GIẢI TICH PHỨC PDF

Preview

Summary

LÝ THUYẾT & BÀI TẬP MÔN GIẢI TÍCH PHỨC (Tài liệu chỉ có nh chất tham khảo – h p://nguyenchiphuong.WordPress.com ) Trong tài liệu này xin tổng hợp lại tất cả các dạng bài tập có liên quan tới đề thi của các năm. Riêng các bài tập căn bản các bạn xem lại trong các ví dụ ở giáo trình trên lớp. Môn ...

Description

LÝ THUYẾT & BÀI TẬP MÔN GIẢI TÍCH PHỨC (Tài liệu chỉ có nh chất tham khảo – h p://nguyenchiphuong.WordPress.com ) Trong tài liệu này xin tổng hợp lại tất cả các dạng bài tập có liên quan tới đề thi của các năm. Riêng các bài tập căn bản các bạn xem lại trong các ví dụ ở giáo trình trên lớp. Môn giải ch phức thực chất là một môn tương đối cơ bản nhưng lại có “môt chút rắc rối” (không phải ở môn học mà ở… các bạn chắc đã hiểu) vì vậy mọi người đừng chủ quan nhé. Sau đây là một số dạng bài tập mà chúng ta sẽ ôn tập I. BÀI TOÁN 1: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH 1.1. Kiến thức bổ trợ a. Đồng nhất số phức Cho =

+

khi đó phương trình =

+

= =

⇔

b. Căn thức Số phức được gọi là căn bậc của số phức đúng nghiệm được xác định bởi công thức = √

cos

+2

+ sin

=

nếu +2

,

(1) và phương trình (1) có

= 0,1, … , − 1

1.2. Bài tập mẫu Bài 1.1 (bài 21.SGK,tr 18): Giải các phương trình sau: +

a. d. +

+

=

=

b.

+

=

c.

= ( +

e.

+

=√

f.

= .

)

Giải: a. 5 b.

+ 2 + 10 = 0 ⇔ + 81 = 0 ⇔

=

=− +

=

=− −

= −81

Ta có −81 = 81(cos( ) + sin( )) Khi đó căn bậc 4 của −81 được xác định bởi = √81 cos GIẢI TÍCH PHỨC

+2 4

+ sin

+2 4

= 3 cos

+2 4

+ sin

+2 4

,

= 0,1,2 01

√

= 3 cos + sin

=1⇒

= 3 cos

+ sin

=3 −

√

+

√

=2⇒

= 3 cos

+ sin

=3 −

√

−

√

=3⇒

= 3 cos

+ sin

=3

Vậy

,

,

,

=3

√

=0⇒

+

+2 ̅=

⇔

√

−

⇔

− =−

=− +

, khi đó

2− ⇔ 1+3

3 =−

√

+ 81 = 0

là nghiệm của phương trình

c. 2 = (2 + 9 ) ⇔ 2 = −9 + 2 ⇔ d. Đặt =

+

Vậy

=−

e.

+ 1 = √3 ⇔

+

+ 2( −

)=

(2 − )(1 − 3 ) ⇔3 − 10

=−

1 7 − 10 10

=− =

+ = −1 + √3

Ta có −1 + √3 = 2 − +

√

= 2 cos

+ sin

Khi đó căn bậc 6 của −1 + √3 được xác định bởi 2 +2 = √2 cos 3 6 =0⇒ =1⇒

2 +2 + sin 3 6

= √2 cos

+3 9

+ sin

+3 9

= √2 cos + sin 9 9 4 4 = √2 cos + sin 9 9

=2⇒

= √2 cos

7 7 + sin 9 9

=3⇒

= √2 cos

10 10 + sin 9 9

GIẢI TÍCH PHỨC

02

=4⇒

= √2 cos

13 13 + sin 9 9

=5⇒

= √2 cos

16 16 + sin 9 9

,

Vậy

,

,

,

,

là nghiệm của phương trình

+ 1 = √3 .

=

f.

Ta có = cos + sin Khi đó căn bậc 2 của được xác định bởi = cos 2 =0⇒

= cos

=1⇒

= cos

,

Vậy

+2 2 4

+ sin 2

+ sin

4

=

+2

= cos

2

+4 4

+ sin

+4 4

,

= 0,1.

+2 2

,

√2 √2 + 2 2

5 5 √2 √2 + sin =− − 4 4 2 2

là nghiệm của phương trình

= .

Bài 1.2 (bài 24.SGK,tr 18): Giải phương trình: ( −

)=

Giải: (1 − Xét 1 + 3√7 có cos sin

) = 16 ⇔

−

+ 16 = 0 ⇔

= 1 + 3√7 = 1 − 3√7

= √1 + 63 = 8

= = =

=

√

= √8 cos

, khi đó căn bậc 2 của 1 + √63 được xác định bởi +2 2

+ sin

+2 2

=0⇒

= 2√2 cos + sin 2 2

=1⇒

= 2√2 cos

GIẢI TÍCH PHỨC

= 2√2 cos

+2 +2 + sin 2 2

+2 2

+ sin

= 0,1.

= −2√2 cos + sin 2 2 03

Ta có cos = ±

=±

Chọn cos = ; sin = = 2√2

⎨ ⎪ ⎩

= −2√2 ,

=±

3 √7 + 4 4

là nghiệm của phương trình

= 1 + 3√7

= 2√2

⎨ ⎪ ⎩

= −2√2

Suy ra

, khi đó

3 √7 − 4 4

là nghiệm của phương trình ,

√

3 √7 − 4 4

⎧ ⎪

,

√

, khi đó

Làm tương tự với 1 − 3√7 trong đó chọn cos = ; sin = −

Vậy

=±

3 √7 + 4 4

⎧ ⎪

Vậy

√

= ± và sin = ±

,

,

= 1 − 3√7

là nghiệm của phương trình

(1 −

) = 16

II. BÀI TOÁN 2: TÌM ẢNH VÀ TẠO ẢNH QUA ÁNH XẠ PHỨC 2.1. Kiến thức bổ trợ Để m ảnh của một điểm, đường thẳng hay đường tròn qua ánh xạ phức ( , ) + ( , ), ta xác định mối liên hệ của , dựa trên miền cho trước

= ( )=

Ngược lại để m tạo ảnh của hàm ( , ), ( , ), ta xác định mối liên hệ của , . 2.2. Bài tập mẫu Bài 2.1 (bài 6, SGK, tr 55): Tìm ảnh của đường

=

qua ánh xạ phức

= .

= ( , )+

( , )

(Đề thi kết thúc môn GTP - khóa 16) Giải: Giả sử

=

+

GIẢI TÍCH PHỨC

, khi đó

= =

=

−

04

( , )=

+

⇒ ( , )=−

+

Với

= 1, khi đó ( , ) =

⇒

+

=

1+ (1 +

)

=

và ( , ) = −

1 1+

=

⇔

−

+

=0⇔

−

1 2

+

=

1 4

= 1 là đường tròn tâm ( , 0), bán kính là .

Vậy ảnh của đường

Bài 2.2 (bài 7, SGK, tr 55): Dùng tham số hóa để m ảnh của đường tròn | − ánh xạ phức = − .

|=

qua

Giải: =

Giả sử

Ta có | − =

+

,

=

|=

⇒

−2= (

+

= (−

−2−

+ −

= )−2 =

sin ) + (

( , ) = − −2− ( , ) = + cos

⇒

⇒ ( +(

⇔

sin

+ 2) ) + ( −

=

+

, khi đó

+ (cos + sin ) − 2

+

+

cos ) = ( , ) +

⇔

sin = ( , ) + cos = ( , ) −

( , ) +2

) =

Vậy ảnh của đường tròn | − (− − 2, ), bán kính . Bài 2.3: Cho hàm

=

|=

qua ánh xạ

=

− 2 là đường tròn tâm

. Tìm ảnh của:

a. Đường tròn | | = , b. Miền quạt < < . Giải: a. Giả sử = ⇒

+

, khi đó

=

=( +

) =

−

+2

= ( , )+

( , )

( , )= − ( , )=2

= 2 cos Ta có phương trình tham số của đường tròn | | = 2 là: = 2 sin 0≤ ≤2 GIẢI TÍCH PHỨC

05

Khi đó: ( , ) = (2 cos ) − (2 sin ) = 4(cos ( , ) = 2.2 cos . 2 sin = 4 sin 2 ⇒

+

4

− sin

= cos 2 + sin 2 = 1 ⇔

4

+

) = 4 cos 2

= 16

Vậy ảnh của đường tròn | | = 2 trong mp( ) là đường tròn có tâm là gốc tọa đô, bán kính là 4 trong mp( ) =

b. Đặt Ta có

⇒0<

= (cos

<

+ sin ) ⇒

Ta coi miền quạt 0 <

=

=

(cos 2 + sin 2 ) ⇒

< được quét bởi a

=2

= , với biến thiên từ 0 đến

Theo chứng minh trên thì ảnh của a = qua phép biến hình 2 . Khi biến thiên từ 0 đến thì 2 biến thiên từ 0 đến .

=

Vậy ảnh của miền quạt 0 <

< .

= , =

Bài 2.4: Cho hàm

< là nửa mặt phẳng trên 0 < +

là a

=

. Tìm:

a. Ảnh của đường = b. Tạo ảnh của đường = . Giải: a. Ta có: =

1

( , )=

=

( , )=− =

Vậy ảnh của đường

GIẢI TÍCH PHỨC

=

+

−

+

= ( , )+

( , )

+ = 0, khi đó

( , )=0 ( , ) = − , ( ≠ 0) ⇒

+ Trường hợp

− +

=

+

⇒

+ Trường hợp

1 +

=

=−

= 0 là trục ảo trừ gốc tọa độ ≠ 0, khi đó 06

( , )=

+

( , )=− ⇒

+

⇔

−

=

+ (

+

+ +

=

b.

⇔

)

=0⇔

−

=

Vậy ảnh của đường

1 +

=

1 2

= +

=

1 4 , 0 , bán kình là

là đường tròn tâm

| |

, ( ≠ 0).

=

+ Trường hợp = 0 ⇒

=0

Vậy tạo ảnh của đường

= 0 là trục ảo trừ gốc tọa độ

+ Trường hợp ≠ 0, khi đó +

= ⇔

− +

Vậy tạo ảnh của đường

=0⇔

−

+

= là đường tròn tâm

= , 0 , bán kình là

| |

, ( ≠ 0).

III. BÀI TOÁN TÌM GIỚI HẠN VÀ CHỨNG MINH SỰ LIÊN TỤC CỦA HÀM PHỨC 3.1. Kiến thức bổ trợ a. Giới hạn dãy số phức { }, = Cho lim = →

+ = +

⇔

lim

=

lim

=

→

→

b. Giới hạn hàm phức Cho

( )= ( , )+

( , ),

=

+

, = lim →

lim ( ) = ⇔ →

+

, khi đó

( , )=

→

lim ( , )= → →

Nếu khi xét → theo các hướng khác nhau thì có các kết quả khác nhau thì ta kết luận không tồn tại giới hạn tại = . GIẢI TÍCH PHỨC

07

c. Hàm liên tục Cho ( ) xác định trong lân cận điểm

( ) liên tục tại

, khi đó:

+ ( ) á đị ℎ ạ + ồ ạ lim ( )

⇔

→

+ lim ( ) = ( ) →

( ) liên tục trên miền

nếu

liên tục tại mọi điểm thuộc .

3.2. Bài tập mẫu Bài 3.1: Tính

(

→

+ )

Giải: Giả sử

=

+

, khi đó

+ =( + ⇒

) + =

( , )= − ; ( , )=2 +1

lim ( , ) = lim ( → →

→ →

( , ) = lim (2 lim → → →

+ (2

−

+ 1) = ( , ) +

( , )

=1+ )=0

−

+ 1) = 3

→

Vậy lim ( →

( , ) + lim ( , ) = 3 + 1) = lim → → →

→

Bài 3.2 (bài 6, SGK, tr51): Chứng minh rằng − →

+ −

−

+

=

+

.

Giải: = lim

3

→

= lim[3 →

−2

+8 −

+ (3 − 2)

−2 +5

= lim

( − )[3

→

+ (5 − 2 ) + 5 ] = 3

+ (3 − 2) − + (3 − 2)

+ (5 − 2 ) + 5 ] + (5 − 2 ) + 5

= −3 − 3 + 2 + 5 + 2 + 5 = 4 + 4 Bài 3.3 (bài 9, SGK, tr52): Tính các giới hạn sau:

GIẢI TÍCH PHỨC

08

a.

b.

→

c.

→

→

(

)

Giải: a. Đặt ( ) = ( )=

+ 1; ( ) =

+ 1 = 0; ( ) =

+ 1, khi đó ()

+ 1 = 0 và

=6

=6 ≠0

Áp dụng quy tắc L’Hospital ta có ( ) ′( ) 10 = lim = lim → → 6 ( ) ′( )

lim →

⇒ lim →

+1 5 = . +1 3

b. lim

= lim

→

⇒ lim →

=

5 3

=

5 3

= lim

→

= 1 và lim

→

→

5 3

= lim

→

Ta có lim

= lim

→

=1

→

1 − cos 1 = . sin 2

c. lim(cos ) = →

Bài 3.4: Xét sự tồn tại giới hạn của

.

→

Giải: Giả sử

=

+

, khi đó =

+ Cho

→ 0 theo hướng trục

̅

lim →

+ Cho

̅

khi đó

= lim →

+ −

→ 0 theo hướng đường thẳng lim →

GIẢI TÍCH PHỨC

̅

= lim →

+ −

=0 = lim →

= lim 1 = 1 (1) →

=

= lim →

+ −

= lim →

1+ 1−

= −1 (2)

09

Từ (1) và (2) ta suy ra không tồn tại giới hạn lim ̅

→

Lưu ý: điều kết luận trên cũng có nghĩa là hàm số ( ) =

không liên tục tại ̅

= 0.

Bài 3.5: Xét nh liên tục của hàm − −

( )=

ế | |≠

ạ

= ,

=

ế | |= Giải: = 1 ta có:

+ Tại

(1) = 3 và lim ( ) = lim →

= lim (

→

+ + 1) = 3

→

Vậy lim ( ) = (1) nên hàm số liên tục tại

=1

→

=

+ Tại

( ) = 3 và lim ( ) = lim →

= lim(

→

+ + 1) =

→

Vậy lim ( ) ≠ (1) nên hàm số gián đoạn tại →

=

Bài 3.6: Cho các hàm ( )

a. ( ) =

b. ( ) = |

Có thể gán giá trị của hàm số tại

=

c. ( ) =

|

để nó trở thành hàm liên tục tại

( ) | |

=

hay không?

Giải: a. Chọn 2 dãy

= và

∗

= , khi đó

,

∗

→ 0 khi

→∞

Xét lim ( ) = lim →

→

lim ( ∗ ) = lim ∗ ∗ →

GIẢI TÍCH PHỨC

( )

→

1 = lim →

( ∗) ∗

= lim →

1

= lim 1 = 1 →

0 = lim 0 = 0 1 →

10

Suy ra không tồn tại lim ( ) nên không thể gán giá trị của hàm số tại điểm →

= 0.

thành hàm liên tục tại = và

b. Chọn 2 dãy

= 0 để nó trở

∗

= + , khi đó

,

∗

→ 0 khi

→∞

Xét 1 lim ( ) = lim →

| |

→

= lim →

1

= lim 1 = 1 →

1

∗

lim ( ∗ ) = lim ∗ ∗ →

∗|

|

→

= lim →

+

1

= lim →

1

+

1+ √2

=

1+ √2

Suy ra không tồn tại lim ( ) nên không thể gán giá trị của hàm số tại điểm →

= 0.

thành hàm liên tục tại =

c. Giả sử

+ ( )

Khi đó ( ) =

⇒

= 0 để nó trở

| |

=

⎧ ( , )= ⎪

+

⎨ ( , )= ⎪ ⎩

+

(

)

=

= ( , )+

+

( , )

Ta có 0≤

≤

0≤

| |

= | | mà lim | | = 0 nên lim ( , ) = lim → →

≤

→ →

=

mà lim → →

Từ (1) và (2) suy ra lim ( ) = lim →

→

Vậy có thể gán giá trị ( ) = 0 tại

( ) | |

→ →

= 0 (1)

= 0 nên lim ( , ) = lim → →

→ →

= 0 (2)

=0

= 0 để nó trở thành hàm liên tục tại

Bài 3.7 (câu 2, đề thi môn GTP – K16): Chứng minh rằng hàm ( ) =

= 0.

liên tục trên ℂ.

Giải: Giả sử

=

+

GIẢI TÍCH PHỨC

, khi đó ( ) = ̅ =

−

= ( , )+

( , ) 11

( , )= ( , )=−

⇒

Lấy tùy ý

=

∈ ℂ, khi đó ta có: ( ) =

+

−

Xét lim →

( , ) = lim →

→

=

→

( , ) = lim (− ) = − lim → → →

→

[ ( , )+ ⇒ lim ( ) = lim → →

−

= ( )

→

Suy ra hàm số liên tục tại Do

( , )] =

=

lấy tùy ý trong ℂ nên hàm ( ) liên tục trên ℂ.

Bài 3.8 (bài 10, SGK,tr 52): Chứng minh rằng hàm ( ) = .

liên tục đều trên miền | | <

Giải: Đặt : { : | | < 1} Với , ′ ∈

ta có

| ( ) − ( )| = | Vậy ∀ > 0, ∃ = , ∀ , Do đó ( ) =

− ′ | = | − ′|| + ′| ≤ | − ∈ :| −

|<

|(| | + | |) < 2| − ′|

⇒ | ( ) − ( )| < 2| −

| | |≤

c. ( ) =

(đề thi môn GTP – K18)

Giải: a. ( ) =

−

−2

( , )= ( , )=

⇒

− −

+ (

−

+2

) = ( , )+

( , )

−2 +2

Suy ra =2 −2 ; ⇒

=

=2 −2 ;

=2 −2

à

= −2 − 2 ; =−

=2 +2

= −2 − 2

Vậy ( , ), ( , ) có các đạo hàm riêng liên tục tại mọi điểm ( , ) và thỏa điều kiện Cauchy-Riemann nên ( ) có đạo hàm hay khả vi tại mọi điểm thuộc mặt phẳng phức b. Giả sử ( )=

= (cos + sin ), khi đó + ̅=

=(

cos 5 + cos ) + (

( , )= ( , )=

⇒

(cos 5 + sin 5 ) + (cos − sin ) sin 5 − sin ) = ( , ) +

( , )

cos 5 + cos sin 5 − sin

Suy ra =5

cos 5 + cos ;

= −5

sin 5 − sin ;

=5

sin 5 − sin

=5

cos 5 − cos

Rõ ràng 1

−

= 1

1

(5

cos 5 − cos ) = 5

1 = − (−5

cos 5 − cos

sin 5 − sin ) = 5

≠

sin 5 + sin

≠

Vậy ( , ), ( , ) có các đạo hàm riêng không thỏa điều kiện Cauchy-Riemann nên ( ) không khả vi tại mọi . c. + Tập

= { : | | > ...