Giai sach bai tap XSTK DH KTQD chuong 2 full v2 1 PDF

Preview

Summary

GIẢI SÁCH BÀI TẬP XÁC SUẤTVÀ THỐNG KÊ ĐH KTQDChương 2TS. Nguyễn Văn MinhĐH Ngoại Thương Hà nội 7/2016 version 2Giải bài tập sách ‘‘Bài tập Xác suất và Thống Kê toán’’ trường ĐH KTQD 07/2016 version 2 Bài tập có sự giúp đỡ của SV K52, K53. Có nhiều chỗ sai sót mong được góp ý: nnvminh@yahoo CHƯƠNG 2:...

Description

GIẢI SÁCH BÀI TẬP XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ ĐH KTQD Chương 2

TS. Nguyễn Văn Minh ĐH Ngoại Thương Hà nội 7/2016 version 2

TS. Nguyễn Văn Minh

ĐH Ngoại Thương Hà nội

Giải bài tập sách ‘‘Bài tập Xác suất và Thống Kê toán’’ trường ĐH KTQD 07/2016 version 2 Bài tập có sự giúp đỡ của SV K52, K53. Có nhiều chỗ sai sót mong được góp ý: [email protected] CHƯƠNG 2: BIẾN NGẪU NHIÊN §1 Biến ngẫu nhiên rời rạc Bài 2.1 Một xí nghiệp có 2 ô tô vận tải hoạt động. Xác suất trong ngày làm việc các ô tô bị hỏng tương ứng bằng 0,1 và 0,2. Gọi X là ô tô bị hỏng trong thời gian làm việc. a)

Tìm quy luật phân phố i xác suất của X.

b)

Thiết lập hàm phân bố xác suất của X và vẽ đồ thị của nó

Giải: a)

X là số ô tô bị hỏng trong thời gian làm việc

X là biến ngẫu nhiên rời rạc với các giá trị có thể có X = 0, 1, 2 Ta có: P(X=0) = 0,9. 0,8 = 0,72 P(X=1) = 0,1. 0,8 + 0,9. 0,2 = 0,26 P(X=2) = 0,1. 0,2 = 0,02 Vậy quy luật phân phố i xác suất của X là

b)

X

0

1

2

P

0,72

0,26

0,02

Theo định nghĩa hàm phân bố xác suất: F(x) = P(X 2

F(x) = 0,72 + 0,26 + 0,02 = 1

Bài 2.2 Một thiết bị gồm 3 bộ phận hoạt động độc lập với nhau. Xác suất trong thời gian t các bộ phận bị hỏng tương ứng là 0,4; 0,2 và 0,3. a)

Tìm quy luật phân phố i xác suất của số bộ phận bị hỏng.

b)

Thiết lập hàm phân bố xác suất của X.

c)

Tính xác suất trong thời gian t có không quá hai bộ phận bị hỏng.

d)

Tìm mốt mo và trung vị md.

Giải: 2

TS. Nguyễn Văn Minh

a)

ĐH Ngoại Thương Hà nội

Gọi X là số bộ phận bị hỏng trong thời gian làm việc t.

X là biến ngẫu nhiên rời rạc với các trị số có thể xảy ra X= 0, 1, 2, 3. Ta có, P(X = 0) = 0,6.0,8.0,7 = 0,336 P(X = 1) = 0,4.0,8.0,7 + 0,6.0,2.0,7 + 0,6.0,8.0,3 = 0,452 P(X = 2) = 0,4.0,2.0,7 + 0,4.0,8.0,3 + 0,6.0,2.0,3 = 0,188 P(X = 3) = 0,4.0,2.0,3 = 0,024 Vậy quy luật phân phố i xác suất của X là

b)

X

0

1

2

3

P

0,336

0,452

0,188

0,024

Theo định nghĩa hàm phân bố xác suất F(x) = P (X3

c)

Xác suất trong thời gian t không có quá 2 bộ phận bị hỏng:

P(X≤2) = 0,976 d)

Từ hàm phân bố xác suất dễ dàng nhận thấy trung vị: md =1

Giá trị Mốt m0 là giá trị có xác suất lớn nhất => mo = 1 Bài 2.3 Có 3 quả cầu trắng và 2 quả cầu đen. Lấy ngẫu nhiên từng quả cầu cho đến khi lấy được quả cầu trắng. Tìm quy luật phân phố i xác suất của số quả cầu được lấy ra. Giải: Gọi X là “số cầu được lấy ra” X gồm 3 giá trị 1, 2, 3 (vì đến quả thứ 3 chắc chắn lấy được cầu trắng và kết thúc quá trình lấy). Xác suất lấy được 1 quả cầu:

3  0, 6 5

Xác suất lấy được 2 quả cầu (quả cầu 1 là đen, quả cầu 2 là trắng):

2 3 .  0,3 5 4

Xác suất lấy được 3 quả cầu (quả cầu 1 là đen, quả cầu 2 là đen, quả cầu 3 là trắng): Ta có quy luật phân phối xác suất:

3

2 1 3 . .  0,1 5 4 3

TS. Nguyễn Văn Minh

ĐH Ngoại Thương Hà nội

X

1

2

3

P

0,6

0,3

0,1

Bài 2.4 Xác suất để một người bắn trúng bia là 0,8. Người ấy được phát từng viên đạn để bắn cho đến khi trúng bia. Tìm quy luật phân phối xác suất của viên đạn bắn trượt. Giải: Gọi X là số viên đạn bắn trượt: X = { 1,2, 3, …, n } Lại có: Gọi A = “Biến cố bắn trúng bia” có P(A) = 0,8 = p và P() = 0,2 =q. Khi đó: P(X=n) = 0,8.(0,2)n Ta có: X

0

1

2

…

n

...

P

0,8

0,8.(0,2)1

0,8.(0,2)2

…

0,8.(0,2)n

...

Nhận thấy: P(X=n) > 0 Và:

1   0,2   lim 1 1   1 .  0,2 .0,8  lim 0,8. n





n 0

n 0

P  X  n   

n

n 

1  0,2

n

 

 5n 

Vậy các xác suất trên tạo thành 1 quy luật phân phối xác suất Bài 2.5 Có 2 lô sản phẩm: Lô 1: có 8 chính phẩm và 2 phế phẩm Lô 2: có 7 chính phẩm và 3 phế phẩm Từ lô thứ nhất lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm bỏ sang lô thứ hai, sau đó từ lô thứ hai lấy ra 2 sản phẩm. a)

Tìm quy luật phân phố i xác suất của số chính phẩm được lấy ra.

b)

Xây dựng hàm phân bố xác suất của số chính phẩm được lấy

Giải: a)

Gọi X là “số chính phẩm được lấy ra từ hộp 2” nhận 3 giá trị 0;1;2

Gọi Hi là “số chính phẩm lấy từ hộp 1 sang hộp 2 là i” với i = 0;1;2 Ta có: P(H0) =

P(X=0|H0) =

C80 . C 22 1 C18 . C12 C82 . C20 16 28 = = ; P(H ) =  ; P(H ) = 2 1 2 2 2 C10 C10 45 45 C10 45

C 70 . C 52 C80 . C42 C90 . C32 10 6 3 ; P(X=0|H ) = ; P(X=0|H ) = = = = 1 2 2 2 2 66 66 66 C12 C12 C12 2

 P  X  0   P  H i  . P( X  0 | H i ) i 0

4

TS. Nguyễn Văn Minh

=

ĐH Ngoại Thương Hà nội

1 10 16 6 28 3 190 .  .  . = = 0,06397 45 66 45 66 45 66 2970

Tương tự: P(X=1|H0) =

C 15.C 17 C18. C14 C19 .C13 35 32 27 = = ; P(X=1|H ) = ; P(X=1|H ) = = 1 2 2 2 2 66 66 66 C12 C12 C12 2

 P  A  1  P H i  . P( X  1 | H i ) = i 0

1 35 16 32 28 27 1303 .  .  . = = 0,43872 45 66 45 66 45 66 2970

 P(A=2) = 1 – P(A=0) – P(A=1) = 1 – 0,06397 – 0,43872 = 0,49731 Ta có bảng sau:

b)

X

0

1

2

P

0,06397

0,43872

0,49731

Hàm phân phối xác suất của X là: 0  x  0 0,06397 0  x  1  . F x    0,50269 1  x  2 1 x  2

Bài 2.6 Hai cầu thủ bóng rổ lần lượt ném bóng vào rổ cho đến khi có người ném trúng với xác suất ném trúng của từng người lần lượt là 0,3 và 0,4. Người thứ nhất ném trước. a) Tìm qui luật phân phối xác suất của số lần ném rổ cho mỗi người b)Tìm qui luật phân phố i xác suất của tổng số lần ném rổ của cả 2 người. Giải: a) Gọi số X1 là số lần ném rổ của người thứ nhất: X1 = 1, 2, 3,…, n,… Khi X 1  n TH1 người 1 ném cuố i thì cả người 1 và người 2 sẽ ném trượt n  1 lần đầu nên P( X 1  n)TH 1  0, 7 n  10, 6 n 1.0, 3

TH2 người 2 ném cuố i thì cả người 1 ném trượt n lần và người 2 sẽ ném trượt n  1 lần đầu nên P( X 1  n)TH 2  0, 7 n0, 6 n1.0, 4

Vậy P ( X 1  n )  P ( X 1  n )TH 1  P ( X 1  n )TH 2  0, 58.0, 42n 1 Vậy qui luật phân phố i xác suất của X1 là: X1

1

2

…

n

...

P

0,58

0, 58.0, 42

…

0,58.0, 42 n1

...

5

TS. Nguyễn Văn Minh

ĐH Ngoại Thương Hà nội

Gọi X2 là số lần ném của người thứ 2: X2 =0, 1, 2, 3,…, n,… Dễ thấy P ( X 2  0)TH 1  0,3 Khi X 2  n  1 TH1 người 1 ném cuố i thì cả người 1 và người 2 sẽ ném trượt n lần đầu nên P( X 2  n) TH1  0, 7n 0, 6n .0, 3

TH2 người 2 ném cuố i thì cả người 1 ném trượt n lần và người 2 sẽ ném trượt n  1 lần đầu nên P( X 2  n) TH 2  0, 7 n0, 6 n  1.0, 4

Vậy P ( X 2  n )  P ( X 2  n )TH 1  P ( X 2  n )TH 2  0, 58.0, 6n 1 .0, 7n Vậy qui luật phân phố i xác suất của X2 là: X2

0

1

2

…

n

...

P

0,3

0, 58.0, 7

0,58.0,6.0,7 2

…

0,58.0,6n1.0,7n

...

b) Gọi X là tổng số lần ném rổ của 2 người X nhận các giá trị là 1,2,3,... Dễ thấy P ( X  1)  0, 3 . Xét X  2n  2 có nghĩa người 2 ném cuối. P( X  2 n)  0,7 n0,6 n 1.0, 4  0, 28.0, 42 n 1 Xét X  2n  1 3 có nghĩa người 1 ném cuối. P( X  2 n  1)  0,7 n0,6 n.0,3  0,3.0,42 n Vậy qui luật phân phố i xác suất của X là: X

1

3

…

2n+1

...

P

0,3

0, 3.0, 42

…

0,3.0, 42n

...

X

2

4

…

2n

...

P

0,28

0, 28.0, 42

…

0,28.0, 42n 1

...

6

TS. Nguyễn Văn Minh

ĐH Ngoại Thương Hà nội

Bài 2.7 Bảng phân phố i xác suất của biến ngẫu nhiên X như sau:

a)

Tính E(X); V(X) và 

b)

Tìm giá trị mốt m0.

X

-5

2

3

4

P

0,4

0,3

0,1

0,2

Giải: 4

a)

E(X)=

X P i i

= -5.0,4+2.0,3+3.0,1+4.0,2 = -0,3.

i1

b)

V(X) = E(X2) – E2(X)= (-5)2.0,4+22.0,3+32.0,1+42.0,2-(-0,3)2=15,21.

 X  V (X ) = 3,9. c)

Vì X là biến ngẫu nhiên rời rạc nên m0 là giá trị của biến ngẫu nhiên tương ứng với xác suất lớn

nhất nên m0=-5. Bài 2.8 Tại một cửa hàng bán xe máy Honda, người ta thống kê được số xe máy X bán ra hàng tuần với bảng phân bố xác suất như sau: X

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

P

0,05

0,12

0,17

0,08

0,12

0,20

0,07

0,02

0,07

0,02

0,03

0,05

a) Tìm số xe máy trung bình bán ra mỗi tuần. b) Tìm phương sai và độ lệch chuẩn của số xe máy bán được mỗi tuần và giải thích ý nghĩa của kết quả nhận được. Giải: a) Số xe trung bình mỗi tuần bán được là kỳ vọng toán: 11

E( X )  xi pi  4,33 i 0

b) Phương sai: V(X) = E(X2) – E(X)2 = 27.09 – (4.33)2 = 8,3411 Độ lệch chuẩn:  X  V (X )  2,8881 Ý nghĩa: Trung bình cửa hàng bán được 4,33 xe máy mỗi tuần.

 X  2,8881 đánh giá mức độ phân tán của biến ngẫu nhiên.

7

TS. Nguyễn Văn Minh

ĐH Ngoại Thương Hà nội

Bài 2.9 Cho X1, X2, X3 là các biến ngẫu nhiên độc lập và có bảng phân phối xác xuất của chúng như sau: X1 P Lập X 

0

1

X2

1

2

X3

0

2

0.6

0.4

P

0.4

0.6

P

0.8

0.2

X1 X 2  X3 Tính E( X ) và V ( X ) 3

Giải: *)Tính E (X ) Ta có: E(X1) = 0.0,6 + 1. 0,4 = 0,4 E(X2) = 0.0,8 + 2.0,2 = 1,6 E(X3) = 0.0,8 + 2.0,2 = 0.4

 E( X ) 

E  X 1   E  X 2   E( X 3 ) 3



0, 4 1,6  0,4  0,8 3

*)Tính V (X ) Ta có: V  X1   E( X12 )  ( EX1 ) 2  12.0,4 – 0,4   0,24 2

V  X 2   E (X 2 ) (EX 2 )  0, 4 .1  0,6.2  1,6  0, 24 2

2

2

2

2

V  X 3   E ( X 32 )  ( EX 3) 2  2 2.0,2  0, 4 2  0,64 V (X ) 

V ( X 1)  V  X 2   V ( X 3) 9



0, 24  0, 24  0,64  0,12 9

Bài 2.10 Thống kê số khách trên 1 ô tô buýt tại một tuyến giao thông thu được các số liệu sau: Số khách trên 1 chuyến

20

25

30

35

40

Tần suất tương ứng

0,2

0,3

0,15

0,1

0,25

Tìm kỳ vọng toán và phương sai của số khách đi mỗi chuyến và giải thích ý nghĩa của kết quả thu được. Giải: * Gọi X là số khách đi mỗi chuyến, kỳ vọng toán của số khách đi mỗi chuyến là: E(X) = 0,2.20 + 0,3.25 + 0,15. 30 + 0,1.35 + 0,25.40 = 29,5 Ý nghĩa: Kỳ vọng bằng 29,5 cho biết trung bình có khoảng 29 khách hàng trên 1 chuyến xe. * Phương sai của số khách đi mỗi chuyến là: V(X) = E(X2) – E2(X) = 0,2.202 + 0,3.252 + 0,15.302 + 0,1.352 + 0,25.402 – (29,5)2 = 54,75 Độ lệch chuẩn của số khách đi mỗi chuyến là: σ = V( x) = 54,75 ≈ 7,4 Ý nghĩa: Số khách đi các chuyến có sự khác nhau và chênh lệch khá lớn so với số khách trung bình. 8

TS. Nguyễn Văn Minh

ĐH Ngoại Thương Hà nội

Bài 2.11 Cho X và Y là 2 biến ngẫu nhiên liên tục với E(X)= V(X)= 3; E(Y)= V(Y)= 2 a)

Tính E(Z) và V(Z) biết Z= (3X – 2Y)/5

b)

Tính E(T) với T=

Z  E (Z ) V (Z )

Giải: a) Z 

(3 X  2Y ) 3 E ( X )  2 E (Y ) 3.3 2.2  E( Z )   1 . 5 5 5 2

2

9.3 4.2 35 7  3  2 V ( Z )    V ( X )    V (Y )      1, 4 . 25 25 25 5  5  5

b) T 

Z  E ( Z ) Z 1 E (Z )  1   E (T )   0. V (Z ) 1, 4 1,4

Bài 2.12 Thực hiện 3 lần bắn bia với xác suất trúng bia tương ứng là 0,3; 0,4; 0,6. Tìm kì vọng toán và phương sai số lần bắn trúng bia. Giải: Gọi X là số lần bắn trúng bia X là biến ngẫu nhiên rời rạc với các giá trị có thể xảy ra X = 0, 1, 2, 3. Ta có P(X = 0) = 0,7.0,6.0,4 = 0,168 P(X = 1) = 0,3. 0,6.0,4 + 0,7.0,4.0,4 + 0,7.0,6.0,6 = 0,436 P(X = 2) = 0,3.0,4.0,4 + 0,3.0,6.0,6 + 0,7.0,4.0,6 = 0,324 P(X = 3) = 0,3.0,4.0,6 = 0,072 Vậy quy luật phân phố i xác suất của X là X

0

1

2

3

P

0,168

0,436

0,324

0,072

Kì vọng toán E(X) = 0.0,168 + 1.0,436 + 2.0,324 + 3.0,072 = 1,3 E(X2) = 02.0,168 + 12.0,436 + 22.0,324 + 32.0,072 = 2,38 Phương sai V(X) = E(X2) – (E(X))2 = 0,69. Bài 2.13 Thống kê lại tất cả 52 cửa hàng bán sản phẩm của công ty trên toàn quốc thu được các số liệu sau: Số nhân viên bán hàng ở cửa hàng

2

3

4

5

Số cửa hàng tương ứng

10

12

16

14

9

TS. Nguyễn Văn Minh

ĐH Ngoại Thương Hà nội

Xây dựng bảng phân phối xác suất và hàm phân bố xác suất của số nhân viên bán hàng tại mỗi cửa

a) hàng.

Tìm số nhân viên trung bình ở mỗi cửa hàng và phương sai tương ứng

b) Giải: a)

Đặt X là số nhân viên của một cửa hàng, ta có:

Bảng phân phố i xác suất: Số nhân viên

2

3

4

5

Tổng

Số cửa hàng

10

12

16

14

52

14 7  52 26

1

Xác suất

P1 

10 5  52 2 6

P2 

12 3  5 2 13

P3 

16 4  5 2 13

P4 

Hàm phân bố xác suất của số nhân viên bán hàng tại mỗi cửa hàng:

 0 5   26  11  F  x   P X  x     26  19  26   1 b)

 x 2 2 x  3 3  x  4 4  x  5 x  5

Số nhân viên trung bình ở mỗi cửa hàng bằng kì vọng:

 E  X   2.

5 3 4 7 95  3.  4.  5.   3, 65 26 13 13 26 26 4

Phương sai: V ( X )   pk [ xk  E  X ]2 k 1



5 3 4 7 (2  3, 65)2  (3 3, 65)2  (4 3, 65)2  (5 3, 65)2  1,15 26 13 13 26

Bài 2.14 Biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận ba giá trị có thể có là x1 = 4 với xác suất P1 = 0,5; x2 = 0,6 với xác suất P2 = 0,3 và x3 với xác suất P3. Tìm x3 và P3 biết E(X) = 8. Giải: Ta có P3 = 1 – P1 – P2 = 1 – 0,5 – 0,3 = 0,2 E(X) = 8 = 0,5.4 + 0,6.0,3 + x3.0,2 hay 0,2.x3 = 5,82 Do đó X3 = 29,1. Bài 2.15 Biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận ba giá trị có thể có là x1= -1, x2=0, x3= 1. Tìm các xác suất tương ứng p1 , p 2 , p3 biết rằng E(X)= 0,1 và E(X2)=0,9. Giải: Ta có bảng phân phố i xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc X là: 10

TS. Nguyễn Văn Minh

ĐH Ngoại Thương Hà nội

X

-1

0

1

P

p1

p2

p3

 E( X )  0,1   p1 +0. p2  p3  0,1  p1  0,4   p2  0,1 (1) Theo bài ra ta có :   2  E( X )  0,9  p1 +0. p2  p3  0,9  p3  0,5

Vậy p1  0,4; p2  0,1; p3  0,5 . Bài 2.16 Biến ngẫu nhiên rời rạc X có qui luật phân phối xác suất như sau: X

x1

x2

P

p1

0,7

Tìm x1 , x2 , p1 biết E(X) = 0,7 và V(X) = 0,21. Giải: Dễ thấy p 2  1 p1  0,3 .

 E (X )  0,7  0,3x1  0,7x2  2,7 x  2 .  1 Ta có  2 2 2 V (X )  0,21  0,3x 1  0,7x 1  2, 7  0, 21  x2  3 Bài 2.17 Có 5 sản phẩm trong đó có 4 chính phẩm và một phế phẩm. Người ta lấy ra lần lượt 2 sản phẩm ( lấy không hoàn lại). a)

Gọi X là: “số phế phẩm có thể gặp phải”. Lập bảng phân phố i xác suất của X.

b)

Tính E(X) và V(X).

c)

Gọi Y là: “ số chính phẩm có thể gặp phải”. Lập hệ thức cho biết mối quan hệ giữa Y và X.

d)

Tính E(Y) và V(Y).

Giải: a)

Vì có 5 chính phẩm và 1 phế phẩm nên nếu gọ i X là “số phế phẩm có thể gặp phải” thì X= 0

hoặc X=1 C24 Gọi X0 là biến cố “ không gặp phải phế phẩm nào”: P(X0)= 5 = 0,6. C2 Gọi X1 là biến cố “ gặp phải 1 phế phẩm”: P(X1) =

C11 .C14 = 0,4 C 52

Ta có bảng phân phố i xác suất của X:

b)

X

0

1

P

0,6

0,4

E(X)= X1P1+X2P2=0,4.

V(X) = E(X2) – E2(X)= 0+12.0,4 – 0,42=0,24. 11

TS. Nguyễn Văn Minh

c)

ĐH Ngoại Thương Hà nội

Y: “số chính phẩm có thể gặp phải”. Ta có X+Y=2. Vì X nhận 2 giá trị 0, 1 nên tương ứng Y cũng

nhận 2 giá trị 2, 1. d)

Ta có bảng phân phố i xác suất của biến ngẫu nhiên Y:

P[Y  1]  P[ X  1], P[Y  2] P[ X  0] Y

1

2

P

0,4

0,6

E(Y) = Y1P1+Y2P2= 1.0,4+2.0,6=1,6. V(Y)= E(Y2) – E2(Y) = 0,4+22.0,6-1,62=0,24. Bài 2.18 Trở lại bài 2.8. Nếu giá bình quân của mỗi chiếc xe máy bán ra tại cửa hàng đó là 12 triệu đồng thì doanh thu bình quân hàng tuần của cửa hàng đó là bao nhiêu ? Giải: Số xe máy bình quân cửa hàng đó bán ra là E(X) = 4,33. Doanh thu trung bình của cửa hàng = 12.E(X) = 12.4,33 = 51,96 (triệu đồng) Bài 2.19 Với các số liệu của bài 2.10, giả sử chi phí cho mỗi chuyến xe là 200 ngàn đồng không phụ thuộc vào số khách đi trên xe thì để công ty xe buýt có thể thu được lãi bình quân cho mỗi chuyến xe là 100 ngàn đồng thì phải quy định giá vé là bao nhiêu? Giải: * Các số liệu đã cho của bài tập 2.10 như sau: Thống kê số khách trên 1 ô tô buýt tại một tuyến giao thông thu được các số liệu sau: Số khách trên 1 chuyến

20

25

30

35

40

Tần suất tương ứng

0,2

0,3

0,15

0,1

0,25

* Với câu hỏ i của bài tập 2.19, Ta gọi a là giá vé quy định, theo đề bài: a.E(X) = 200+100. Suy ra a = 300/E(X) = 300/29,5 = 10,17. Vậy phải quy định giá vé là 10,17 nghìn đồng. Bài 2.20 Kinh nghiệm cho thấy là số lượng một loại sản phẩm mà một khách hàng mua có bảng phân phối xác suất như sau:

a)

Số lượng sản phẩm

0

1

2

3

Xác suất tương ứng

0,5

0,1

0,2

0,2

Nếu mỗi sản phẩm được bán với giá 110 ngàn đồng và nhân viên bán hàng đ...