Giai bai tap Giai Tich 1 - everything u needs is here caculus 1 by professor Nguyên Cảnh Nam PDF

Preview

Summary

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -LỜI GIẢI BÀI TẬP GIẢI TÍCH I - K( TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ )Hà Nội, 9/LỜI NÓI ĐẦUSau hơn hai ngày vất vả làm ngồi làm đống bài tập giải tích I của K58 này thì có một sự buồn nhẹ là người mì...

Description

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC -------------------------

LỜI GIẢI BÀI TẬP GIẢI TÍCH I - K58 ( TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ )

Hà Nội, 9/2013

Facebook: Badman

hiep. giapvan@ gmail. com

LỜI NÓI ĐẦU Sau hơn hai ngày vất vả làm ngồi làm đống bài tập giải tích I của K58 này thì có một sự buồn nhẹ là người mình đã mệt lừ :-(. Trong quá trình đánh máy không tránh khỏi sai sót và có thể lời giải còn chẳng đúng nữa =)) mong được các bạn góp ý để mình sửa cho đúng :D ( nói thể thôi chứ sai thì mặc xác chứ lấy đâu time mà sửa với chả sủa nữa :v). Trong này còn một số bài mình chưa làm được :-( vì học lâu rồi nên cũng chẳng nhớ nữa :D. Hy vọng nó sẽ giúp cho các bạn K58 và những ai học cải thiện, học lại môn này có được điểm "F " =)) Chúc các bạn học tốt !

2

Facebook: Badman

hiep. giapvan@ gmail. com

Chương 1 HÀM MỘT BIẾN SỐ 1.1-1.5. Dãy số, hàm số, giới hạn và liên tục 1. Tìm tập xác định của hàm số p a. y = 4 log (tan x)      cos x 6= 0    cos x 6= 0  x≥ ⇔ ⇔ tan x ≥ 1    x 6=  tan x ≥ 1   log (tan x) ≥ 0

π 4

+ kπ

π 2

+ kπ

(k ∈ Z)

2x b. y = arcsin 1+x

  1 + x 6= 0  −1 ≤

2x 1+x

   x 6= −1    3x ≥ −1 ⇔ ⇔    −1 − x ≤ 2x ≤ 1 + x ≤1   x≤1   x 6= −1

⇔ − 13 ≤ x ≤ 1 c. y =

√ x sin πx

     x≥0  x≥0  x≥0  x≥0 ⇔ ⇔ ⇔  sin πx 6= 0  πx 6= kπ  x 6= k  x∈ /Z

c. y = arccos (2 sin x)

−1 ≤ 2 sin x ≤ 1 ⇔ − 21 ≤ sin x ≤ 21  − π6 + 2kπ ≤ x ≤ 6π + 2kπ ⇔ (k ∈ Z) 7π 5π + 2kπ ≤ x ≤ + 2kπ 6 6

2. Tìm miền giá trị của hàm số a. y = log (1 − 2 cos x) ĐK: cos x <

1 2

⇔

π 3

+ 2kπ < x <

5π 3

+ 2kπ

Mặt khác ta có 1 − 2 cos x ∈ (0, 3] ⇒ y ∈ (−∞, log 3]   x b. y = arcsin log 10 3

Facebook: Badman

hiep. giapvan@ gmail. com

ĐK

  x>0   π π , ⇒ y ∈ −2 2  log x  ≤1

3. Tìm f(x) biết   a. f x + 1x = x2 + x12 Đặt t = x +

1 x

(|t| ≥ 2)

⇒ t2 = x2 + b. f



x 1+x

Đặt t =



10

1 1 2 2 ⇒ f(x) = x2 − 2 + 2 ⇒ t − 2 = x + 2 2 x x

= x2

x 1+x

(t 6= 1) ⇒x=

x2 t t2 ⇒ f(x) = ⇒ x2 = 1−t (1 − x)2 (1 − t)2

4. Tìm hàm ngược của hàm số a. y = 2x + 3 D=R x= b.

y−3 2

⇒ hàm ngược của hàm y = 2x + 3 là y =

x−3 . 2

1−x 1+x

D = R \ {−1} y=

1−x 1−y ⇔ y + yx = 1 − x ⇔ x = 1+y 1+x

Suy ra hàm ngược của hàm

1−x 1+x

là y =

c. y = 21 (ex + e−x ) , (x > 0) D = [0, +∞)

4

1−x 1+x

Facebook: Badman

hiep. giapvan@ gmail. com

Đặt t = ex (t > 0) y=

Suy ra hàm ngược

1 2

  t + 1t ⇔ t2 − 2yt + 1 = 0

∆′ = y 2 − 1  p t = y + y2 − 1 ⇒ p t = y − y 2 − 1, p ⇒ ex = y + y 2 − 1

(loại)

  p 2 y = ln x + x − 1

5. Xét tính chẵn lẻ của hàm số a. f(x) = ax + a−x , (a > 0) f(x) = a−x + ax = −f(x)

Suy ra hàm f(x) là hàm chẵn √   b. f(x) = ln x + 1 + x2

√ √     2 +1+x2 2 √ f(−x) = ln −x + 1 + x2 = ln −x = − ln x + 1 + x x+ 1+x2

= −f(x)

Suy ra hàm f(x) là hàm lẻ. c. f(x) = sin x + cos x f(−x) = sin(−x) + cos(−x) = − sin x + cos x 6= f(x) và −f(x) suy ra f(x) không là hàm chẵn cũng không là hàm lẻ.

6. Chứng minh rằng bất kỳ hàm số f(x) nào xác định trong một khoảng đối xứng (−a, a), (a > 0) cũng đều biểu diễn được duy nhất dưới dạng tổng của một hàm số chẵn với một hàm số lẻ. Chứng minh. Giả sử f(x) = g(x) + h(x)

5

(1)

Facebook: Badman

hiep. giapvan@ gmail. com

trong đó g(x) là hàm chẵn và h(x) là hàm lẻ. Khi đó f(−x) = g(−x) + h(−x) = g(x) − h(x)

(2)

(1) + (2) ta được f(x) + f(−x) = 2g(x) ⇒ g(x) =

f (x)+f (−x) 2

f(x) − f(−x) = 2h(x) ⇒ h(x) =

f (x)−f (−x) 2

(1) − (2) ta được

7. Xét tính tuần hoàn và tìm chu kỳ của hàm số sau (nếu có) a. f(x) = A cos λx + B sin λx Gọi T là chu kỳ. Với mọi x ta có f(x + T ) = f(x) ⇔ A cos λ (x + T ) + B sin λ (x + T ) = A cos λx + B sin λx ⇔ A cos λx cos λT − A sin λx sin λT + B sin λx cos λT + B sin λT cos λx = A cos λx + B sin λx nên cos λT = 1 ⇒ λT = 2kπ ⇒ T = và

2π λ

2kπ λ

là chu kỳ nhỏ nhất.

b. f(x) = sin(x2 ) p √ Ta có (k + 1) π − kπ = √

π √ (k+1)π+ kπ

f(x) không tuần hoàn.

→ 0 khi k → +∞ Suy ra hàm

c. f(x) = sin x + 21 sin 2x + 13 sin 3x Ta có sin x tuần hoàn chu kỳ 2π sin 2x tuần hoàn chu kỳ π sin 3x tuần hoàn chu kỳ

2π 3

Suy ra f(x) tuần hoàn chu kỳ là BCNN của 2π, π, 2π3 là 2π . 6

Facebook: Badman

hiep. giapvan@ gmail. com

d. f(x) = cos2 x Ta có f(x) =

1+cos 2x 2

⇒ f(x) tuần hoàn chu kỳ 2π

1.6-1.7 Giới hạn hàm số 8. Tìm giới hạn 100

−2x+1 a. lim xx50−2 x+1 x→1

98 100x99 −2 x100 −2x+1 L 50 −2x+1 = lim 50x49 −2 = 48 x x→1 x→1 (xn −an )−nan−1 (x−a) lim ,n ∈ N (x−a)2 x→a

lim b.

49 24

=

(xn −an )−nan−1 (x−a) 2 (x−a) x→a n−1 L n(n−1)xn−2 −nan−1 L = = lim nx 2(x−a lim 2 ) x→a x→a

lim

=

n(n−1)an−2 2

9. Tìm giới q hạn √ √ x+ x+ x √ a. lim x+1 x→+∞ q √ √ √ x+ x+ x √x = 1 √ lim = lim x+1 x→+∞ x x→+∞  √3 x3 + x2 − 1 − x b. lim x→+∞  √ lim 3 x3 + x2 − 1 − x x→+∞

= lim √ 3 x→+∞

x3 +x2 −1−x3 √ 2 3 (x3 +x2 −1) +x x3 +x2 −1+x2

x2 1 2 = 3 3x x→+∞ √ √ m n 1+βx lim 1+αx− x x→0 √ √ m n lim 1+αx−x 1+βx x→0 √ √ m n 1+βx−1 − lim = lim 1+αx−1 x x x→0 x→0

= lim

c.

d.

β n √ √ m 1+αx n 1+βx−1 lim x x→0 √ √ m n lim 1+αx x 1+βx−1 x→0 √ √ √ n 1+βx[ m 1+αx−1]+ n 1+βx−1 = lim x x→0 √ √ √ m n n 1+βx[ 1+αx−1] 1+βx−1 = lim + lim x x x→0 x→0 = mα + βn

= mα −

7

Facebook: Badman

hiep. giapvan@ gmail. com

10. Tìm giới hạn a. lim

x→∞

sin x−sin a x−a

sin x−sin a L = lim cos x x−a x→∞ x→∞

= cos a  √ √  b. lim sin x + 1 − sin x lim

x→+∞

Ta có

 √  sin x + 1 − sin √x  √ √ √  √  x+1− x x+1+ x  cos = 2 sin  2 2     1 √ ≤ 2 sin √ 1 √  < √x+1+ < x 2( x+1+ x)  √ √  Suy ra lim sin x + 1 − sin x = 0

1 √ 2 x

→0

x→+∞

√ √ cos x− 3 cos x sin2 x x→0

c. lim

√ √ cos x− 3 cos x 2 sin x x→0 √ √ 3 cos x−1 x−1 − lim = lim cos 2 2 x→0 sin x x→0 sin x

lim

1 − lim sin2 x = lim sin2 x(cos√x− cos x+1) x→0

x→0

= lim

d.

(−x2 /2)

− lim

2 x→0 x .2 x→0 cos 2x cos 3x lim 1−cos x1−cos x x→0

(−x2 /2) x2 .3

(

1 √ cos x−√ cos2 x+ cos x+1)

1 = − 12

cos 2x cos 3x lim 1−cos x1−cos x x→0

+cos x cos 2x−cos x cos 2x cos 3x = lim 1−cos x+cos x−cos x cos 2x1−cos x x→0

x + lim cos x(1−cos 2x) + lim cos x cos 2x(1−cos 3x) = lim 1−cos 1−cos x 1−cos x 1−cos x x→0 x→0 x→0 2 2 (4x /2) (9x /2) = 1 − lim x2 2 − lim x2 2 = 14 / / x→0 x→0 11. Tìm giới hạn  2  x−1 x+1 a. lim xx2−1 +1 x→∞      lim x22−1 = 1  2  x−1 x+1 x→∞ x +1 =1 ⇒ lim xx2−1  x−1  +1 x→∞ lim x+1 = 1 x→∞

 

8

Facebook: Badman

hiep. giapvan@ gmail. com

b. lim pcos √x √ x→0+ ln(cos x) p √ lim √ x1 x lim+ cos x = lim+ (cos x) = e x→0+ x→0

x→0 √ ln(1+cos x−1) x x→0+ lim

lim

cos

√ x−1 x

=e =e =e c. lim (sin (ln (x + 1)) − sin (ln x)) x→0+

lim

x→0+

−x/2 x

1

= e− 2

x→∞

lim (sin (ln (x + 1)) − sin (ln x))

x→∞

x −ln x = 2 lim cos ln(x+1)+ln sin ln(x+1) 2 2 x→∞ ln(1+ 1 ) = 2 lim cos ln x(2x+1) sin 2 x x→∞

Do cos ln x(2x+1) bị chặn và lim sin x→∞

ln(1+x1 ) 2

= 0 nên

lim (sin (ln (x + 1)) − sin (ln x)) = 0 √ √ d. lim n2 ( n x − n+1 x) , x > 0 x→∞   √ √ 1/(n2 +n) 2 1/(n+1) 2 n n+1 −1 x x) = lim n x lim n ( x − x→∞  x→∞  2 1 n +n) x /( −1 n2 = lim n2 +n x1/n+1 1 (n2 +n) = ln x / x→∞ Do 2 lim n2n+n = 1 x→∞

x→∞

1

lim x n+1 = 1 x→∞   1/(n2 +n) −1 x = ln x lim 1/(n2 +n) x→∞ 12. Khi x → 0+ cặp VCB sau có tương đương không? p √ α(x) = x + x và β(x) = esin x − cos x Ta có

p √ √ 4 α(x) = x + x ∼ x khi x → 0+   esin x − 1 ∼ sin x ∼ x  1 − cos x ∼

x2 2

⇒ β(x) = esin x − 1 + 1 − cos x ∼ esin x − 1 ∼ sin x ∼ x Suy ra α(x) và β(x) không tương đương. 1.8 Hàm số liên tục 9

khi x → 0+

Facebook: Badman

hiep. giapvan@ gmail. com

13. Tìm a  để hàm số liên tục tại x = 0 x  1−cos nếu x 6= 0 x2 a. f(x) = a nếu x = 0

Hàm f(x) liên tục tại x = 0 khi và chỉ khi lim f(x) = a hay x lim 1−cos x2 x→0 

=

1 2

x→0

=a

 ax2 + bx + 1 với x ≥ 0 b. g(x) =  a cos x + b sin x với x < 0 Ta có

g(0) = a.02 + b.0 + 1 = 1

lim g(x) = lim− (a cos x + b sin x) = a x→0   lim g(x) = lim− ax2 + bx + 1 = 1

x→0− x→0+

x→0

Hàm g(x) liên tục tại x = 0 khi

lim g(x) = lim g(x) = g(0) ⇒ a = 1 −

x→0+

x→0

14. Điểm x = 0 là điểm gián đoạn loain gì của hàm số a. y =

8 1−2cot gx

• x → 0− ⇒ cot x → −∞ ⇒ 2cot x → 0 ⇒ lim− 1−28cot x = 8 x→0

• x → 0+ ⇒ cot x → +∞ ⇒ 2cot x → +∞ ⇒ lim

x→0−

8 1−2cot x

=0

Vậy x = 0 là điểm gián đoạn loại I b. y =

1 x 1 e x +1

sin

Chọn xn =

1 nπ

→ 0−

Do đó sin xn = sin(nπ) = 0 ⇒ lim− x→0

Chọn xn =

−1 2nπ+ π2

→ 0−

1 x 1 e x +1

sin

=0

  Suy ra sin xn = sin xn = sin −2nπ − 2π = −1 ⇒ lim− sin

Suy ra không tồn tại lim− e 1x x→0

eax −ebx , (a x

1

x→0 e x +1

1 x

+1

Vậy x = 0 là điểm gián đoạn loại II c. y =

sin x1

6= b) 10

= −1

Facebook: Badman

hiep. giapvan@ gmail. com

lim− y = lim+ y = lim y = lim e x→0 x→0 ebx −1 eax −1 − lim x lim x→0 x→0 x

x→0

x→0

=

ax

−ebx x

=a−b

Vậy x = 0 là điểm gián đoạn loại I 1.9. Đạo hàm và vi phân 15. Tìmđạo hàm của hàm số   1−x khi x < 1   f(x) = (1 − x)(2 − x) khi x < 1     x−2 khi x > 2    −1 khi x < 1   f ′ (x) = 2x + 3 khi x < 1     1 khi x > 2 16. Với  điều kiện nào thì hàm số  xn sin 1 khi x 6= 0 x (n ∈ Z) f(x) = 0 khi x 6= 0 a. Liên tục tại x = 0

Để hàm liên tục tại x = 0 thì lim xn sin x1 = 0 x→0  1 1 n   Vì sin x ≤ 1 ⇒ lim x sin x = 0 ⇒ lim xn = 0 ⇒ n > 0 x→0

x→0

b. Khả vi tại x = 0 ∆f ∆x→0 ∆x

lim

f (0+∆x)−f (0) ∆x ∆x→0

= lim

n−1 1 sin ∆x = lim (∆x) =0 ∆x→0

⇒n−1>0⇒n>1

c. Có đạo hàm liên tục tại x = 0 Với mọi x 6= 0 ta có

  n f ′ (x) = nxn−1 sin 1x − xx2 cos x1 = xn−2 n sin x1 − cos x1

f(x) có đạo hàm tại x = 0 khi   lim f ′ (x) = 0 ⇔ lim xn−2 n sin x1 − cos 1x = 0 ⇒ n > 2 x→0

x→0

17. Chứng minh rằng hàm số f(x) = |x − a|ϕ(x), trong đó ϕ(x) là một

hàm số liên tục và ϕ(a) 6= 0, không khả vi tại điểm x = a. 11

Facebook: Badman

hiep. giapvan@ gmail. com

Chứng minh.  Ta có  (x − a) ϕ(x) x ≥ a f(x) =  (a − x) ϕ(x) x < a   ϕ(x) + (x − a) ϕ′ (x) x ≥ a ′ ⇒ f (x) =  −ϕ(x) + (a − x) ϕ′ (x) x < a ⇒ f+ ′ (a) = ϕ(a), f− ′ (a) = −ϕ(a)

Do ϕ(a) 6= 0 ⇒ f+ ′ (a) 6= f− ′ (a) Suy ra hàm f(x) không có đạo hàm tại

x = a nên không khả vi tại x = a.

18. Tìm vi phân của hàm số a. y =

arctan ax , (a 6= 0)  ′ dy = 1a arctan xa dx = x2dx +a2 1 a

b. y = arcsin xa , (a 6= 0)  ′ dy = arcsin xa dx = √adx 2 −x2  x−a  1 ln   , (a 6= 0) c. y = 2a x+a  1  x−a ′ ln  x+a  dx = x2dx dy = 2a −a2  √  d. y = ln x + x2 + a √ ′   dy = ln x + x2 + a2 dx =

√ dx x2 +a2

19. Tìm   a. d(xd 3 ) x3 − 2x6 − x9   3 d 6 9 = 1 − 4x3 − 3x6 x − 2x − x 3 d(x )   b. d(xd 2 ) sinx x  sin x  x cos x−sin x d = d(x2 ) x 2x3 c.

d(sin x) d(cos x) d(sin x) d(cos x)

= − cot x 12

Facebook: Badman

hiep. giapvan@ gmail. com

20. Tính gần đúng giá trị của biểu thức a. lg 11 Đặt f(x) = log x

x0 = 10, ∆x = 1

f(x) ≈ f(x0 ) + f ′ (x0 )∆x ≈ log 10 + q

b.

7

1 .1 ≈ 1, 042 10 ln 10

2−0,02 2+0,02

Đặt f(x) =

q 7

2−x 2+x

x0 = 0, ∆x = 0, 02

⇒ ln f(x) = 71 [ln (2 − x) − ln (2 + x)]   1 ′ (x) 1 1 ⇒ ff (x) = − 74 4−x + 2+x = − 17 2−x 2 q 1 7 2−x ⇒ f ′ (x) = − 47 4−x 2 2+x Suy ra r r 2−0 4 2 − 0 1 − ≈ 0, 9886 f(x) ≈ f(x0 ) + f ′ (x0 )∆x ≈ 7 2 + 0 7 4 − 02 2 + 0

21. Tìm đạo hàm cấp cao của hàm số a. y =

x2 , 1−x

tính y (8)

Ta có y (n)

 = x2

1 1−x

(n)

 (k) Với k ≥ 3 thì x2 = 0 nên 8 P k  2 (k) 1 (8−k) y (8) = Cn x 1−x

=

n X k=0

 (k) C nk x2

k=0

=x

 2

 1 (8) 1−x

+ 8.2x



(7) 1 1−x

+ 56.

2x.7! 6! x2 .8! 9 + 8 + 7 (1−x) (1−x) (1−x) 2 2 −x)+6!(1−x) = x .8!+2x.7!(1 = 8! 9 9 (1−x) (1−x) (100) b. y = √1+x , tính y 1−x

=



 1 (6) 1−x

13



1 1−x

(n−k)

Facebook: Badman

y

(100)

=



hiep. giapvan@ gmail. com

√1+x 1−x

(100)

= (1 + x)

x)199!! + = 2100(1(1+ 100 √ −x) 1−x

= =



√1 1−x

100.197!! √ 299 (1−x)99 1−x (199(1+x)+100.2(1−x)).199.197!! √ 2100 (1−x)100 1−x (399−x)197!! √ 2100 (1−x)100 1−x 2 2x (10)

(100)

 (99) 1 √ + 100 1−x

c. y = x e , tính y  (10)  (10)  (9)  (8) y (10) = x2 e2x = x2 e2x + 20x e2x + 90 e2x

= 210x2 e2x + 20x.29 e2x + 90.28 e2x   29 e2x 2x2 + 20x + 45 d. y = x2 sin x, tính y (50)  (50) = x2 (sin x)(50) + 100x(sin x)(49) + 2450(sin x)(48) y (50) = x2 sin x   48π    49π  = x2 sin x + 50π + 2450 sin + 100x sin 2 2 2

= −x2 sin x + 100x cos x + 2450 sin x 22. Tính đạo hàm cấp n của hàm số a. y =

x x2 −1

Ta có

1 1 1 2h x+1 + x−1  1 (n)  1 (n)i (n) 1 ⇒ y = 2 x+1 + x−1 h (n)  1 (n)i 1 1 − −x+1 = 2 x+1

y=

x

x2 −1

=





i h (n) n! n! = (−1) (x+1)n+1 − (−x+1)n+1 1 2

b. y =

1 x2 −3x+2

1 1 y = x2 −31x+2 = −x+1 − −x+2   1 (n)  1 (n) 1 (n) − −x+2 ⇒ y = −x+1 = n! (−x+1) n+1 − x c. y = √ 3 1+x 1

1 n+1 (−x+2)



, x 6= 1, 2

= (1 + x)− 3 x   (n) (n)  (n−1) 1 − 13 − 31 y (n)= (1 + x)− 3 x x + n (1 + x) = (1 + x)

y=

x √ 3 1+x

ta có

14

Facebook: Badman

hiep. giapvan@ gmail. com

 (n)       −31 2 (1 + x) = − 13 − 43 . . . − 3n− 3

1

1 = (−1)n 31n (1.4 . . . (3n − 2)) 1 (1+x)n+ 3        1 (n−1) 2 (1 + x)−3 = − 13 − 34 . . . − 3n− 3 1 (1.4 . . . (3n − 5)) = (−1)n−13n−1

⇒ y (n) =

1

1

1

(1+x)n+ 3

2

(1+x)n− 3

n−1

(−1) 3n

1

(1+x)n+ 3

(1.4 . . . (3n − 5))

3n+2x

1

(1+x)n+ 3

d. y = eax sin(bx + c)

, n ≥ 2, x 6= −1

y ′ = aeax sin (bx + c) + beax cos (bx + c) Đặt sin ϕ = √a2b+b2 , cos ϕ = √a2a+b2 √ ⇒ y ′ = a2 + b2 eax (sin (bx + c) cos ϕ + cos (bx + c) sin ϕ)  1 = a2 + b2 2 eax sin (bx + c + ϕ)  n Sử dụng quy nạp chứng minh y (n) = a2 + b2 2 eax sin (bx + c + nϕ)

Thật vậy với n = 1,đúng. Giả sử đúng với n = k tức là

Ta sẽ chứng minh

 k y (k) = a2 + b2 2 eax sin (bx + c + kϕ)

(∗)

  k+1 y (k+1) = a2 + b2 2 eax sin (bx + c + (k + 1) ϕ)

Đạo hàm 2 vế của (∗) ta được  ′  k (k+1) y = y (k) = a2 + b2 2 eax (a sin X + b cos X) trong đó X := bx + c + kϕ. Mặt khác a sin X+b cos X = Suy ra

p  1 a2 + b2 sin (X + ϕ) = a2 + b2 2 sin (bx + c + (k + 1) ϕ)

  k+1 y (k+1) = a2 + b2 2 eax sin (bx + c + (k + 1) ϕ) 15

Facebook: Badman

hiep. giapvan@ gmail. com

1.10. Các định lý về hàm khả vi và ứng dụng 23. Chứng minh rằng phương trình xn + px + q = 0 với n nguyên dương không thể có quá 2 nghiệm thực nếu n chẵn, không có quá 3 nghiệm thực nếu n lẻ. Chứng minh. Gọi Pn (x) := xn + px + q . ⇒ Pn′ (x) = nxn−1 + p. Đa thức Pn (x) có n nghiệm thực hoặc phức phân

biệt hoặc trùng nhau và đa thức P n′ (x) có n − 1 nghiệm thực hoặc phức phân biệt hoặc trùng nhau.Nghiệm của đa thức đạo hàm là nghiệm của

phương trình xn−1 = − np . Phương trình này chỉ có 1 nghiệm thực khi n

chẵn và không có quá 2 nghiệm thực khi n lẻ. Do đó, nếu n chẵn và Pn (x) có 3 nghiệm thực phân biệt x1 , x2 , x3 thì áp dụng định lý Rolle vào [x1 , x2 ] và [x2 , x3 ] sẽ suy ra được đa thức Pn′(x) có ít nhất 2 nghiệm thực (vô lý với lập luận trên). Tương tự với trường hợp n lẻ.

24. Giải thích tại sao công thức Cauchy dạng

f (b)−f (a) g(b)−g(a)

=

f ′ (c) g ′ (c)

không áp

dụng được đối với các hàm số f(x) = x2

g(x) = x3 ,

−1 ≤ x ≤ 1

Giả thiết công thức Cauchy cần có g ′ (x) 6= 0. Ở đây g ′ (x) = 0 tại x = 0.

Vì vậy không thể áp dụng công thức Cauchy với hàm các hàm số này được. 25.Chứng minh bất đẳng thức a. |sin x − sin y| ≤ |x − y |

Xét hàm số y = sin t trên [x, y], theo công thức Lagrange ta có

tứ là

f (y) − f (x) = f ′ (c) c ∈ (x, y) y−x

sin y − sin x = (y − x) cos c ⇒ |sin y − sin x| = |y − x| |cos c| 16

Facebook: Badman

hiep. giapvan@ gmail. com

vì |cos c| ≤ 1 nên |sin x − sin y| ≤ |x − y| (đpcm)

b.

< ln ba <

a−b a

a−b , b

0 0) n→∞ n−1 R1 dx P 1 α+β 1 = lim 1n = kβ α+βx = β ln α n→∞ k=0 α+ n q0  q p 1 1 n 2 1+ n + 1+ n +···+ 1+ n b. lim n n→∞ n q  √  R1 √ P 1 1 + nk = = lim n 1 + xdx = 23 2 2 − 1 n→∞

k=1

6. Tính các giới hạn

0

24

Facebook: Badman

hiep. giapvan@ gmail. com

sin R x√

tan tdt

a. lim+

0 tan R x√