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Institut für Analysis Priv.-Doz. Dr. Gerd Herzog M.Sc. Jonathan Wunderlich

12. Übungsblatt Höhere Mathematik I (Analysis) für die Fachrichtung Informatik Wintersemester 2019/20 17. Januar 2020 Abgabe bis 24. Januar 2020, 12:00 Uhr

Aufgabe 45: (i) Zeigen Sie mit Hilfe von Ober- und Untersummen, dass die folgenden Integrale existieren und bestimmen Sie jeweils den Wert des Integrals. R1 2 R 1 −x e dx, (b) x dx. (a) 0 −1 Hinweis: Sie dürfen

Pn

k=1

k2 =

n(n+1)(2n+1) 6

(n ∈ N) ohne Beweis verwenden.

(ii) Es seien a, b ∈ R mit a < b und f : [a, b] → R beschränkt. Zeigen Sie: S(−f ) = −Sf

⇒

f ist integrierbar.

Rb (iii) Es seien a, b ∈ R mit a < b und g : [a, b] → R integrierbar mit a g(x) dx > 0. Beweisen Sie, dass ein Intervall [α, β] ⊆ [a, b] mit α < β existiert, sodass g > 0 auf [α, β] gilt. Aufgabe 46 (K): (i) Es seien a, b ∈ R mit a < b und f ∈ C1 ([ a, b]). Berechnen Sie die folgenden Integrale mit Hilfe des 1. Hauptsatzes, indem Sie jeweils eine Stammfunktion ermitteln. R1 2 +4x+5 (a) 0 −3x−9x 3 +2x2 +5x+6 dx, Rb ′ etan(f (x)) dx, falls π2 + kπ ∈ (b) a cosf2 (f(x) / f ([a, b]) für alle k ∈ Z, (x)) R b f ′ (x) (c) a 1+f (x)2 dx.

(ii) Es sei f : [0, 1] → R stetig differenzierbar mit f (0) = 0 und f (1) = 1. Zeigen Sie die folgende Abschätzung Z 1 1 |f ′ (x) − f (x)| dx ≥ . e 0 Hinweis: Betrachten Sie die Funktion F : [0, 1] → R, F (x) := f (x)e−x . Aufgabe 47: Es seien a, b ∈ R mit a < b und f : [a, b] → R stetig und streng monoton wachsend. Zeigen Sie, dass die Umkehrfunktion f −1 : [f (a), f (b)] → R wohldefiniert und integrierbar ist, und dass gilt: Z

b

f (x) dx + a

Z

f (b)

f −1 (x) dx = bf (b) − af (a).

f (a)

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Aufgabe 48 (K): (i) Es sei (fn )∞ n=1 definiert durch fn : [1, π] → R, fn (x) :=

cos( xn ) . 1 − e−xn

(a) Zeigen Sie, dass (fn )∞ n=1 punktweise auf [1, π] konvergiert und geben Sie die Grenzfunktion an. ∞ Konvergiert (fn )n=1 auch gleichmäßig? (b) Bestimmen Sie lim

n→∞

Z

π

fn (x) dx.

1

(ii) Es seien f : [0, 1] → R stetig und g : [0, 1] → R definiert durch g(x) := g ′′ = f auf [0, 1].

Rx 0

(x − t)f (t) dt. Zeigen Sie:

Information Alle Informationen bezüglich der Themen Übungsbetrieb, Scheinkriterien, Tutorien, Prüfung, Skript und Literaturhinweise finden Sie auf unserer Homepage http://www.math.kit.edu/iana2/lehre/hm1info2019w/de Übungsschein Jede (K)-Aufgabe wird mit maximal 8 Punkten bewertet. Einen Übungsschein erhält, wer auf den Übungsblättern 1-7 und 8-14 jeweils mindestens 56 Punkte (50%) erzielt. Notwendig für den Erhalt des Übungsscheins ist eine Anmeldung im CAS-Portal. Anmeldeschluss ist der 09.02.2020.

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