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Gram-Schmidtsches-Orthogonalisierungsverfahren, Aufgabe und Lösung...

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Gram-Schmidt’sches Orthogonalisierungsverfahren gegeben: Folgende Vektoren des R3 :     0 1 ~y =  2  ~x =  2  1 0



 2 ~z =  0  −1



 1 w ~ =  −2  0

gesucht: Eine Orthonormalbasis des von diesen Vektoren aufgespannten Raumes. √ √ 1. ~x ist der 1. Richtungsvektor ( v~1 ). ||~x|| =  1 + 4+ 0 = 5. 1 Erste normierter Richtungsvektor u~1 = √15  2  0 2. Berechnung des n¨ achsten Richtungsvektors v~2 durch Einbeziehung von ~y nach der Formel v~2 = ~y − hu~1 , ~yi · u~1 hu~1, ~yi = √15 (0 + 4 + 0) = √45           0 0 1 1 −4 1 4 4 1 v~2 =  2  − √ · √  2  =  2  −  2  =  2  5 5 5 5 1 1 0 0 5 √ Mit || v~2 || = 54 16 + 4 + 25 = . . . = √35 ergibt sich der zweite normierte     −4 −4 √ 1  2  Richtungsvektor u~2 = ||v~12 || v~2 = 5·35  2  = 3√ 5 5 5 NR:

3. Berechnung des n¨ achsten Richtungsvektors v~3 durch Einbeziehung von ~z nach der Formel v~3 = ~z − hu~1, ~z i · u~1 − hu~2 , ~zi · u~2 √ hu~1, ~z i = √25 , hu~2 , ~zi = 3−13 5       2 1 −4 1 2 1 13 v~3 =  0 − √ · √  2 + √ · √  2  = . . . = 5 5 3 5 3 5 −1 0 5  2 Wir begn¨ugen uns damit, den Richtungsvektor v˜~3 =  −1 2 mieren, um damit u~3 zu erhalten:   2 √ u~3 = 31  −1  ||v~˜3 || = 4 + 1 + 4 = 3. 2

NR:



 2 2 −1  9 2 

 zu nor-

4. Die Einbeziehung des 4. Vektors w ~ bringt keinen weiteren Beitrag zur Orthonormalbasis, wie folgende Rechnung zeigt: v~4 = w ~ − hu~1 , wi ~ · u~1 − hu~2 , wi ~ · u~2 − hu~3 , wi ~ · u~3 = . . . = 0~ L¨ osung: Die Vektoren u~1 , u~2 und u~3 bilden damit die gesuchte Basis....