log

log 2

log

2

2

2

log 2 (i)

2

2 Consideriamo ora il rapporto

log

0

log 2

1 2   log 2  ,  2 

1 log 2

2

2

per la disuguaglianza (i). Quindi:

1 2   log 2  .  2 

log

0

log

lim 0 0

1  2   lim  log 2   2    

e

0 , in quanto lim

lim

1

0

2

Dal teorema del confronto di limiti di successioni segue: Quindi

2

è un infinito di ordine superiore a

log

lim

log

0.

.

Per dimostrare le altre gerarchie, ci serviamo del criterio del rapporto per le successioni: CRITERIO DEL RAPPORTO PER SUCCESSIONI Sia

0

una successione con

Calcoliamo il 1

lim Se

0

1

allora

lim

0

Se

1

(eventualmente

) allora

Se

1

il criterio del rapporto non fornisce alcuna indicazione sul

lim lim

?

Dimostrazione vedi testo: Bramanti - Pagani - Salsa Analisi matematica 1, pagine 106 -107.

2.

lim

0 0.

La successione

Calcoliamo il

lim

1

1 1

1

1   

1 1

1  

Quindi:

lim

1

1  lim    

1     

1

1, essendo

1.

e

2   log 2  ℝ  

Gerarchia degli infiniti e asintotici per successioni numeriche

Per il criterio del rapporto possiamo quindi concludere che Quindi

3.

è un infinito di ordine superiore a

lim

lim

3

0

.

0

!

0.

La successione

!

Calcoliamo il

1

lim

1 1

1!

1

!

1! !

Quindi:

lim

1

 lim  

1

 1 

0 1

Per il criterio del rapporto possiamo quindi concludere che Quindi

4.

!

è un infinito di ordine superiore a

!

lim

0

lim

0.

!

.

!

La successione

0.

Calcoliamo il

lim

1

1! 1 !

1

1

1!

1

1

1

!

1

1

  

  1

  

1  

 1 1   

1

 1 1   

Quindi:

lim

1

Quindi

lim

1

1

 1 1   

1. Per il criterio del rapporto possiamo quindi concludere che lim

è un infinito di ordine superiore a

!.

Altri esempi:

log

è un infinto di ordine inferiore a

3

è un infinito di ordine superiore a

2

4

2

3

2

3

3 3 3

2

log l

1 è un infinito di ordine superiore a 2 1 1

e e

7

3

2

3

3

1

3

3

1

sono due infiniti dello stesso ordine

sono due infiniti asintotici.

!

0

Gerarchia degli infiniti e asintotici per successioni numeriche

4

Successioni asintotiche Come abbiamo già definito, due successioni

e

sono asintotiche se

lim

Si dimostra che due successioni asintotiche hanno lo stesso comportamento per

1. , cioè

entrambe convergono allo stesso limite entrambe divergono entrambe non hanno limite. 1. Proprietà degli asintotici:

∼ ∼ ∼

∼

,

⇒

∼

∼ ',

∼ ',

∼ ∼ ' ⇒

∼

'

' '

;

0, '

0,

quest'ultima

proprietà

stabilisce

che

le

operazioni di moltiplicazione e divisione sono compatibili con la proprietà di essere asintotico.

In generale proprietà analoghe non valgono per altre operazioni sulle successioni asintotiche, ad esempio non valgono per la somma/differenza, esponenziali.

∼ ',

In particolare, se

∼ '

∼ '

non si può dedurre in generale che

'

.

Esempio

'

' ∼

' ∼

 1 

:

1  ∼ 

, in quanto

1

0

e quindi

 1 

1   

1

' , in modo ovvio.

Ma

non è asintotica di

'

'

0.

Questo avviene a causa della cancellazione dei termini di ordine massimo. Analogamente si può vedere per esempio che

∼

NON implica che

∼

Si deve pertanto prestare attenzione nel calcolo dei limiti nel sostituire successioni con le asintotiche.

∼

Per dimostrare che due successioni a. Si scrive

con

sono asintotiche si può procedere in due modi:

1

Ad esempio:

2

2

3 2

3 1   1 2 21  ∼2 2 2  2   2 1  ∼ 2 , in quanto 2  2 

2

in quanto

0

3  1 2 

1  2 2 

1

(gerarchia degli infiniti) e quindi

  1   2 

1

Gerarchia degli infiniti e asintotici per successioni numeriche

2

2

sin ∼ log

5

, infatti:

1  0 , prodotto di infinitesimo per limitato. sin  ∼ 2 in quanto 2 sin  log  log  0 , per la gerarchia degli infiniti 1  ∼ in quanto   2 sin ∼ ∼ log 2

sin log 2

quindi

 1 

1

2

1

b. Si applica la definizione di successioni asintotiche: Ad esempio:

log Dimostriamo che

1

log 1 log

1

log 1 log

per

1 ∼ log

log 1 1 log log log 2 log log

lim

log 2 log

1

 lim 1 1    log 2   lim  1  1  log  

,

log 2 log log

1

log 2 log

, quindi:

per la monotonia della funzione logaritmo e per le proprietà dei logaritmi.

lim

log 1 log

1

log

1 ∼ log

per il teorema del confronto dei limiti di successioni.

1 1

....

0

∑

∼

0

Perché sono importanti le definizioni date di gerarchia degli infinti e di successioni asintotiche? Nel calcolo di limiti che si presentano nella forma indeterminata

possiamo:

sfruttare la gerarchia degli infiniti direttamente oppure trascurando in una somma di infiniti gli infiniti di ordine inferiore (regola .... che "Il pesce più grande mangia quello più piccolo"). sostituire successioni con successioni asintotiche delle quali è più semplice calcolarne il limite. Chiaramente tutto nel rispetto delle proprietà viste.

Gerarchia degli infiniti e asintotici per successioni numeriche

6

Calcolo di limiti 2

lim 2

1

1∼ lim

quindi:

2

.... "Il pesce più grande mangia quello più piccolo". 2

1

2 3 2 2 5 4 3 1

lim

2

lim lim

2 5

2 2 3 ∼ 1 5 4 2 3 2 2 lim 5 4 3 1

3

2

4

2 3 1

2 3 2 5 4 quindi:

2

lim 2

2 5

3

lim

4

2 5

0.

2

5 2 ∼ 2 2

quindi:

lim

lim

lim

log

2 5

0

2 lim   5

2 5

lim

0.

per la gerarchia degli infiniti, da tale limite si deduce il calcolo del seguente limite che si

presenta nella forma indeterminata

0

1

lim

:

lim

.

Scriviamo: 1

1

log

log

1

, quindi

Attenzione : calcolare il

lim

lim

log

lim

2

0

lim

1.

.

Procedimento errato:

1

2 2

∼

, in quanto

lim

lim

1 1

∼ quindi

lim

2

lim

0.

Il procedimento è errato perché si sono cancellati i termini di ordine massimo. Procedimento corretto: 2

lim

2

lim

2

2

lim

2

1 . 2

Gerarchia degli infiniti e asintotici per successioni numeriche

lim log

1

7

log

per quanto visto NON possiamo procedere come segue:

1 ∼ log

log

1.

log

log ∼ 0

1

lim log

1

log

lim 0 0

E' invece corretto il seguente procedimento: 2.

lim log

1

 lim  log 

log

1  log1 0 

Anche se entrambi i procedimenti portano allo stesso risultato, il procedimento 1 è errato!

lim

log 3

log log

quindi:

lim

∼

3

log

3

.... "Il pesce più grande mangia quello più piccolo"

log

lim

4

1

2

4

1

2

lim

lim

3

log

4

4

2

1

lim

2

1

.

3

4

1

2

lim 2

  1 

1 4

 1 

0.

Altri esempi di asintotici

!

1 !∼ !

!

1!

quindi:

! 2

∼

 ! 1  !

lim

1 !  !  1!

2

lim

 1 ! 1 ∼ !   ! 2

2 !

1!

!

1!

2 !

2

!∼ !∼

, per la gerarchia degli infiniti.

2

1

2 !

formula di Stirling, dalla quale si deduce che:

e quindi:

lim

! lim

1

 1  2 ! 1 ∼  

2 !

Gerarchia degli infiniti e asintotici per successioni numeriche

Analoghe considerazioni possono essere fatte per successioni infinitesime

Calcolando il

( che si presenta nella forma indeterminata

lim

0 0

e

8

.

) si presentano i seguenti casi che ci consentono

di dare le seguenti definizioni:

lim

0 , diremo in tale caso che

lim

0 , diremo in tale caso che

lim

, diremo in tale caso che

Non esiste il

lim

, diremo in tal caso che

è un infinitesimo di ordine superiore a

e

sono infiniti dello stesso ordine

è un infinitesimo di ordine inferiore a

e

non sono confrontabili.

Nel caso di calcolo di limiti di infinitesimi, vale la regola di sostituzione in una somma di infinitesimi degli infinitesimi di ordine superiore, come vedremo nel calcolo di limiti di funzioni.

Per approfondimenti ed esercizi fare riferimento a quanto caricato in "Materiale didattico 2016 - 2017":

Dispense del Prof.Corli Esercizi dei Proff. Corli -Ascanelli il testo Bramanti - Pagani - Salsa, Analisi matematica 1

Confrontare sempre con gli appunti presi durante le lezioni....