Guia 3 Limite - Guía de ejercicios PDF

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Guía de ejercicios...

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Guía 3 Matemática

2014 Bienvenido a la serie de guías resueltas de Exapuni! Esta serie de guías resueltas fue hecha por estudiantes de la comunidad Exapuni para facilitar el estudio y con la mejor intención de ayudar. Esperamos que te sean útiles. Podés buscar todo el material, responder tus dudas y mucho más durante toda tu carrera en www.exapuni.com, sumate!

Límite de funciones y asíntotas Ej. 1) Analizando el gráfico… Nos piden que calculemos el límite de las funciones graficas cuando tiende a

ya

. Hay que tener en cuenta que las líneas punteadas son asíntotas. Sabiendo que se aproxima a las asíntotas pero nunca llega podemos resolver el ejercicio. a)

Mientras más grande es el valor de más la imagen se aproxima al valor Cuando tiende a

(

).

el valor de la imagen es .

b)

Bajate los resueltos y respondé tus dudas en www.exapuni.com 1

c)

Notar que no hay asíntota cuando tiende a

.

d)

e)

No hay asíntotas. f)

Tanto el seno como el coseno son funciones periódicas (los valores de la función se repiten conforme se añade a la variable independiente un determinado período), las mismas no tienen límite en el infinito. Ej. 2) Calcular… Vamos a ir resolviendo los ejercicios y explicando que pasa en cada caso particular, cualquier duda podes consultar en la página. a) ⏞ Infinito es un número extremadamente grande, si elevamos un número extremadamente grande al cuadrado y lo multiplicamos por cuatro vamos a obtener un Bajate los resueltos y respondé tus dudas en www.exapuni.com 2

. Hay número extremadamente grande. Esta es la razón del que el resultado sea que tener en cuenta esta lógica que acabamos de plantear para resolver los ejercicios de límite. b) ⏞ Pasa lo mismo que en el inciso anterior, la lógica es la misma. c) ⏞ Es similar a los dos incisos anteriores, al elevar

a la quinta el resultado es

, al

multiplicarlo por un número negativo cambia el signo del número siendo el resultado . d) ⏟ ⏟ En este ejercicio sucede algo diferente, al dividir un número por infinito obtenemos como resultado el cero. Esto se debe a que mientras más grande sea el número del denominador de una fracción más nos aproximamos al valor . Podes probar esto fácilmente con una calculadora. e) (

) (

⏟

)

f) (

)⏞

(

) ⏟

g) Bajate los resueltos y respondé tus dudas en www.exapuni.com 3

)

(

(

)

h)

⏞)

( ⏟(

⏟

⏟

) (

⏟

⏟

⏞

)

i) (

⏟

⏟

) ⏟

⏞

j) ( (

⏞ ⏟ (

⏞ )

)

(

(

)

(

)

)

⏟)

k) (

(

)

)

(

(

⏞ )

) ⏟

l)

Bajate los resueltos y respondé tus dudas en www.exapuni.com 4

(

(

⏞ ⏟

m)

(

)

)

(

)

⏟ ) )

(

(

(

)

)

(

(

(

)

(

)

)

)

(

⏞

(

(

(

n)

(

)

(

(

(

)

(

⏟)

⏟

)

⏞ )

)

) (

)

(

)

⏞ (

⏞ )

⏟)

)

⏞

o) (

)(

)

(

(

)

)(

)

Bajate los resueltos y respondé tus dudas en www.exapuni.com 5

p)

(

⏟ (

⏟

(

)(

)

)

( ( ( ( )( ) ⏟ ⏟

⏟ )

(

(

) )

)

)(

(

) )

(

(

(

(

(

)

⏞

)

)(

⏞ )

⏟)

(

)(

⏟(

) )

) ⏟

)

Ej. 3) Calcular… a)

⏟

La lógica es la misma que en el punto anterior, hay que tener en cuenta que al elevar a un número par se transforma en

. No es el caso pero hay que tenerlo en

cuenta. b) ⏟ ⏟ c)

Bajate los resueltos y respondé tus dudas en www.exapuni.com 6

( d)

)

⏞

⏟ ⏟

(

)

(

)

⏟

(

e)

)

(

)

(

⏞

( ⏟(

⏟⏞

⏟⏞

)

) ⏟

)

f)

(

(

)

)

(

(

g) (

)

⏞ ⏟) ⏟ ⏟

)

⏟

h)

Bajate los resueltos y respondé tus dudas en www.exapuni.com 7

(

(

)

)

(

⏞

⏟

⏟ )

i) (

)

⏞

(

⏟

⏞ )

j) (

)

(

)

(

)

⏟

( ⏞

) ⏟

k) )

(

(

(

(

)

)

)

⏞

(

)

) ⏟

(

l) (

(

)

)

(

(

)

)

Bajate los resueltos y respondé tus dudas en www.exapuni.com 8

⏞

(

⏞ (

⏞)

⏟

)

Ej. 4) Analizar la existencia…

Para determinar las asíntotas horizontales de una función tenemos que hacer el límite de la función tendiendo a

ya

. Si alguno de los límites da como resultado un

número ese número es una asíntota horizontal. Ahora resolviendo los ejercicios se va a entender mejor. a)

Resolvamos primero con limite tendiendo a (

)

(

. ) ⏟

El resultado es , por lo tanto existe un asíntota horizontal en Veamos que pasa ahora cuando el límite tiende a (

)

(

.

.

) ⏟

Obtenemos el mismo resultado, entonces existe una sola asíntota horizontal en . Graficamos para que se entienda mejor:

Bajate los resueltos y respondé tus dudas en www.exapuni.com 9

Esta es una función homográfica, vamos a verlas mejor a partir del ejercicio 11. En el grafico se puede ver una asíntota vertical (después vamos a aprender cómo encontrarlas) y además se puede apreciar que la función se aproxima a nunca llega. Por lo tanto a

como a

pero

es una asíntota horizontal tanto cuando el límite tiende

y se corrobora lo que deducimos antes analíticamente.

b) Resolvamos primero con limite tendiendo a

(

(

)

)

.

⏞ )

( (

) ⏟

Por lo tanto hay una asíntota horizontal en

.

Veamos que pasa ahora cuando el límite tiende a

(

(

)

)

(

⏞ )

(

) ⏟

.

Obtenemos el mismo resultado, entonces existe una sola asíntota horizontal en . c) Bajate los resueltos y respondé tus dudas en www.exapuni.com 10

.

Resolvamos primero con limite tendiendo a (

(

)

Por lo tanto hay una asíntota horizontal en

.

)

(

⏟

⏟(

⏟

⏟

)

⏟ )

Obtenemos el mismo resultado, entonces existe una sola asíntota en

.

d)

(

(

Al dar como resultado

)

)

⏞ (

⏞ )

⏟

.

sabemos que no existe asíntota horizontal cuando

(

(

Al dar como resultado -

(

)

)

⏟

⏞ )

sabemos que no existe asíntota horizontal cuando

.

e) (

)

⏞

⏞ (

Por lo tanto hay una asíntota horizontal en

⏟) .

Bajate los resueltos y respondé tus dudas en www.exapuni.com 11

(

)

⏞

⏟

(

⏟)

Obtenemos el mismo resultado, entonces existe una sola asíntota horizontal en

.

f) ( ⏞

⏞( (

⏞ )

(

)

(

(

)

)

⏟)

⏟

Al dar como resultado

sabemos que no existe asíntota horizontal cuando (

⏞

⏞ ( (

)

⏟

⏞ )

(

)

)

(

(

.

)

)

⏟)

Al dar como resultado

sabemos que no existe asíntota horizontal cuando

.

g) (

(

)

)

(

(

)

)

Bajate los resueltos y respondé tus dudas en www.exapuni.com 12

(

(

⏞

⏞)

⏟

⏟

) Por lo tanto hay una asíntota horizontal en (

( (

⏞

⏞ )

⏟

⏟)

. )

)

(

)

(

)

(

Obtenemos el mismo resultado, entonces existe una sola asíntota horizontal en

.

h) .

Resolvamos primero con limite tendiendo a

( (

⏞ (

⏞ ) ⏟

(

(

)

(

)

)

)

⏟)

Por lo tanto hay una asíntota horizontal en

.

Bajate los resueltos y respondé tus dudas en www.exapuni.com 13

( ⏞

(

⏞(

⏞ )

⏟

(

)

)

(

(

⏟ )

)

)

Obtenemos el mismo resultado, entonces existe una sola asíntota en

.

Ej. 5) Determinar el valor… a)

Resolvemos: ( (

(

(

⏞ )

)

)

) ⏟

b)

Bajate los resueltos y respondé tus dudas en www.exapuni.com 14

(

(

⏞ )

⏞

( (

)

)

⏟ )

c) Es similar a los incisos anteriores pero expresado de otra forma, lo vamos a expresar como en los incisos anteriores:

Lo resolvemos con

ya que el límite es igual tanto por izquierda como por

derecha.

( (

)

) ⏟

Ej. 6) Dado el gráfico de… El ejercicio es similar al ejercicio 1. Bajate los resueltos y respondé tus dudas en www.exapuni.com 15

a)

b)

No hay asíntotas en la función (notar que en el gráfico no se restringe ningún punto). c)

En los limites anteriores no es claro si existe o no límite. No hay línea punteada marcando asíntota aunque la función parece comportarse como si hubiera asíntota en . Sin embargo como no hay información suficiente para concluir esto preferimos poner que no existe (no te preocupes que no te van a tomar esto en el parcial)

Es igual a los casos anteriores, lo ponemos separado para hacer una aclaración. Notar que en este límite no se aclara si es por izquierda o por derecha (falta el signo), por lo tanto solo tiene sentido resolverlo si los limites por los laterales son los mismos.

d)

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e)

f)

Ej. 7) Calcular. Tener en cuenta que cuando el resultado es

o

significa que hay asíntota

vertical para el valor al que tiende el límite. a) ⏟ ⏟ b)

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c) (

(

) (

) (

)

)

d)

Si reemplazamos en el valor , obtenemos una indeterminación del tipo Tenemos que salvar la indeterminación:

Por lo tanto no tiene asíntota vertical en

(Para que exista asíntota vertical el

limite tiene que ser infinito) e)

f)

g)

h)

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Ej. 8) Analizar la existencia... Ahora en vez de las asíntotas horizontales nos piden que calculemos las verticales, para calcular este tipo de asíntotas hay que analizar el dominio de la función y ver qué valores no puede tomar. En esos valores que el dominio no puede tomar probablemente estén las asíntotas que buscamos. Vamos a resolver: a)

El denominador no puede tomar el valor . Por lo tanto:

Por lo tanto el dominio es: ( )

{

}

Analizamos que pasa con el límite en ese valor. ( (

)

(

)

(

)

)

Debido a que el límite es existe una asíntota vertical en

.

b)

Analicemos el dominio de la función: Bajate los resueltos y respondé tus dudas en www.exapuni.com 19

Veamos que sucede en este valor:

Debido a que el límite es existe una asíntota vertical en

.

c)

Analicemos el dominio de la función:

Tenemos que aplicar la formula resolvente para descomponer en raíces: √

√

√

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Por lo tanto:

Esto significa que tenemos que analizar si existen asíntotas en ambos valores: ⏟ ⏟ Debido a que el límite es existe una asíntota vertical en

.

⏟ ⏟ Por lo tanto también existe una asíntota vertical en

.

d)

Analicemos el dominio de la función:

Tenemos que aplicar la formula resolvente para descomponer en raíces: √

√

√

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Esto significa que tenemos que analizar si existen asíntotas en ambos valores:

Debido a que el límite es existe una asíntota vertical en

Por lo tanto no hay asíntota en

.

.

Ej. 9) Dar el dominio y las... a)

Analizamos el dominio de la función:

Ahora vemos que pasa en el valor Bajate los resueltos y respondé tus dudas en www.exapuni.com 22

Debido a que el límite es existe una asíntota vertical en

.

Ahora vamos a ver si tiene asíntotas horizontales:

(

(

(

(

(

(

)

)

)

)

)

)

(

(

(

(

(

(

⏞ ) ) ⏟

⏞ ) ) ⏟

⏞ )

) ⏟

Por lo tanto tiene una asíntota horizontal en

.

b)

Analizamos el dominio de la función:

Ahora vemos que pasa en el valor Bajate los resueltos y respondé tus dudas en www.exapuni.com 23

⏟ ⏟ ⏟ ⏟ Por lo tanto tiene una asíntota vertical en

.

Analicemos si tiene asíntotas horizontales: ⏟ ⏟ Por lo tanto tiene una asíntota horizontal en

.

c)

Analizamos el dominio de la función:

No existe ningún valor en los números reales que elevado al cuadrado de negativo. El dominio son todos los reales y por lo tanto no existe asíntota vertical. Ahora busquemos asíntotas horizontales: (

(

)

)

⏟

⏞

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(

(

)

⏞

⏟

) Por lo tanto tiene una asíntota horizontal en

.

d)

Analizamos el dominio de la función:

Tenemos que aplicar la formula resolvente para descomponer en raíces: √

√

√

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⏟ ⏟ Por lo tanto

es una asíntota vertical. ⏟ ⏟

Por lo tanto

también es una asíntota vertical.

Ahora vamos a determinar si existen asíntotas horizontales: ⏟ (

)

(

)

(

(

)

)

Por lo tanto tiene una asíntota horizontal en

⏞

(

⏟

⏟)

⏟

⏟)

⏞

( .

e)

Analizamos el dominio de la función: Bajate los resueltos y respondé tus dudas en www.exapuni.com 26

( )

Por lo tanto

es una asíntota vertical.

Ahora buscamos asíntotas horizontales: (

(

(

(

)

)

)

)

⏞

⏟

⏞

⏟

Por lo tanto tiene una asíntota horizontal en

.

f)

Analicemos el dominio de la función:

Tenemos que aplicar la formula resolvente para descomponer en raíces: √

√

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√

Vamos a buscar ahora asíntotas verticales:

No hay asíntota vertical en

.

Por lo tanto existe asíntota vertical en

.

Ahora buscamos asíntotas horizontales: (

(

)

)

⏞

⏟

⏞

⏟

Bajate los resueltos y respondé tus dudas en www.exapuni.com 28

( (

⏞

⏞

)

) Por lo tanto tiene una asíntota horizontal en

⏟

⏟

.

g)

Analicemos el dominio de la función:

El denominador es igual que el del inciso anterior, las raíces son

y

.

Vamos a buscar asíntotas verticale...