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Matemática I
& Complementos de Matemática...

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Universidad Nacional Arturo Jauretche

Matemática I

& Complementos de Matemática

Guía de apuntes y problemas 2019

Coautores de la guía de Matemática I Diego Bagú

Juan José Madsen

Fernando Agnelli

Daniela Natero

Alejandro Giordano

Fabio Romani

Samira Abdel Masih

Sebastián Perdicaro

Santiago Martin Fiore

Alexis Muñoz Estefano

María Florencia Tavarone

Gonzalo Píngaro

Compilación de los problemas y apuntes Prof. Gonzalo Píngaro & Lic. Prof. Santiago M. Fiore.

Índice 1. Contenidos preliminares

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1.1. Símbolos y notaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2. Los números naturales, los enteros y los racionales . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3. Los números reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.3.1. Notación científica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.4. Ecuaciones y sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.4.1. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.5. Los logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.5.1. Polinomios y expresiones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.6. Los polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.7. Nociones de geometría y trigonometría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 1.8. Polígonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 1.9. Circunferencia y círculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 1.10. Cuerpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 1.11. Razones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 1.12. Funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 1.13. Lógica proposicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 1.14. Los conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 1.15. Cotas y extremos de los conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 2. Relaciones y funciones

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2.1. Dominio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 2.2. Funciones polinómicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 2.3. Funciones homográficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 2.4. Funciones exponenciales y logarítmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 2.5. Composición de funciones, función inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 3. Límites y continuidad

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3.1. Álgebra de límites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 3.2. Límites de funciones definidas a tramos

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

3.3. ¿Cómo evaluamos la continuidad de una función? . . . . . . . . . . . . . . . 91 3.4. Asíntotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 3.5. Estudio de las funciones a tramos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

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4. Derivadas

101

4.1. Definición de la derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 4.2. Tabla de derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 4.3. Aplicaciones de las derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 4.4. Máximos y mínimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 4.5. Optimización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 4.6. Funciones implícitas y sus derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 5. Integrales

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5.1. ¿Cómo calculamos el área determinada por curvas? . . . . . . . . . . . . . . 146 5.2. Longitud de un arco de curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 5.3. Aplicaciones físicas de las integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 5.4. Métodos de integración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 5.5. Tabla de integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 6. Bibliografía y links multimedia

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Sugerencias A continuación listamos algunas sugerencias para la cursada exitosa. Destinale el tiempo y espacio que esta materia requiere. Además de las nueve horas semanales de la cursada (más las dos horas del Complemento de matemática ) vas a necesitar algunas horas de estudio, trabajo y práctica en tu casa. Intentá prever qué momento de la semana le podrás asignar a ello. Organizá tu lugar físico de estudio, que será de vital importancia durante toda tu carrera universitaria. Utilizá con responsabilidad todas las instalaciones y servicios que provee la universidad. Aprovechá los espacios (aula, biblioteca, salones de estudio) y los recursos humanos (docentes) al máximo. Cuidalos y respetalos. Sé puntual en los horarios, y dejá las instalaciones en condiciones de uso. Organizá el material de trabajo. Asegurate de contar con todo lo necesario en cada una de las clases. Prepará distintos recursos para optimizar las tareas (por ejemplo, elegí un color para marcar los problemas que no pudiste resolver, otro para los que resolviste y querés verificar, etc.). Utilizá de manera eficiente el tiempo de trabajo en clase. Dedicale el 100 % de la atención; evitá el uso del celular u otros dispositivos que te distraigan. También considerá que pueden distraer a tus compañeros y al docente. Trabajá en grupos, y recurrí al docente cada vez que lo consideres necesario. Preguntá todas las dudas, consultá por los problemas que no entendiste o no pudiste resolver. Sé responsable con la asistencia. Tené en cuenta que, cada vez que faltás, es una clase que te perdés. Intentá consultar con tus compañeros los temas vistos y los ejercicios resueltos durante las clases en las que no estuviste. El hecho de haber faltado no es argumento válido para no cumplir con las tareas propuestas. Prepará los parciales con tiempo. Organizate con las actividades previas y con las fechas. Si es necesario, pedí los días de trabajo que te corresponden, prevé llegar al examen con anticipación, y enlistá el material que vas a necesitar. Conservá el material de trabajo. Todos los exámenes, trabajos prácticos, etc., son documentos que respaldan las notas subidas a las plataformas.

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Contenidos del complemento de Matemática 1. Conjuntos, números y geometría. a) Los números naturales, los números enteros, los racionales y los números reales. Propiedades. Operaciones en los conjuntos numéricos. b) Polinomios y expresiones racionales algebraicas. c) Geometría y trigonometría. d ) Lógica proposicional. Tablas de verdad. Razonamientos lógicos. e) Conjuntos. Propiedades y operaciones con los conjuntos.

Contenidos de la materia 2. Funciones a) Dominio, raíces, ordenada, intervalos de crecimiento y decrecimiento. Paridad de funciones. Funciones partidas. Composición de funciones. Función inversa. b) Función lineal. Función cuadrática. Elementos. Otras funciones polinómicas. c) Funciones racionales, trascendentes y trigonométricas. 3. Límite y continuidad. a) Noción de límite. Álgebra de límites. Límites laterales. Existencia del límite. b) Indeterminaciones: cociente de infinitésimos. Cociente de infinitos. Otras indeterminaciones. c) Límites de funciones a tramos. d ) Continuidad en un punto. Definición. Propiedades. Clasificación. e) Asíntotas. f ) Estudio de funciones a tramos. 4. Derivadas. a) Concepto y definición de derivada. Derivabilidad. b) Propiedades de las derivadas. c) Aplicaciones a las derivadas: pendiente, recta tangente, puntos críticos, extremos locales y absolutos. Puntos de inflexión. d ) Polinomio de Taylor. e) Optimización. f ) Funciones implícitas y sus derivadas. g) Teoremas de L’Hôpital, y del valor medio. 5. Integrales. a) Integración de funciones. b) Primitiva. Integrales indefinidas. c) Integrales definidas e impropias. Suma de Riemann. Área bajo una curva. d ) Aplicaciones de la integral definida: área bajo una curva, volumen de revolución y longitud de arco. e) Longitud de un arco de curva. f ) Técnicas de integración. Método de sustitución, de partes y de fracciones simples. 6

El diagnóstico El día .................... se tomará un diagnóstico de dos horas de duración. Los contenidos a evaluar en dicho diagnóstico son: Números racionales y reales. Ecuaciones e inecuaciones. Problemas. Sistemas de ecuaciones lineales. Ecuaciones cuadráticas. Ecuaciones logarítmicas y exponenciales. Trigonometría y ecuaciones trigonométricas. Función lineal y cuadrática. Los alumnos que no alcancen los objetivos mínimos esperados en el diagnóstico, deberán cursar -en paralelo a Matemática I - Complementos de Matemática 1 (formato taller), que tiene una carga horaria de 2 (dos) horas cátedra, en carácter obligatorio.

Los parciales Los parciales (y sus respectivos recuperatorios) son escritos. No está permitido el uso de software, o de celular. La duración de los parciales es de 3 (tres) horas. Las fecha de los parciales son: Primer parcial: 28 de septiembre. Segundo parcial: 13 de noviembre. Recuperatorio primer parcial: 16 de noviembre. Recuperatorio segundo parcial: 20 de noviembre. Recuperatorio flotante: 27 de noviembre.

El material Es importante que en las clases de matemática cuentes con: La carpeta o cuaderno habitual (que es el material de consulta más importante). La guía de trabajos prácticos, con el programa y los apuntes teóricos. La calculadora (que es la herramienta más importante). Hablamos del instrumento calculadora, no de una aplicación de celular que sirva como calculadora. Tengan en cuenta que no está permitido el uso del celular en los exámenes. Antes de empezar cualquier actividad es muy importante que leas el manual de tu calculadora1 . 1

Que lo podés descargar de internet, matematicaunaj/links/calculadoras.

por

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ejemplo,

en

https://sites.google.com/view/

Hojas cuadriculadas o milimetradas para las gráficas de funciones. Regla, escuadra, compás. Material de escritura (lápices, lapicera, marcadores,...) Los apuntes deben ser de confección propia; no está permitido concurrir al examen con libros o fotocopias. Es aconsejable confeccionar los apuntes durante toda la cursada. No resulta productivo esperar hasta último momento para armarlos. Sugerimos socializar los apuntes con los compañeros de clase, de modo de verificar que no falten cosas o que no haya cosas mal copiadas. Agregá en los apuntes todas las fórmulas que usás en la resolución de los problemas, porque es muy probable que sean necesarias para resolver los problemas de los parciales.

Condiciones para aprobar la cursada Para aprobar la materia es necesario tener una nota mayor o igual a 4 (cuatro) en cada uno de los parciales (o en sus recuperatorios). Una vez cumplido este requisito estás en condiciones de presentarte a rendir el examen final.

Condiciones para promocionar la materia Para promocionar la materia es necesario tener una nota mayor o igual a 6 (seis) en ambos parciales (o en sus recuperatorios), promedio mayor o igual a 7 (siete) y haber cumplido con todos los trabajos prácticos . En ese caso, la nota final es el promedio entre las notas de los parciales (o sus recuperatorios). La asistencia En todos los casos, los alumnos deben cumplir con el presentismo estipulado por la Universidad. Es de vital importancia concurrir personalmente a las devoluciones de los exámenes, dado que estas instancias son también momentos de aprendizaje. En la última clase, además, se realiza el cierre del ciclo, en el que el docente hace la devolución de notas. Es imprescindible que cada alumno concurra a estas fechas, dado que -entre otras cosas- el docente vuelca las notas de los exámenes al sistema y el alumno debe corroborar que éstas coincidan con las que se les transmitió.

Los trabajos prácticos La presentación de los trabajos prácticos consignados por el docente es condición obligatoria para promocionar la materia. En caso de no haber presentado uno o ambos en tiempo y forma, pueden presentar un trabajo extra después de la fecha del segundo parcial.

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Las autoevaluaciones El propósito de las autoevaluaciones es que las empleen para evaluar su situación previa a los parciales. Con éstas, podrán determinar cuánto más necesitan practicar, estudiar y consultar, y qué contenidos necesitan más dedicación.

Conocimientos previos Es imprescindible que, antes de comenzar a cursar Matemática I, tengas en claro algunos conceptos que utilizaremos como herramientas en la materia, y que por cuestiones de tiempo e incumbencia sólo se consultarán, practicarán en el Complemento de Matemática. Entre ellos, destacamos: Operaciones con números enteros.

Resolución de ecuaciones lineales y cuadráticas.

Operaciones con fracciones. Relación entre las fracciones y su expresión decimal.

Cuadrado de un binomio.

Definición y propiedades de las potencias y raíces.

Perímetro y área de triángulos y cuadriláteros.

Estos conceptos mencionados, sus propiedades, y algunos problemas de aplicación los podés encontrar en la presente guía, y repasar aquí: https://sites.google.com/view/matematicaunaj/material-extra Además contás con el espacio del Complemento de matemática para preguntar, practicar y despejar todas las dudas. Esperamos que puedas aprovechar todos estos recursos!

Contactos La página de “Matemática I”: https://sites.google.com/view/matematicaunaj/ p%C3%A1gina-principal. El sitio del SIU: https://guarani.unaj.edu.ar.

Cierre de actas El cierre de las notas, promociones y registro de las mismas se realiza a través del SIU Guaraní. Una vez cerrado el período lectivo, las notas no se pueden modificar, por ello es muy importante que cada alumno verifique que las notas subidas coincidan con las notas que le transmitió su docente. Les pedimos por ello que estén atentos en las fechas de cierre de notas y que, ante cualquier duda, consulten por mail. No esperen a las fechas de finales dado que en esas instancias es muy complicado realizar rectificación de notas.

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Objetivos Son los objetivos de Matemática I, que el alumno pueda: Revisar el concepto de función, y profundizar algunas características. Analizar funciones partidas. Calcular límites, resolver indeterminaciones, aplicarlos a la resolución de problemas y al estudio de las funciones. Comprender la definición de la derivada. Aplicar el cálculo diferencial a la resolución de problemas y al estudio de funciones. Relacionar la integral con la derivada y hallar funciones primitivas de ciertas funciones dadas. Aplicar las integrales al cálculo de área, de longitudes de curva y a la resolución de problemas.

Propósitos Los propósitos de los docentes de Matemática I son: Brindarle a los alumnos las nociones básicas de función y de sus elementos. Mostrar variadas aplicaciones de las funciones como herramientas de resolución de problemas de modelizaciones. Introducir el cálculo diferencial e integral como una herramienta de resolución de problemas.

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Complementos de matemática

1.

Contenidos preliminares

1.1.

Símbolos y notaciones

Símbolo < > ≤ ≥ a˙ = ∼ = 6 = L L+ L− I π

Significado Menor Mayor Menor o igual Mayor o igual Múltiplo de a Igual Aproximadamente igual Distinto Límite Límite por derecha Límite por izquierda Integral Es el número pi

e

Es la constante de Euler

logb (a) log (a) ln (a) f (x) sen2 (x)

Logaritmo en base b del número a Logaritmo en base 10 del número a Logaritmo en base e del número a Función que depende de la variable x Equivale a (sen x)2

f ′ (x) f ′′(x)

Derivada (primera) de la función f Segunda derivada de la función f

R f (x) · dx Rb f (x) · dx a A(S) α ˆ l´ım f (x)

Integral de la función f Integral de la función f definida entre x = a y x = b Área de la superficie S Es el ángulo “alfa” o bien su medida o amplitud Se lee “límite cuando x tiende a a de la función f

f (x) ba vo vf vm xo xf Gr(P ) N N0 Z Z+ Q

Es el resultado de calcular f (b) − f (a) Velocidad inicial Velocidad final Velocidad media Posición inicial o valor particular de la variable Posición final Es el grado del polinomio P (x) Conjunto de los números naturales Conjunto de los números enteros no negativos Conjunto de los números enteros Conjunto de los números enteros positivos Conjunto de los números racionales

I R R+ R+ 0

Conjunto de los números irracionales Conjunto de los números reales Conjunto de los números reales positivos Conjunto de los números reales no negativos

x→a

Comentario ó ejemplo. a < b se lee: a es menor que b.

Es un número irracional. Su valor aproximado es 3,14159. Es un número irracional. Su valor aproximado es 2,7182818.

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Se aplica para muchas otras funciones, en particular, para las funciones trigonométricas. Es la derivada de la derivada de la función f .

x

No consideramos el cero. N0 = N ∪ {0} Z = {0; 1; −1; 2; −2; · · · } Z+ = N Es el conjunto de todos los números que se pueden escribir en forma de fracción.

Es el par ordenado en el que la primera componente es a y la segunda es b. En otro contexto es un intervalo abierto; es el conjunto de todos los x tales que a < x < b [a; b] Intervalo cerrado. Es el conjunto de todos los x tales que a ≤ x ≤ b (a; b] Intervalo semiabierto. Es el conjunto de todos los x tales que a < x ≤ b [a; b) Intervalo semiabierto. Es el conjunto de todos los x tales que a ≤ x < b [a; +∞) Intervalo cerrado. Es el conjunto de todos los x tales que a ≤ x (a; +∞) Intervalo abierto. Es el conjunto de todos los x tales que a < x (−∞; b] Intervalo cerrado. Es el conjunto de todos los x tales que x ≤ b (−∞; b) Intervalo abierto. Es el conjunto de todos los x tales que x < b (−∞; +∞) Es el intervalo de todos los números reales. Ec;R Entorno de centro c y radio R. Es el conjunto de todos los x tales que c − R < x < c + R Entorno reducido de centro c y radio R. E ′c;R Es el conjunto de todos los x 6= c tales que c − R < x < c + R ∈ Pertenece o perteneciente 7∈N ∈ / No pertenece ∪ Unión entre conjuntos A ∪ B = {x : x ∈ A ∨ x ∈ B } ∩ Intersección entre conjuntos A ∩ B = {x : x ∈ A ∧ x ∈ B } ⊂ Incluido estrictamente A ⊂ B ⇔ (x ∈ A → x ∈ B ∧ A 6= B) ⊆ Incluido A ⊆ B ⇔ (x ∈ A → x ∈ B) A Complemento de A A = {x : x 6∈ A} ∨ Es la disyunción o disjunción de proposiciones. ∧ Es la conjunción de proposiciones. ¬ Es la negación de una proposición. ⇒ Es la implicación. ⇔ Es la doble implicación. v(p) = V La proposición p es verdadera. v(p) = F La proposición p es falsa. Domf ó Df Es el dominio de la función f . Imf Es el conjunto imagen de la función f . Cod f Es el codominio de la función f . f ◦g Es la composición de las funciones f y g. Lo podemos simbolizar f (g(x)). f −1 Es la función inversa de f . ≡ Indica el nombre de un punto. p ≡ (−2; 3) indica que las coordenadas del punto p son (−2; 3) n! Factorial del número n. Es igual a 1 · 2 · 3 · · · n. |x| Valor absoluto de x f (n) Derivada n−ésima de la función f . ∀ Para todo ∃ Existe 6∃ No existe #A Es el cardinal del conjunto A ∆ Antecediendo a una variable o función, indica variación Es el discriminante de una ecuación cuadrática ∆ = b2 − 4ac En la teoría de conjuntos indica la diferencia simétrica. dy Es el diferencial de la función y. Se puede aplicar a cualquier función o variable. P Sumatoria Q Productoria ± x = a ± b indica que x toma dos valores: x = a + b ∨ x = a − b ∓ x = a ∓ b indica que x toma dos valores: x = a − b ∨...