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Guia - Polinomios Matemáticas Aplicadas I Profesor@s: Katherine Machuca, Francisca Jiménez y Patricio Orrego Fecha: 21 de abril de 2021 1. Considere los polinomios p(x) = x4 + x3 − 3x2 − x + 2 y q(x) = x2 − 1. a) Encuentre el cuociente y resto al dividir p(x) por q(x). b) Encuentre todas las raíces de p(x). Escriba p(x) como producto de polinomios irreducibles en P(R). 2. Determine las constantes a y b de modo que los polinomios p(x) = (a + b − 1)x5 + x4 − 4x3 + ax2 − 2x y q(x) = (x2 − 2x)(x − 1)2 sean iguales. 3. Determine el valor de la constante real α de modo que el siguiente polinomio sea divisible por (x − 1) y por (x − 2). p(x) = x5 + α2 x4 − 6x3 + αx2 − x + 6. 4. Determine el valor de k ∈ R para que el resto de dividir el polinomio p(x) = x3 + 3x2 − kx + 5 por el polinomio q(x) = x + 1, sea 2. 5. Considere el polinomio p(x) = x6 + 2x5 − 4x4 + kx3 + x2 − 4x + t. Determine los valores de los reales k y t de modo que 1 y −3 sean raíces de p(x). 6. Si p(x) = x4 + Ax2 − Ax − 5 es tal que p(3) = 88, ¿Cuál es el valor de p(−2)? 7. Sea p(x) = x5 + Ax3 − 70x2 + Bx − 30. Sabiendo que −1 es raíz de multiplicidad dos, obtenga A y B . 8. Sabiendo que −2 y 3 son ceros de p(x) = x4 − 4x3 − 7x2 + 22x + 24, encuentre las raíces restantes y factorice en P(R). 9. Determine los valores a, b ∈ R de modo que r = 1 sea una raíz doble del polinomio p(x) = bx3 − 2ax2 + x − a + b. 10. Encuentre las raíces y su respectiva multiplicidad para el polinomio p(x) = (x4 − 2) · (x3 + 5x2 − 8x + 4), si se sabe que es divisible por x − 1. 11. Determine todas las raíces de p(x) = x6 + 6x5 + 9x4 − x2 − 6x − 9, sabiendo que −3 es raíz múltiple y que q(x) = x2 + 1 es un factor de p(x). 12. Determinar todas las raíces y factorizar los polinomios: a) x3 − 3x2 − x + 3

c) x5 + 2x4 − 13x3 − 14x2 + 24x

b) 6x4 − 37x3 + 63x2 − 33x + 5

d) x4 − 21 x3 − 72 x2 + 21 x + 1

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