Hausuebungen%20MAT II%202006 03 22 PDF

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HCU Hamburg . Bauingenieurwesen

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Übungen zu Ingenieurmathematik II

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SS 2006

Hausübungen zu "Ingenieurmathematik II" Zu Kap 4.3: Exponential- und Logarithmusfunktionen 1.

Man ermittle p aus der Gleichung:

2. Man ermittle q aus der Gleichung: 3.

4. 5.

6.

7.

Lösungen: 1. p = 4,649 2. q = 9,1557 3.

4. 5. 6.

7.

200 = ep p −4 e lg(4x − 5) = 1,5

(4x – 5 > 0, d.h. x > 1,25)

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Blatt 1

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Übungen zu Ingenieurmathematik II

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SS 2006

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Blatt 2

Zu: Differenzialgleichungen Gesucht sind - die speziellen Lösungen zu Aufgabe 1 und 7 sowie - die allgemeinen Lösungen zu den restlichen Aufgaben

Aufgabe

( Lösung ) 1 − x ⎞ e ⎛ ⋅ ⎜⎜ 1 − e 9 ⎟⎟ ) e −1 ⎝ ⎠

1.

9y" + y' = 0 RB: y(0) = 0 und y(9) = 1

( y( x ) =

2.

0,5y" - 1,5y' - 2,0y = 0

( y( x ) = C 1 ⋅ e 4 x + C 2 ⋅ e − x )

3.

y" + 4y' + 4y

= 0

( y ( x ) = ( C1 ⋅ x + C2 ) ⋅ e− 2 x )

4.

0,5y" + 6y' + 18y

= 0

( y( x ) = ( C1 ⋅ x + C2 ) ⋅ e− 6 x )

5.

y" + 4y' + 5y

= 0

( y(x ) = e−2 x ⋅ ( C 1 ⋅ sin x + C 2 ⋅ cos x ) )

6.

y" + 6y' + 34y

= 0

( y(x ) = e−3x ⋅ (C1 ⋅ sin 5x + C 2 ⋅ cos 5x ) )

7.

y" + 6y' + 9y = x³ RB: : y(0) = 0 und y(1) = 0

8.

y" + 4y'

= 2x - 4x4

7 7 1 1 1 ( y(x ) = C1 + C 2 ⋅ e −4 x − x 5 + x 4 − x 3 + x 2 − x ) 32 16 4 4 5

9.

y" + 4y

= 2x - 4x4

( y( x ) = C1 ⋅ sin 2 x + C 2 ⋅ cos 2x − x 4 + 3x 2 +

( y (x ) =

(

)

1 1 ⋅ 8 − x ⋅ (e 3 + 8) ⋅ e −3 x + ⋅ (− 8 + 18x − 18x 2 + 9x 3 ) ) 81 81

10. 11. 12. 13. 1

14. y ′ = x ⋅ y

( y = C ⋅e 2

15. y ′ = ( x² + 1) ⋅ y

( y = C ⋅e 3

1

16. y = 17.

y′ sin x

x² + a ² ⋅ y′ − y = 0

x²

x ³+ x

) )

( y = C ⋅ e − cos x ) ( y = (x + x ² + a ² ) ⋅ C )

3 1 x − ) 2 2

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Übungen zu Ingenieurmathematik II

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Blatt 3

Noch zu Differenzialgleichungen: 1

14. y ′ = x ⋅ y

( y = C⋅e 2

15. y′ = (x ² +1) ⋅ y

( y = C ⋅e 3

1

16. y =

y′ sin x

)

x ³+ x

)

( y = C ⋅ e − cos x )

x ² + a ² ⋅ y′ − y = 0

17.

x²

( y = (x + x² + a² ) ⋅ C )

Zu: Reihenentwicklungen: Gesucht sind die Reihenentwicklungen.

Aufgabe

( Lösung )

1 25 x (bis x³) ( y ≈ x + x² + x³ ) 2 24 2 Zusätzlich: Berechnen Sie die Werte y(x = 0,1) und y(x = 0,2) und stellen Sie fest, um wie viel Prozent diese Werte vom exakten Wert abweichen.

1. y = e 2 x ⋅ tan

1 ⎞ ⎛ 2. y = e2 x ⋅ ⎜ 1 − −x ⎟ ⎝ e ⎠

3.

1

(bis x4)

( y ≈ −x −

19 5 x³ ) x² − 6 2

1 3 6 x³ + x ) 2 8 1 − x³ Zusätzlich: Berechnen Sie die Werte y(x = 0,5) und y(x = 0,7) und stellen Sie fest, um wie viel Prozent diese Werte vom exakten Wert abweichen. y =

(bis x6)

( y ≈1 +

Zu: Numerische Integration: Das Integral B ist näherungsweise mit der Simpsonschen Regel unter Verwendung von 6 Intervallen zu berechnen und mit dem exakten Wert zu vergleichen.

Aufgabe 1.

B =

3π 4

∫ sin

1 π 4

2

x dx

( Lösung ) exakt:

B =

1 1 ⋅ π + = 1,2854 4 2

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Übungen zu Ingenieurmathematik II

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SS 2006

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Blatt 4

( Noch Numerische Integration: ) 2.

Zu: Determinanten: 1.

[Lösung: a) 30

b) 44

c) 25 ]

2.

[Lösung: a) x1 = 4 , x2 = -5

b) x = 60°]

3.

[Lösung:

a) x = -1, y = 3, z = 0

d) x = 1, y = -3, z = 2

b) und c) keine Lösungen (Es ist in beiden Fällen je eine Reihe der Koeffizientenmatrix gleich der Linearkombination zweier anderer Reihen. Um welche Zeilen oder Spalten handelt es sich bei den beiden Determinanten? ]

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Zu Matrizen:

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Blatt 5...