Guía de ejercicios resueltos Carga eléctrica, ley de Coulomb PDF

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1. FUERZA ELÉCTRICA PROBLEMA 1. Dos cargas puntuales de magnitudes

q y

4q , se encuentran separadas a

una distancia l . Una tercera carga se coloca de tal manera, que las cargas quedan en equilibrio por efecto sólo de fuerzas eléctricas. (a)

Encontrar la ubicación, magnitud y signo de la tercera carga.

(b)

Examinar si acaso el equilibro es estable.

SOLUCIÓN (a)

Las fuerzas entre las cargas

q y

4q son un par de acción – reacción como se indica

en el diagrama. q

4q

r F1 Para lograr el equilibrio de

r F1

r q se requiere aplicarle una fuerza adicional del valor F1 , de mo-

do que la fuerza neta sobre ella sea nula.

q r F1

r F1

Análogamente, para lograr el equilibrio de 4q se requiere aplicarle una fuerza adicional del valor

r F1 .

4q r F1

r F1

Los dos requerimientos anteriores pueden lograrse con una carga negativa ubicada

q y

4q , ya que ambas serán atraídas por una carga negativa. A su r vez, la carga negativa será atraída por las cargas q y 4q , con fuerzas de valor F1 y

entre las cargas

1

2

Electromagnetismo Problemas y Soluciones

r F1 respectivamente, quedando en equilibrio. El siguiente diagrama muestra las fuerzas sobre la carga Q :

Q r F1

r F1

Todas las fuerzas involucradas son de igual magnitud. La distancia entre q y

Q la llama-

remos a , como se indica en el diagrama siguiente :

l 4q

Q

q a

La magnitud de la fuerza entre

q y

4q

es :

F1

4q2 kc g 2 l

La magnitud de la fuerza entre

q y

Q

es :

F1

qQ kc g 2 . a

La magnitud de la fuerza entre

4q y

Q

es :

F1

kc g

kc g

4q 2 l2

kc g

kc g

4q 2 l2

kc g

Luego, para el equilibrio de

q se requiere :

y el equilibrio de 4q requiere que :

.

4qQ . 2 l a

qQ a2 4qQ l a

2

.

De las ecuaciones de equilibrio se obtienen las soluciones para Q y a . Puesto que el lado izquierdo de ambas ecuaciones es el mismo, igualando entre sí las expresiones del lado derecho, se obtiene 4a2

l a

2

.

Resolviendo, se encuentra que a

l . 3

Sustituyendo el valor de a en una de las ecuaciones de equilibrio se obtiene que :

Q

4 q . 9

1. Fuerza Eléctrica

3

Puesto que la carga buscada es de signo negativo, hemos obtenido lo siguiente:

2a

a 4 q 9

q

(b)

4q

Un pequeño desplazamiento de la carga Q hacia el lado derecho, hace que aumente la

fuerza de atracción hacia 4q es una fuerza neta hacia jante ocurre si

y que disminuya la fuerza de atracción hacia q . El resultado

4q que saca a la carga Q de su posición de equilibrio. Algo seme-

Q se desplaza inicialmente hacia el lado izquierdo. En consecuencia, el equi-

librio de la carga Q es inestable.

PROBLEMA 2. Dos cargas puntuales positivas y de igual magnitud, están separadas una distancia 2a . Una carga puntual de prueba se sitúa en un plano que es perpendicular a la línea que une esas cargas y simétrico respecto a ellas. (a) Calcular el radio r del círculo de simetría en este plano, para el cual la fuerza sobre la carga de prueba tiene magnitud máxima. (b) ¿Cuál es la dirección de esta fuerza, considerando que la carga de prueba es positiva?

4

Electromagnetismo Problemas y Soluciones

SOLUCIÓN Consideremos que las cargas son de magnitudes q y q 0 , y examinemos las fuerzas sobre q 0 .

r F r F2

r F1

q0 y

q

a

r r F1 y F2 son de igual magnitud : F1 F1

1

g

4

0

r

q

a

F2 .

q g q0 . a2 y 2 r

Las componentes de F1 y F2 que son perpendiculares al plano, se anulan.

Luego, F

r

r

, ya que las componentes de F1 y F2 paralelas al plano se

2 F1 g sen

suman. Es decir,

F

2 4

g 0

q g q0 g y a2

y2

3 2

pues

F es función de y , de acuerdo a la relación anterior.

y

sen a2

y2

1

. 2

1. Fuerza Eléctrica

5

Gráficamente :

En y

dF r , F es máximo y para encontrar el valor de r se hará dy

0. Pues-

to que:

dF dy

2 q g q0 g y 2

q g q0 2

a2

0

3

y2

2

2

0

a2

y2

5

g 2

3 2

,

debe resolverse,

q g q0 2

0

a2

y2

3

g 1 2

3 y2 a y2 2

0 .

La solución buscada se obtiene de :

1

3y 2 a2 y 2

Luego, el radio r es :

0 ,

r

r

cuya solución es :

y

a . 2

a . 2

La fuerza F es paralela al plano perpendicular a la línea que une las cargas q , según la figura al inicio de la solución presentada.

6

Electromagnetismo Problemas y Soluciones

PROBLEMA 3. En cada uno de los vértices de un cubo de lado a , se coloca una carga puntual

7

8

q.

6

5

Calcular la fuerza electrostática resultante sobre

a

a

una de las cargas.

4

1

3 2

a

SOLUCIÓN Observe que, en este caso, lo más

qi

adecuado es aplicar directamente la exprez

1 4

g 0

r r qi g q1 r r 3 g r1 r i , r1 ri

r F1i

q1

r ri

sión vectorial :

r F1 i

r r r1 r i

r r1

0

y

x

r

r

para la fuerza producida por la partícula i sobre la partícula 1. En tal expresión r1 y ri son los vectores posición de las cargas 1 e i respectivamente. Aplicando el principio de superposición, la fuerza resultante sobre la carga 1 será igual a :

r F1

8

i

2

r F1 i

8

1 4

g 0

i

2

q i g q1 r r r1 ri

Indudablemente, el resultado no dependerá del sistema

3

r r g r1 r i

z

de coordenadas utilizado, por lo que podemos elegir uno que simplifique lo más posible los cálculos; así por ejem-

7

8 5

6 y

plo, podemos ubicar el origen del sistema en la carga 1 4

y los ejes coincidiendo con los lados del cubo, como se indica en la figura.

1

3 2

x

1. Fuerza Eléctrica

7

En este sistema los vectores posición son:

r r1 r r2 r r3 r r4

r r5 r r6 r r7 r r8

0 a iˆ aˆi

a ˆj

a ˆj

a kˆ a iˆ

a kˆ

aˆi

a ˆj

a ˆj

a kˆ

a ˆk

Reemplazando estos valores, la expresión para la fuerza se reduce a :

r F1

a iˆ a3

q2 g 4 0

a iˆ a ˆj

Factorizando

1 a2

a kˆ a3

a ˆi a ˆj a kˆ

3

2a

3

2a

a ˆi a kˆ

a ˆj a3

3a

a ˆj a kˆ

3

3

2a

y agrupando los coeficientes de los vectores unitarios, obtenemos

la expresión :

r F1

q2 4

g iˆ 1

2 2

0

1 3

3

jˆ 1

3

2

3

El factor numérico 1 2

2

2

1 3

3

2

kˆ 1

3

2

1 3

3

3

1

3

es aproximadamente igual a 1, 9 0 0 . Esto

r

nos da una expresión para F1 :

r F1

0,151

q2 iˆ 2 a 0

jˆ kˆ .

Obsérvese que el vector está dirigido a lo largo de

z

la diagonal del cubo y que su magnitud es igual a : 5

r F1

2

0,151

q g 3 2 0a

8

2

0,262

3

q . 2 0a

7

6

r F1

y

4

1 2

3

x

Examinar la posibilidad de resolver este problema mediante otros métodos.

8

Electromagnetismo Problemas y Soluciones

PROBLEMA 4. Determinar la fuerza eléctrica sobre la R

carga puntual q 0 de la figura, que se encuentra en el a

eje de un anillo de radio R y carga total Q distribuida

q0

uniformemente.

SOLUCIÓN x dl dq

r a

R

z

r dF y

r

El elemento de carga dq produce una fuerza dF de magnitud :

dF

q0 4

g 0

dq r2

.

r dF tiene componentes dF x , dFy y dFz ; sin embargo la fuerza resultante sólo tiene componente Fz , ya que Fx

Fy

0 en virtud de la simetría del anillo en relación a la ubicación

de q0 , y a la elección del sistema de coordenadas.

dFz

además :

dq

dF c o s

gdl

q0 4

g 0

Q g Rd 2 R

dq a , g r r2 Q gd 2

Luego, la única variable involucrada en dF z es

.

, ya que r , Q , q 0 , a y

0

son constantes.

1. Fuerza Eléctrica

9

Entonces, Fz

q0Q a g g 4 0 2 r3

2

q0Qa . Puesto que r 2 4 0r 3

d 0

R 2 a 2 , el re-

sultado queda :

q0 Qa

Fz 4

0

R

2

a

2

3

. 2

PROBLEMA 5. En el problema anterior, reemplazar el anillo cargado por un disco cargado uniformemente, con carga total Q y de radio R . Hallar la fuerza sobre una carga puntual q 0 colocada sobre el eje del anillo.

SOLUCIÓN El disco puede considerarse formado por una infinidad de anillos muy delgados, de diferentes radios. Esto permite aprovechar el resultado anterior, utilizándose como punto de partida, después de hacer algunos cambios en la notación : x

dq

r dF

q0

r a y

z

dr

r El anillo de radio r , ancho dr y carga dq produce sobre q 0 una fuerza dF que solamente tiene componente en dirección z , y de acuerdo al resultado anterior es:

q 0 ga gdq

dFz 4 con dq

dA

Q g 2 rdr . R2

0

r2

a2

3

2

10

Electromagnetismo Problemas y Soluciones

La fuerza que ejerce el disco se encuentra como una superposición de las contribuciones de todos los anillos.

Fz

con r 2

a2

y d

q0 g a 4

0

6 474 8 Q g g 2 g R2

R

rdr 0

r2

a2

3

, 2

2r d r . s

Fz

q0 g a g 2 0

i

d

1 g g 2

3

q0 g a g 2 0

2

s

i

q0 g a g 2 0

g 1 a

1 2 g 1 g 2 2

1 R

2

a2

Un caso particularmente interesante del resultado recién encontrado, es aquel que ocurre cuando R ? a. Entonces:

Fz ;

q0 2

La carga q 0 ubicada tan cerca del disco R ? a

. 0

"ve" a este último como un inmenso plano

(plano infinito), ya que este resultado es el mismo que se obtiene para un plano infinito, por integración directa. Lo anterior puede verificarse considerando al plano como un conjunto de líneas infinitas e integrando, usando los resultados conocidos para la línea infinita.

1. Fuerza Eléctrica

11

PROBLEMA 6. Encontrar la fuerza ejercida sobre q 0 , por un cilindro macizo de carga total Q , radio R y largo L , siendo q0 una carga puntual ubicada sobre el eje del cilindro, a una distancia

a de uno de sus extremos. Considerar que Q se distribuye uniformemente sobre el cilindro. SOLUCIÓN dq

q0

z a

z=0

d Fz

dz

El cilindro macizo puede considerarse formado por una infinidad de discos de radio R , ancho

dz y carga dq . De acuerdo al problema anterior, la fuerza ejercida por un disco de radio R y carga Q sobre q 0 ubicada en el eje a a una distancia z es:

Fz

Q

donde se ha puesto

q0 g Q2 g 1 2 0 1 R4 42 3

z R

2

z2

,

R2.

En consecuencia, uno de los discos que forman el cilindro macizo produce sobre q 0 una fuerza dFz dada por :

dFz donde dq

q0 dq 1 g R2 20

z R

2

z2

g R2 dz .

g dV

Luego,

dFz

q0 2 0

1

z 2

R

2

z

dz

12

Electromagnetismo Problemas y Soluciones

Integrando :

Fz

con z2

R2

u

a L

q0 20

z

1 R

a

du

;

2

z2

dz

2zdz

y us

Fz

q0 20

L

a

du

1 2

a

ui

q0 20

L

q0 20

L

L

q0 20

L

a2

1 2u 2

1 2

u

1 2

us

ui

a

2

R2

R2 L

a2

R2

2

R2

a

r

Puede verificarse que la cantidad entre paréntesis es siempre positiva y, por lo tanto, F apunta en la dirección z cuando q0 y

son positivos.

Además ,

Q . R 2L

PROBLEMA 7. Determinar la fuerza sobre una carga puntual q 0, ejercida por un cilindro hueco cargado uniformemente sobre su superficie con una carga total Q . El cilindro tiene radio R y largo L , y la carga q 0 está en el eje del cilindro a una distancia a de uno de sus extremos.

SOLUCIÓN dz

q0

z a

d Fz z=0

1. Fuerza Eléctrica

13

El cilindro hueco se puede considerar como un conjunto de anillos de igual radio R y de ancho dz , conteniendo cada uno de ellos una carga dq . De acuerdo a los resultados obtenidos para la fuerza que un anillo ejerce sobre q 0, se tiene que :

q0 gQ g z

Fz 4

R2

0

z2

3

, 2

donde Q es la carga del anillo, R su radio y z la distancia entre el anillo y la carga q 0 , medida sobre el eje. Entonces, dF z en este caso es :

q0 zdq

dFz 4

0

R

2

z

2

3

con d q

,

dA

g2 Rdz .

2

Luego : L a

Fz

q

0 2 R 4 0g2

2 zdz a

R2

z2

3

. 2

Finalmente :

Fz

q0R g 2 0

Fz

Q gq 0 g 4 0L

1 a 1 a

1 L

,

a 1

L

a

.

sustituyendo

Q , 2 RL

14

Electromagnetismo Problemas y Soluciones

PROBLEMA 8. Un plano infinito que tiene un agujero circular de radio R

0,50[ m], está cargado con 2,0g 10 6 [C m2 ] .

densidad superficial de carga

En el punto P , situado a 20[cm] del centro del agujero, se encuentra fija una partícula de carga

3,0 g 1 0 7 [ C] .

q

¿En qué punto sobre el eje x habrá que colocar una partícula de carga ql

2,0 g 1 0 6 [ C]

para que permanezca en equilibrio?

SOLUCIÓN La carga puntiforme ql

2,0g 1 0 6 [C ] no podrá encontrarse en equilibrio en ningún pun-

to de la porción del eje x comprendido entre el plano y el punto P . El punto pedido deberá encontrarse más allá del punto P . Para que la partícula de carga q l esté en equilibrio se debe cumplir que :

r Fql q

r Fql d e b i d a a l p l a n o .

Cálculo de la fuerza sobre q l debida al plano Consideremos el plano como la suma de elementos diferenciales en forma de anillo. La fuerza que ejerce un anillo con carga total Q sobre una carga puntual q l está dada por ( ver PROBLEMA 4 ) :

Fx

1 4

Qql g b

g 0

r

2

b

2

3

, 2

donde b es la distancia desde el centro del anillo a la carga y r es el radio del anillo considerado. La fuerza que ejerce un anillo diferencial de carga dQ será:

dF x

1 4

g 0

dQ g ql g b r2

b2

3 2

, con d Q

dA

g2 r d r ,

1. Fuerza Eléctrica

luego

15

1

dFx

4

g

ql g b g g 2 r d r r2

0

3

b2

.

2

La fuerza que ejerce el plano agujereado se obtiene integrando la expresión anterior :

Fx

dFx R

Para R

bql g 4 0

bq l 4

2r d r r

2

b

2

3

2

2

2

g 0

R

2

b2

(1)

0 es...