Handleiding driehoeksmeting PDF

Preview

Summary

Samenvatting driehoeksmeting...

Description

HANDLEIDING: DRIEHOEKSMETING VOOR DUMMIES  SOSCASTOA Per definitie kunnen we in een rechthoekige driehoek 3 zijden onderscheiden: 

2 rechthoekszijden o



|𝐴𝐶| 𝑒𝑛 |𝐵𝐶|

1 schuine zijde o

|𝐴𝐵|

We onderscheiden 3 hoeken. Deze kunnen we allerlei namen geven:

 𝐶,   𝐴 , 𝐵, 

(alfa), β (bèta), γ (gamma)

Mijn persoonlijke voorkeur gaat uit naar deze laatste, maar je bent vrij om je hoeken te benoemen hoe je dit zelf wil.

1

HET DOEL

VAN DRIEHOEKSMETING

Op het einde van dit hoofdstuk moet je in staat zijn om elke zijde en elke scherpe hoek van een rechthoekige driehoek te kunnen berekenen, aan de hand van slechts enkele gegevens. Hiervoor heb je kennis nodig van: 



De stelling van Pythagoras (merk op dat in de driehoek ABC (p.1 of bijlage) de stelling van Pythagoras eigenlijk is: c2 = a2 + b2 want c is hier de schuine zijde) Sinus, cosinus en tangens

Als je deze kent, kan je werkelijk alles berekenen in een rechthoekige driehoek. Natuurlijk kan je altijd je hoeken gaan meten met een geodriehoek, maar daar is toch niets leuks aan? Je vraagt je misschien af: “waarom moeten wij dit kennen of kunnen?!”. Driehoeksmeting is vooral nuttig en BELANGRIJK in de bouwsector, architectuur. Noot: Op toetsen en examens moet je niet eens proberen om de hoeken te meten, want de verhoudingen zijn niet correct weergegeven en dus zal je altijd een fout resultaat uitkomen.

TANGENS (TAN ) De tangens van een hoek is de verhouding van de

Tan

=

Overstaande rechthoekszijde Aanliggende rechthoekszijde

Overstaande rechthoekszijde Aanliggende rechthoekszijde

In de driehoek ABC (bijlage) hebben we 2 scherpe hoeken: Voor

(alfa) en β (bèta).

: |𝐵𝐶| = 𝑜𝑣𝑒𝑟𝑠𝑡𝑎𝑎𝑛𝑑𝑒 en |𝐴𝐶| = 𝑎𝑎𝑛𝑙𝑖𝑔𝑔𝑒𝑛𝑑𝑒 ==> Tan

=

|𝐵𝐶 |

|𝐴𝐶|

We kennen de lengtes van de zijden: |𝐵𝐶| = 8 𝑐𝑚 en |𝐴𝐶| = 6 𝑐𝑚 dus kunnen we deze in onze formule steken. Tan

=

8

6

= 1,33… (hier mag je de breuk schrijven als een decimaal getal).

Op zich zijn we hier niets mee, want we willen eigenlijk weten hoe groot de hoek is. Dit doen we door ons rekentoestel te gebruiken: Tan-1

|𝐵𝐶 | 8 = Tan-1 ( ) = 53° 7’ 48” 6 |𝐴𝐶|

Vergeet niet het getal om te zetten naar graden, minuten, seconden

2

We zetten eigenlijk de formule van ‘tan Tan

=

|𝐵𝐶 |

|𝐴𝐶|

⟺

= Tan-1

‘ om naar

|𝐵𝐶 | |𝐴𝐶|

Tan-1 spreken we uit als de inverse van de tangens. Dit kan je vergelijken met iets naar het ander lid brengen bv:

4+2 = 6 Als je 2 naar de andere kant brengt krijg je het tegengestelde nl. 4 = 6-2 We zeggen dat aftrekken de inverse of tegengestelde operatie is van optellen. OF

√4 = 2 Terwijl dat 4 = 2² We zeggen dat de vierkantswortel de inverse of tegengestelde operatie is van een kwadratering (machtsverheffing tot de tweede macht). De derdemachtswortel is de inverse van een machtsverheffing tot de derde macht etc. We kunnen trouwens identiek hetzelfde doen voor hoek β, want dit is ook een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek. Met de theorie van de tangens:

|𝐴𝐶 | Tan β = |𝐵𝐶|

⟺

Tan β =

6 = 0,75 8

Als we dan de hoek β bereken door Tan-1 (

6 -1 8 ) of Tan (0,75) = 36° 52’ 12”

We hadden dit ook kunnen bekomen door te stellen dat hoek alfa en bèta complementaire hoeken zijn en dus is hoek β = 90° -

SOSCASTOA = Tangens =

𝐎verstaande rechthoekszijde

𝐀anliggende rechthoekszijde

3

OEFENING TANGENS Een mogelijke vraag kan zijn: bereken de hoek β. STAP 1: Zoek de hoek β STAP 2: Welke zijden zijn gegeven. Hoe noemen we deze zijden ten opzichte van de gevraagde hoek STAP 3: Gebruik ik hiervoor de sinus (sin), cosinus (cos) of tangens (tan). STAP 4: Bereken de hoek d.m.v. de inverse sin (sin-1), cos (cos-1) of tan (tan-1) Uitvoering: STAP 1: de hoek β ligt aan hoekpunt B (rechts onderaan) STAP 2: De gegeven zijden zijn |AC| en |BC|. Zijde |AC| is de overstaande zijde als we het bekijken ten opzichte van hoek β. Zijde |BC| is de aanliggende zijde t.o.v. hoek β STAP 3: Je gebruikt de tangens, want je hebt de overstaande en de aanliggende rechthoekszijde gegeven.

2 1 ) = 63,43° Omgezet in °, ‘, “ is dit 63° 26’ 6”.

STAP 4: tan-1 (

Berekening hoek De hoek

= 90° - 63° 26’ 6” = 26° 33’ 54”

OF Tan-1 (

1 2 ) = 26° 33’ 54” (reken dit na)

Als we nog een stapje verder gaan kunnen we zelfs de aanliggende of de overstaande rechthoekszijde berekenen, mits we de hoekgrootte kennen. Dit is normaal de laatste fase in de driehoeksmeting, maar ik laat het jullie alvast zien.

4

EXTRA OEFENING TANGENS Een mogelijke vraag kan zijn: bereken de zijde |AC|. STAP 1: Zoek de zijde |AC| STAP 2: Welke gegevens krijg je? STAP 3: Gebruik ik hiervoor de sinus (sin), cosinus (cos) of tangens (tan). Welk verband kan je leggen tussen de gegevens? STAP 4: Bereken de zijde met behulp van SOSCASTOA Uitvoering: Stap 1: De zijde |AC| is de opstaande zijde, aanliggend aan hoek en liggend tegenover hoek β (overstaande zijde t.o.v. β) Stap 2: We krijgen de lengte van |BC| = 1 cm; we krijgen de grootte van de hoek β = 63° en we krijgen mee dat we de zijde |AC| moeten berekenen. STAP 3: We moeten het verband zien te vinden tussen de zijde |AC|, |BC| en hoek β. Als we de zijden benoemen t.o.v. hoek β, zou dit iets makkelijker moeten gaan T.o.v. β: |AC| = overstaande rechthoekszijde en |BC| = aanliggende rechthoekszijde. Dit zou een lampje moeten doen branden, omdat je zo’n formule kent: Tan β =

|𝐴𝐶| (= 𝑜𝑣𝑒𝑟𝑠𝑡𝑎𝑎𝑛𝑑𝑒 𝑟ℎ𝑧)

|𝐵𝐶| (= 𝑎𝑎𝑛𝑙𝑖𝑔𝑔𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑟ℎ𝑧) |𝐴𝐶| (=𝑜𝑛𝑏𝑒𝑘𝑒𝑛𝑑𝑒)

⟺

tan 63° =

⟺

tan 63° . 1 cm = |AC|

⟺

1,96 cm = |AC|

1 𝑐𝑚

Noot: dit is dezelfde driehoek als op p. 4 maar om het iets eenvoudiger te maken, heb ik de hoek afgerond op 63°. Aan het resultaat zie je dat het ± hetzelfde is (de zijde |AC| op p. 4 in vergelijking met de zijde |AC| op p. 5.

5

SINUS (SIN ) De sinus van een hoek is de verhouding van de

Overstaande rechthoekszijde Schuine zijde

Overstaande rechthoekszijde Schuine zijde

Sin

=

In de driehoek ABC (bijlage) hebben we 2 scherpe hoeken:

(alfa) en β (bèta).

: |𝐵𝐶| = 𝑜𝑣𝑒𝑟𝑠𝑡𝑎𝑎𝑛𝑑𝑒 en |𝐴𝐵| = 𝑠𝑐ℎ𝑢𝑖𝑛𝑒 𝑧𝑖𝑗𝑑𝑒

Voor

==> Sin

=

|𝐵𝐶|

|𝐴𝐵 |

We kennen de lengtes van de zijden: |𝐵𝐶| = 8 𝑐𝑚 en |𝐴𝐵| = 10 𝑐𝑚 dus kunnen we deze in onze formule steken. Sin

=

8 = 0,8 (hier mag je de breuk schrijven als een decimaal getal). 10

Op zich zijn we hier niets mee, want we willen eigenlijk weten hoe groot de hoek is. Dit doen we door ons rekentoestel te gebruiken: Sin-1

|𝐵𝐶 | 8 = Sin-1 ( 10 ) = 53° 7’ 48” |𝐴𝐵 |

Vergeet niet het getal om te zetten naar graden, minuten, seconden Noot: We bekomen hetzelfde resultaat als met de tangens, maar gebruikten een andere formule. We zetten eigenlijk de formule van ‘sin Sin

=

|𝐵𝐶|

⟺

|𝐴𝐵 |

= Sin-1

‘ om naar

|𝐵𝐶 |

|𝐴𝐵 |

Sin-1 spreken we uit als de inverse van de sinus. We kunnen trouwens identiek hetzelfde doen voor hoek β, want dit is ook een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek. Met de theorie van de sinus:

Sin β =

|𝐴𝐶 | |𝐴𝐵 |

⟺

Sin β =

6

10

= 0,6

Als we dan de hoek β bereken door Sin-1 (

6 -1 10 ) of Sin (0,6) = 36° 52’ 12”

We hadden dit ook kunnen bekomen door te stellen dat hoek alfa en bèta complementaire hoeken zijn en dus is hoek β = 90° -

SOSCASTOA = Sinus =

𝐎verstaande rechthoekszijde 𝐒chuine zijde

6

OEFENING SINUS Een mogelijke vraag kan zijn: bereken de hoek . STAP 1: Zoek de hoek STAP 2: Welke zijden zijn gegeven. Hoe noemen we deze zijden ten opzichte van de gevraagde hoek STAP 3: Gebruik ik hiervoor de sinus (sin), cosinus (cos) of tangens (tan). STAP 4: Bereken de hoek d.m.v. de inverse sin (sin-1), cos (cos-1) of tan (tan-1) Uitvoering: STAP 1: de hoek (links bovenaan)

ligt aan hoekpunt A

STAP 2: De gegeven zijden zijn |AB| en |BC|. Zijde |BC| is de overstaande zijde als we het bekijken ten opzichte van hoek . Zijde |AB| is de schuine zijde. STAP 3: Je gebruikt de sinus, want je hebt de overstaande en de schuine zijde gegeven.

1 2,24 ) = 26,51° Omgezet in °, ‘, “ is dit 26° 33’ 54”

STAP 4: sin-1 (

Berekening hoek β De hoek β = 90° - 26° 33’ 54” = 63° 26’ 6” OF Aangezien we de zijde |AC| nu niet weten, maar 2 van de 3 zijden kennen, kunnen we hier de stelling van Pythagoras gebruiken. 2,24² = |AC|² + 1² ⟺

|AC| = √2,242 − 1² = 2,004395171 cm

⟺

afgerond = 2 cm.

2 sin-1 ( 2,24 ) = 63° 14’ 4” (reken dit na). Noot: Een kleine afwijking omdat we hebben afgerond. (dit is verwaarloosbaar)

7

COSINUS (COS ) De cosinus van een hoek is de verhouding van de Cos

=

Aanliggende rechthoekszijde Schuine zijde

Aanliggende rechthoekszijde Schuine zijde

In de driehoek ABC (bijlage) hebben we 2 scherpe hoeken: Voor

(alfa) en β (bèta).

: |𝐴𝐶| = 𝑎𝑎𝑛𝑙𝑖𝑔𝑔𝑒𝑛𝑑𝑒 en |𝐴𝐵| = 𝑠𝑐ℎ𝑢𝑖𝑛𝑒 𝑧𝑖𝑗𝑑𝑒 ==> Cos

=

|𝐴𝐶|

|𝐴𝐵 |

We kennen de lengtes van de zijden: |𝐴𝐶| = 6 𝑐𝑚 en |𝐴𝐵| = 10 𝑐𝑚 dus kunnen we deze in onze formule steken. Cos

=

6 = 0,6 (hier mag je de breuk schrijven als een decimaal getal). 10

Op zich zijn we hier niets mee, want we willen eigenlijk weten hoe groot de hoek is. Dit doen we door ons rekentoestel te gebruiken: Cos-1

|𝐴𝐶 | 6 = Cos-1 ( 10 ) = 53° 7’ 48” |𝐴𝐵 |

Vergeet niet het getal om te zetten naar graden, minuten, seconden Noot: We bekomen hetzelfde resultaat als met de tangens en sinus, maar gebruikten een andere formule. We zetten eigenlijk de formule van ‘cos Cos

=

|𝐴𝐶 |

|𝐴𝐵 |

⟺

= Cos-1

‘ om naar

|𝐵𝐶 |

|𝐴𝐵 |

Cos-1 spreken we uit als de inverse van de sinus. We kunnen trouwens identiek hetzelfde doen voor hoek β, want dit is ook een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek. Met de theorie van de sinus:

|𝐵𝐶 | Cos β = |𝐴𝐵 |

⟺

Cos β =

8

10

= 0,8

Als we dan de hoek β bereken door Cos-1 (

8 -1 10 ) of Cos (0,8) = 36° 52’ 12”

We hadden dit ook kunnen bekomen door te stellen dat hoek alfa en bèta complementaire hoeken zijn en dus is hoek β = 90° -

SOSCASTOA = Cosinus =

𝐀anliggende rechthoekszijde 𝐒chuine zijde

8

OEFENING COSINUS Een mogelijke vraag kan zijn: bereken de hoek β . STAP 1: Zoek de hoek β STAP 2: Welke zijden zijn gegeven. Hoe noemen we deze zijden ten opzichte van de gevraagde hoek STAP 3: Gebruik ik hiervoor de sinus (sin), cosinus (cos) of tangens (tan). STAP 4: Bereken de hoek d.m.v. de inverse sin (sin-1), cos (cos-1) of tan (tan-1) Uitvoering: STAP 1: de hoek β ligt aan hoekpunt B (rechts onderaan) STAP 2: De gegeven zijden zijn |AB| en |BC|. Zijde |BC| is de aanliggende zijde als we het bekijken ten opzichte van hoek β . Zijde |AB| is de schuine zijde. STAP 3: Je gebruikt de cosinus, want je hebt de aanliggende rechthoekszijde en de schuine zijde gegeven.

1 2,24 ) = 63,49° Omgezet in °, ‘, “ is dit 63° 29’ 7”

STAP 4: cos-1 (

Berekening hoek De hoek

= 90° - 63° 29’ 7” = 26° 30’ 53”

OF Aangezien we de zijde |AC| nu niet weten, maar 2 van de 3 zijden kennen, kunnen we hier de stelling van Pythagoras gebruiken. 2,24² = |AC|² + 1² ⟺

|AC| = √2,242 − 1² = 2,004395171 cm

⟺

afgerond = 2 cm.

cos-1 (

2 2,24 ) = 26° 45’ 56” (reken dit na).

Noot: Een kleine afwijking omdat we hebben afgerond. (dit is verwaarloosbaar) 9

BESLUIT SOSCASTOA

SOSCASTOA = Sinus =

𝐎verstaande rechthoekszijde

SOSCASTOA = Cosinus =

SOSCASTOA = Tangens =

𝐒chuine zijde

𝐀anliggende rechthoekszijde 𝐒chuine zijde

𝐎verstaande rechthoekszijde

𝐀anliggende rechthoekszijde

⇑ DEZE FORMULES MOET JE UIT HET HOOFD KENNEN

Bij het berekenen van hoeken en zijden kan je een kleine afwijking hebben, waardoor je voor de scherpe hoeken in een rechthoekige driehoek niet altijd 90° uitkomt, terwijl deze samen wel degelijk complementair zijn. Dit komt doordat we afrondingen maken, maar ook doordat het algoritme voor het berekenen van de sinus, cosinus en tangens van ons rekentoestel niet 100% perfect is. Je moet hier echter geen rekening mee houden.

Je kan de formules ook omvormen, afhankelijk van welke zijden, hoeken je kent in de rechthoekige driehoek. Sin

=

Cos

=

Tan

=

ORZ 𝑆𝑍

ARZ 𝑆𝑍

ORZ

𝐴𝑅𝑍

⟺ SZ =

⟺ SZ =

𝑂𝑅𝑍 𝑠𝑖𝑛

𝐴𝑅𝑍

⟺ ARZ =

𝑐𝑜𝑠

𝑂𝑅𝑍

𝑇𝑎𝑛

⟺ ORZ = Sin

. SZ

⟺ ARZ = Cos

. SZ

⟺ ORZ = Tan

. ARZ

Omvormingen van de formules voor sinus, cosinus en tangens 10

BIJLAGE : DRIEHOEK P . 1 OM BIJ TE HOUDEN ALS JE DE TEKST VAN SINUS , COSINUS , TANGENS LEEST EN LEERT .

11...