GUIA DE Matematicas Grado Decimo Primer Periodo PDF

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siempre hay que tener fe todo se puede lograr...

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1 INSTITUCIÓN EDUCATIVA DEPARTAMENTAL ANTONIO NARIÑO GUÍA No.: 001

AÑO: 2016

ÁREA: Matemáticas

ASIGNATURA: Trigonometría

GRADO: Decimo

PERIODO: Primero

TIEMPO ESTIMADO: Primer Periodo

TIEMPO DE INICIO: Enero 20

DOCENTE: Juan Carlos Perea

FRASE DE REFLEXIÓN: El trabajo de equipo es importante en el proceso de socialización y ofrece elementos para desarrollar otras cualidades como el pensamiento lógico. Aprender a trabajar con los demás es esencial en todas las instancias de la vida. COMPETENCIAS:     

Resolución de Problemas El Razonamiento La Comunicación La Modelación Ejercitación de Procedimientos

ESTÁNDAR: PENSAMIENTO MÉTRICO Y SISTEMAS DE MEDIDAS Diseño estrategias para abordar situaciones de medición que requiera grados de precisión específicos TÓPICO GENERATIVO: Sabías que Tales de Mileto calculo la altura de la gran pirámide de Egipto con la sombra que su bastón produjo ¿Cómo explicarías esto?

EVALUACION DIAGNÓSTICA          

¿Qué es un transportador? ¿Para qué sirve eltransportador? ¿Qué es ángulo? cita un ejemplo Dibuja 3 ángulos de diferentes medidas:30° ; 90° y 120° ¿Qué es ángulo recto? ¿Qué es ángulo obtuso? ¿Qué nombre recibe el ángulo que mide 180°? ¿Qué es triangulo? Nombra las clases de triángulos que conoce y realiza un ejemplo de cada uno. Mide con el transportador cada uno de los ángulos de cada triangulo, luego suma las medidas de los tres ángulos de cada triangulo y escribe que se puede concluir.

Guía 001 Matemáticas

Grado Decimo

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MARCO CONCEPTUAL:

GRADOS Y RADIANES La trigonometría se origino antes de la era cristiana cuando lo agrimensores y los astrónomos empezaron a desarrollar medios eficaces para utilizar las propiedades de los triángulos semejantes, e la determinación de distancias que no se podían medir directamente. Tales de Mileto, uno de los fundadores de la geometría griega, midió no solo la altura de las columnas griegas sino la altura de las pirámides mediante el principio de los triángulos semejantes. Aristarco de Samos, científico, músico, astrónomo y geómetra griego hallo la distancia de la Tierra al Sol y a la Luna. Eratóstenes de Cirene, calculo el diámetro de la Tierra. Hiparco de Nicea, considerado el padre de la trigonometría, elaboro las primeras tablas trigonométricas par a la función seno y las evaluó en intervalos de medio grado. Pero es con Claudio Ptolomeo, que la trigonometría empieza a tomar cuerpo, en su obra Almagesto considerada el trabajo más importante de astronomía matemática de la antigüedad, desarrollad la trigonometría en los capítulos 10 y 11. En Europa, Johann Müller, más conocido como Regiomontanus o Regiomontano, al traducir al latín los trabajos griegos relacionados con el tema, sistematizo todos los conocimientos de la trigonometría como ciencia independiente de la astronomía. Las aplicaciones de la trigonometría son muy variadas, estas van desde la resolución de triángulos hasta su uso en algunas ciencias modernas como las comunicaciones, la topología, la mecánica y otras. Los usos más comunes son el cálculo de longitudes, el cálculo de ángulos, rumbos y direcciones de móviles.

Los ángulos y su medida Un rayo o semirrecta es la parte de la recta que tiene principio y se prolonga de manera indefinida en una dirección. El punto de partida se llama origen. Dos rayos unidos por su origen forman un ángulo, los dos rayos reciben el nombre de lados de ángulo, uno de los rayos del ángulo es el lado inicial y el otro es el lado final terminal.

Si se parte del lado inicial y se gira en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj hasta llegar al lado final, se dice que la medida del ángulo es de signo positivo, pero si el giro es el mismo sentido del movimiento de las manecillas del reloj, se determina que la medida del ángulo es negativa.

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Cuando en dos ángulos coinciden su lado inicial y el lado terminal se les denomina coterminales, así como lo muestra la figura

Cuando el ángulo se encuentra en un sistema de coordenadas y además el vértice coincide con el origen del sistema y el lado inicial coincide con el semieje positivo de x, se dice que el ángulo esta en posición normar o estándar.

Unidades Para Medir Ángulos Recordemos que un ángulo es la porción de plano limitada por dos semirrectas que tienen un origen común. Las unidades que más frecuentemente se utilizan para medir ángulos son el grado y el radián. El grado sexagesimal es la medida de cada uno de los ángulos que resultan al dividir la circunferencia en 360 partes iguales. El grado tiene dos submúltiplos: • El minuto, que equivale a la sexagésima parte del grado (1º = 60’) • El segundo, que equivale a la sexagésima parte del minuto (1’ = 60”). Por tanto: 1º = 60’ = 3.600” Un instrumento que permite hallar la medida de un ángulo (amplitud) es el transportador.

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Un grado sexagesimal se puede expresar en forma decimal o en forma de grados minutos y segundos, veamos ejemplos de dichas formas Complementa Tu Estudio Con Las Paginas Web Convirtamos 38°8’43’’ a forma decimal Recomendadas Recordemos que 1°=60’ es decir

1

1′ = ( 60)

o

1

1°=3600’’ es decir 1′′ = ( 3600)

o

Entonces

38°8′ 43′′ = 38° + 8 × 1′ + 43 × 1′′

𝑜 1 𝑜 1 ) 38°8 43 = 38° + 8 × ( ) + 43 × ( 60 3600 ′

8

𝑜

43

′′

𝑜

38°8′ 43′′ = 38° + ( ) + ( 3600) 60

38°8′ 43′′ ≈ 38° + 0,133° + 0,011° 38°8′ 43′′ ≈ 38,144°

Para verificar nuestra respuesta, utilicemos la calculadora científica Para ingresar en la calculadora el ángulo, se expresa así:

38°8°4” =→°’’’ Calculadora

38°8’43’’→ Cuaderno

38.134

Ahora convirtamos 25,341° a forma de grados, minutos y segundos

25,341° = 25° + 0,341°

25,341° = 25° + 0,341 × 1°

25,341° = 25° + 0,341 × 60′ 25,341° = 25° + 20,46′

25,341° = 25° + 20′ + 0,46′

25,341° = 25° + 20′ + 0,46 × 1′

′

25,341° = 25° + 20′ + 0,46 × 60′′

25,341° = 25° + 20′ + 27,6′ = 25°20′ 27,6′′

También podemos verificar nuestro proceso con la calculadora, de la siguiente forma Guía 001 Matemáticas Grado Decimo

5 25,341° → Cuaderno

25.341 =→°’’’ Calculadora

25°20°27,6

(Resuelve la actividad 1)

El radián es el ángulo plano que teniendo su vértice en el centro de un círculo, intercepta sobre la circunferencia de ese círculo un arco de longitud igual al radio. Es decir, un radián es la medida de un ángulo central cuyo arco mide un radio. Su símbolo es rad.

Si a mide un radián, el arco AB mide un radio.

El radián es independiente del radio de la circunferencia:  

Si el radio de la circunferencia es 2 cm, el arco correspondiente al radián mide 2 cm. Si el radio de otra circunferencia concéntrica es 4 cm, el arco correspondiente al radián medirá 4 cm.

Los sectores son semejantes y, por tanto, el ángulo central igual. El ángulo completo, 360º, abarca toda la circunferencia, luego su media es 2 radianes, que es precisamente la medida de la circunferencia cuando se toma como unidad el radio. Por tanto, para pasar de grados a radianes, o al revés, basta con recordar que 360° grados = 2 radianes, y con una sencilla regla de tres es suficiente:

𝑎 𝑛 = 360° 2𝜋 𝑟𝑎𝑑

Donde a es la amplitud en grados y n es radianes.

Veamos el manejo de la formula para convertir.  Convertir 243° a radianes Solución Como el ángulo es sexagesimal entonces 𝑎 = 243° y debemos encontrar a n Utilizamos la formula de la siguiente manera

𝑎

360°

=

27×2𝜋 𝑟𝑎𝑑 40

𝑛

2𝜋 𝑟𝑎𝑑

243°

360°

𝑛 27 = 40 2𝜋 𝑟𝑎𝑑

=𝑛

𝑛 2𝜋 𝑟𝑎𝑑

54𝜋 𝑟𝑎𝑑

27 𝜋 𝑟𝑎𝑑 = 𝑛 20 Guía 001 Matemáticas Grado Decimo

=

40

=𝑛

6



Convertir

Solución

2 𝜋 3

27 243° = 20 𝜋 𝑟𝑎𝑑

𝑟𝑎𝑑 a grados sexagesimal

Como el ángulo dado es en radianes entonces utilizando la formula:

𝑎

360°

=

𝑛

2𝜋 𝑟𝑎𝑑

2

𝑛 = 3 𝜋 𝑟𝑎𝑑 𝑎 360°

=

𝑎 2 = 360° 6

𝑎=

y debemos hallar la letra a,

2 𝜋 𝑟𝑎𝑑 3

2𝜋 𝑟𝑎𝑑

2 × 360° = 120° 6

2 𝜋 𝑟𝑎𝑑 = 120° 3

Visita la pagina www.descartes.cnice.mecd.es/Bach_CNST_1/razones_trigonometrica/Radi1.ht m (Resuelve la actividad 2)

Triángulos Un triangulo, es la figura geométrica delimitada por tres segmentos llamados lados del triangulo, que a la vez tiene tres vértices o puntos donde se unen los lados. Matemáticamente los vértices de un triangulo se nombran con letras mayúsculas y los lados con letras minúsculas; dichas letras a la ves representan el nombre del triangulo que va acompañado con el icono de un triangulo, así como lo muestra la figura.

Recordemos las clases de triángulos que se presentan NOMBRE Guía 001 Matemáticas Grado Decimo

CARACTERÍSTICAS

EJEMPLO

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Equilátero

Presenta todos sus lados y ángulos internos iguales (60°)

Isósceles

Presenta dos de sus lados y ángulos internos iguales.

Escaleno

Ninguno de sus lados es igual.

Rectángulo

Presenta un ángulo recto (90°) en sus ángulos internos.

Acutángulo

Todos sus ángulos internos son agudos.

Obtusángulo

Uno de sus ángulos internos es obtuso.

ÁNGULOS INTERNOS Y EXTERNOS DE UN TRIANGULO Guía 001 Matemáticas Grado Decimo

8 El triangulo determina dos regiones, una interior y otra exterior. El interior de un triangulo es la intersección de tres semiplanos, como lo muestra la figura con distintos colores cada uno, si observamos con atención cada semiplano esta delimitado por un lado del triangulo y por el vértice que no esta en ese lado. Es de suponer que el exterior es la región del plano que no es el interior

Al realizar con el transportador la medida de los ángulos del interior, se determina que la suma de los tres es siempre igual a 180°, es decir, A+B+C=180°. Mientras si medimos los ángulos del exterior siempre al sumar dichos ángulos el resultado es 360°. ÁREA DE UN TRIANGULO. FORMULA DE HERÓN Si se conoce la base y la altura de un triangulo se puede determinar que el área del triangulo es

𝐴∆ =

𝑏×ℎ 2

Donde b es la longitud de la base y h es la longitud de la altura. ¿Pueden existir varios triángulos que tengan la misma base y la misma altura? Si existen ¿Cómo son sus áreas? Para poder responder y aclarar esta respuesta observa la siguiente grafica

Recuerda que en un triangulo se pueden trazar tres alturas; por lo tanto para cada altura con su correspondiente base, el valor del área es la misma. La formula del área de triangulo depende de dos datos, la altura y la base o lado; pero para aquellos triángulos en los cuales se conoce la medida de sus lados, dicha formula quede inservible y para ello se debe recurrir a otro método. Teorema de Herón. Herón de Alejandría, matemático del siglo I dic., desarrollo un método para hallar el área de un triangulo cuando se conoce la longitud de sus lados. Este proceso determina la llamada formula de Herón, la cual dice que en cualquier triangulo ∆ABC, si a, b, c son la longitudes de sus lados entonces Guía 001 Matemáticas Grado Decimo

9 𝐴∆ = √𝑠(𝑠 − 𝑎)(𝑠 − 𝑏 )(𝑠 − 𝑐 ) Donde S es el semiperímetro es decir:

𝑆=

𝑎+𝑏+𝑐 2

Ejemplo: calcular el área del triangulo cuyos lados mide 3, 5 y 6 cm respectivamente. Solución: Para aplicar la formula de Herón hay que hallar el semiperímetro s

𝑆=

𝑎 + 𝑏 + 𝑐 3 + 5 + 6 14 =7 = = 2 2 2

Ahora se halla el área del triangulo

𝐴∆ = √7(7 − 3)(7 − 5)(7 − 6) = √7(4)(2)(1) = √56 ≈ 7,48 (Resuelve la actividad 3)

ELEMENTOS DE LOS TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS. Recordemos que un triangulo que tiene un ángulo interno recto, se llama triangulo rectángulo; estos clase de triángulos son los que dan el inicio a la rama de la trigonometría. Todo triangulo rectángulo tiene un lado mas largo que los otros dos, dicho lado se encuentra en frente del ángulo recto o es el lado opuesto al ángulo de 90°, el cual recibe el nombre de hipotenusa y los dos lado que forman el ángulo recto son denominados catetos, así como lo muestra la figura.

TEOREMA DE PITÁGORAS. Uno de los teoremas más importantes de las matemáticas es el de Pitágoras, cual ha sido enunciado y demostrado de diferentes y variadas formas. Dicho teorema se establece como: El cuadrado de la hipotenusa, es igual a la suma de los cuadrados de los catetos, es decir

(𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎)2 = (𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 1)2 + (𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 2)2

La siguiente figura, muestra una demostración grafica del teorema de Pitágoras

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Como se establece el cuadrado tanto de la hipotenusa, como de los catetos, geométricamente se obtienen son cuadrados de dicha medida. Ahora si cuentas el número de cuadrados pequeños que tiene la hipotenusa y lo comparas con el número total de cuadros pequeños entre los dos catetos, vas a observar que son iguales. (Inténtalo) Aplicar el teorema de Pitágoras es sencillo y además permite encontrar el dato faltante de un triangulo rectángulo. Ejemplo 1. rectángulo.

Verificar que el triangulo de medidas 12, 16 y 20 cm es un triangulo

Aplicamos el teorema de Pitágoras para confirmar. Donde el lado mas largo es la hipotenusa, es decir 20 cm y las otras dos medidas son los catetos para este ejercicio 12 y 16 cm. Comprobemos

(𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎)2 = (𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 1)2 + (𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 2)2 (20)2 = (12)2 + (16)2 400 = 144 + 256 400 = 400

Como observamos, ambos extremos dieron el mismo resultado por lo tanto el triangulo es un triangulo rectángulo. Ejemplo 2. Si un triangulo rectángulo sus catetos miden 15 y 20 cm respectivamente ¿Cuál será la longitud de la hipotenusa? Solución: aplicaremos el teorema de Pitágoras, remplazando los valores conocidos, así:

(𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎)2 = (𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 1)2 + (𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 2)2 (𝑥 )2 = (15)2 + (20)2 𝑥 2 = 225 + 400 𝑥 2 = 625

Para determinar el valor final, extraemos la raíz cuadrada a ambos extremos, recordando que la operación inversa de la potenciación es la radicación.

𝑥 2 = 625 𝑥 = √625 = 25

Finalmente el valor de la hipotenusa es de 25 cm

Ejemplo 3. Si al dibujar un triangulo rectángulo se conoce que la hipotenusa tiene una longitud de 30 cm y uno de sus catetos es de 18 cm ¿Cuál deberá ser la medida del cateto faltante? Solución. Guía 001 Matemáticas Grado Decimo

11 Apliquemos el teorema de Pitágoras y remplazamos valores

(𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎)2 = (𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 1)2 + (𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 2)2 (30)2 = (18)2 + (𝑥 )2 900 = 324 + 𝑥 2 Ahora trabajo dicha formula como una ecuación, despejando la letra x

900 = 324 + 𝑥 2 900 − 324 = 𝑥 2 576 = 𝑥 2 𝑥 = √576 = 24

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Es decir que el cateto faltante es de 24 cm (Realiza la actividad 4)

TRIÁNGULOS ESPECIALES Existen triángulos rectángulos especiales, para los cuales es posible hallar las longitudes de dos de los tres lados cuando se da la longitud uno cualquiera de ellos. Las relaciones existen entre los lados de estos dos tipos especiales de triángulos rectángulos, se deducen del Teorema de Pitágoras. 

Triangulo especial 30°-60°-90°

Aparece de la división de un triangulo equilátero por una bisectriz y se caracteriza por tener sus ángulos internos de medidas 30°-60°-90°, asi como lo muestra la figura. Al observar el triangulo de color rojo, denotamos que la hipotenusa es el doble de uno de sus catetos y para hallar el cateto faltante utilizamos el teorema de Pitágoras

(𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎)2 = (𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 1)2 + (𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 2)2 𝑥2 (𝑥 )2 = ( ) + (𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜)2 2 2 𝑥 𝑥2 = + (𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜)2 4 𝑥2 = (𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜)2 𝑥2 − 4

3 2 𝑥 = (𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜)2 4

3

𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 = √4 𝑥 2 =

El cateto faltante mide 

√3 2

𝑥

√3 𝑥 2

Triangulo especial 45°-45°-90°

Aparece de la división de forma diagonal de un cuadrado y se caracteriza por tener sus ángulos internos de medidas 45°-45°-90°, así como se observa en la figura. Si notamos el triangulo rectángulo, denotamos que los catetos tienen igual medida y que además el lado faltante es la hipotenusa, la cual se determina con el teorema de Pitágoras. Guía 001 Matemáticas Grado Decimo

12 (𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎)2 = (𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 1)2 + (𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 2)2 (𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎)2 = (𝑥 )2 + (𝑥 )2 (𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎)2 = 2𝑥 2 𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 = √2𝑥 2 = 𝑥√2 Por lo tanto el lado faltante del triangulo es 𝑥√2 Ejemplo 1. Encontrar la medida de un lado de un triangulo equilátero cuya altura es de 5 cm. Como es un triangulo equilátero, relacionamos el triangulo especial 30°-60°-90°, aplicando, así sus características:

Si x es la medida del lado del triangulo equilátero, a la ves es la medida de la hipotenusa del rectángulo, y la altura es

√3 2

𝑥 , pero como conocemos dicha medida obtenemos √3 𝑥=5 2 5 × 2 10 10√3 = = 𝑥= 3 √3 √3

Ejemplo 2. Encontrar la medida de un cateto de un triangulo rectángulo isósceles cuya hipotenusa mide 7 cm Dicha información establece un triangulo rectángulo especial 45°-45°-90°, por lo cual la media de la hipotenusa es √2𝑥 , para el ejercicio ya tiene un valor es decir que el cateto mide

√2𝑥 = 7 7 7√2 𝑥= = 2 √2

(Realiza la actividad 5)

RELACIONES DE CONGRUENCIA Y SEMEJANZA EN TRIÁNGULOS 30 - 60 - 90 Y 45 - 45 – 90

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13 Compara los triángulos rectángulos ABC y DEF, ¿son congruentes? Es indudable que lo primero que se debe hacer es considerar los triángulos como triángulos rectángulos especiales 30 - 60 - 90, por tanto, si conoces un lado puedes conocer los otros dos. Así, si en el ∆ABC reconoces que el cateto menor AC mide 3 cm, lo mismo que el cateto DF en el triángulo especial 30 - 60 – 90 DEF, por tanto, ∆ABC ≅ ∆DEF. En términos generales, dos triángulos rectángulos especiales 30 - 60 – 90 o dos triángulos rectángulos especiales 45 - 45 - 90 son congruentes si tienen al menos un lado correspondiente congruente. Esto se afirma ya que si los triángulos rectángulos no fueran especiales, al menos se tendría el ángulo recto congruente y faltaría verificar que los elementos correspondientes (mínimo otros dos, que no sean los otros ángulos) fueran congruentes. En este caso, los triángulos son congruentes si: 

La hipotenusa y un ángulo agudo son congruentes.



Un cateto y un ángulo agudo son congruentes.



Dos catetos son congruentes.



La hipotenusa y un cateto son congruentes.

Piensa ahora si la siguiente afirmación es cierta o falsa: Si tienes dos triángulos rectángulos 30 - 60 - 90, puedes afirmar que estos triángulos siempre son, congruentes. La respuesta es, no siempre. Ya se sabe que se necesita al menos tener un la correspondiente congruente; de lo contrario, los triángulos serían semejantes (dos o más Guía 001 Matemáticas Grado Decimo

14 figuras son semejantes si los ángulos correspondientes miden lo mismo y los lados son proporcionales). ¿L...