Hukum Gauss PDF

Preview

Summary

Hukum Gauss Hukum Gauss merupakan metode yang sangat efektif untuk mencari kuat medan listrik di sekitar muatan kontinu pada benda yang memiliki simetri. A. Fluks listrik Fluks Listrik merupakan perkalian antara vektor medan listrik dengan vektor luar permukaan yang ditembus oleh medan tersebut. “Me...

Description

Accelerat ing t he world's research.

Hukum Gauss FATIMAH UNNES

Related papers

Download a PDF Pack of t he best relat ed papers 

Suplemen 20Fisika 20Dasar 20II 20 20Mikrajuddin 20Abdullah Lidya Molana

DIKTAT KULIAH FISIKA DASAR II TAHAP PERSIAPAN BERSAMA IT B DIKTAT KULIAH FISIKA DASAR II TA… cst 13 Fisika dasar ii mikrajuddin abdullah mei Fayadh Yunus

Hukum Gauss Hukum Gauss merupakan metode yang sangat efektif untuk mencari kuat medan listrik di sekitar muatan kontinu pada benda yang memiliki simetri. A. Fluks listrik Fluks Listrik merupakan perkalian antara vektor medan listrik dengan vektor luar permukaan yang ditembus oleh medan tersebut.

“Medan Listrik Ē menembus permukaan dengan vektor luas permukaan Ā” Sehingga fluks listrik yang melewati permukaan tersebut ialah : Φ = Ē.Ā = E A cos θ Jika permukaan yang ditembus medan terdiri dari sejumlah segmen, maka fluks total sama dengan jumlah fluks pada masing-masing segmen.

Φ = Φ1 + Φ2 +Φ3 +Φ4 Φ = Ē1.Ā1 + Ē2.Ā2 + Ē3.Ā3 + Ē4.Ā4 Φ = E1 A1 cos θ1 + E2 A2 cos θ2 + E3 A3 cos θ3 + E4 A4 cos θ4 Sehingga untuk jumlah segmen permukaan ada n buah, maka fluks total : Φ = ∑�= 2�. Ā� Φ = ∑�= �� �� cos �

Dalam kasus umum dimana permukaan yang dikenai medan listrik adalah permukaan sembarang dan kuat serta arah medan listrik juga sembarang, maka fluks : Φ = ∫ � cos � �

B. Fluks pada Permukaan Tertutup Fluks ada karena adanya garis gaya. Garis gaya keluar dari muatan positif. Ujung garis gaya ialah lokasi pada jarak tak berhingga dari muatan positif atau muatan negatif. Ketika bertemu muatan negatif, maka garis yang dihasilkan muatan positif berakhir dimuatan negatif.

Keterangan gambar : (i) Muatan positif berada diluar permukaan tertutup (ii) Muatan negatif berada diluar permukaan tertutup (iii) Muatan positif diluar permukaan tertutup dan muatan negatif didalam permukaan tertutup (iv) Muatan negatif diluar permukaan tertutup dan muatan positif didalam permukaan tertutup

Penjelasan : (i) Misalkan disekitar sebuah muatan positif terdapat permukaan tertutup. Muatan tersebut berada diluar permukaan tertutup. Garis gaya yang dihasilkan oleh muatan tersebut yang masuk pada sisi depan permukaan pasti keluar di sisi belakang permukaan. Karena tidak ada muatan negatif didalam permukaan yang berperan sebagai titik akhir dari garis gaya maka garis gaya berakhir di jarak tak berhingga. Pada sisi depan permukaan, sudut yang dibentuk garis gaya dengan

vektor luas lebih besar dari 90º sehingga fluks berharga negatif. Pada sisi belakang permukaan, sudut yang dibentuk garis gaya dengan vektor luas lebih kecil dari 90º sehingga fluks berharga positif. Kedua fluks tersebut sama besar, sehingga fluks total pada permukaan tertutup nol. (ii) Jika diluar permukaan ada muatan negatif maka garis gaya akan masuk menuju permukaan tersebut. Kedua fluks tersebut juga sama besar sehingga fluks total pada permukaan tertutup nol. (iii) Jika diluar permukaan ada muatan positif dan didalam ada muatan negatif, maka sebagian garis gaya yang masuk disisi depan permukaan tidak keluar di sisi belakang permukaan karena garis gaya tersebut berakhir dimuatan negatif dalam permukaan. Akibatnya,fluks yang masuk permukaan tidak sama dengan fluks yang keluar permukaan. Justru, fluks yang masuk permukaan lebih besar dari pada fluks yang keluar permukaan. Dengan demikian, fluks total untuk permukaan tertutup tersebut tidak nol. (iv) Jika diluar permukaan ada muatan negatif dan didalam permukaan ada muatan positif, maka ada tambahan garis gaya yang keluar pada permukaan, namun tidak berasal dari garis gaya yang masuk di sisi lain. Garis gaya tersebut dihasilkan oleh muatan positif yang ada didalam permukaan. Akibatnya, fluks yang keluar permukaan tidak sama dengan fluks yang masuk permukaan. Justru, fluks yang keluar permukaan lebih besar dari pada fluks yang masuk permukaan. Dengan demikian, fluks total untuk permukaan tertutup tersebut tidak nol. Dari permasalahan (iii) dan (iv), Gauss merumuskan hukum yang menghubungkan fluks total dengan jumlah muatan yang dikandung dalam permukaan tersebut. Hukum tersebut ialah sebagai berikut : ∑�� − � � ∑ 2�. Ā� = � ��

− �

�

Atau ��

∑

− �

�

�� �� cos �� =

∑��

�

− �

�

Keterangan : Ei : kuat medan pada segmen permukaan ke-i Ai : luas segmen permukaan ke-i Θi : sudut yang dibentuk oleh vektor medan dan vektor luas pada segmen permukaan ke-i ∑�� − � � : jumlah muatan yang dilingkupi permukaan tertutup

Untuk permukaan yang sembarang, Hukum Gauss dapat diungkapkan sebagai bentuk integral berikut : ∑ ∮� � �= �

Atau ∮ 2. Ā =

∑ �

Simbol ∮ menyatakan bahwa integral dilakukan pada permukaan tertutup. C. Aplikasi Hukum Gauss 1. Kawat Lurus Panjang Sebuah kawat panjang memiliki kerapatan muatan �. Langkah-langkah untuk menentukan kuat medan listrik pada jarak sembarang dari kawat, sebagai berikut : (i) Buat permukaan Gauss Jika ingin menentukan kuat medan pada jarak r dari kawat, maka permukaan Gauss yang digunakan berupa silinder dengan jari-jari r. Panjang silinder disimbolkan dengan L.

Permukaan Gauss yang dipakai adalah permukaan silinder yang berupa selubung, alas dan atap. (ii) Menentukan ∑ �� �� cos �� Karena sifat simetri dari kawat maka dapat diduga bahwa arah medan listrik pasti menembus selubung silinder tegak lurus. Berarti pula arah medan listrik menyinggung alas atau tutup silinder.

Penjumlahan ∑ �� �� cos �� dapat dinyatakan sebagai berikut : ∑ �� �� cos �� = {� � cos � } + {� � cos � } � + {� � cos � } � �

Perincian perhitungan :  Alas Arah medan listrik menyinggung medan alas. Karena arah vektor luas permukaan tegak lurus bidang permukaan itu sendiri, maka arah medan listrik pada alas tegak lurus arah vektor luas alas. Dengan demikian, � = 9 °, sehingga � � cos � = � � cos 9 ° = � � �



=

Tutup Arah medan listrik menyinggung tutup. Karena arah luas permukaan tegak lurus bidang permukaan itu sendiri, maka arah medan listrik pada tutup tegak lurus arah vektor luas tutup. Dengan demikian, � = 9 °, sehingga � � cos � = � � cos 9 ° = � � �



=

Selubung Arah medan listrik tegak lurus dengan selubung. Berarti � = 0º. Dengan demikian, � � cos � = � � cos ° = � � � = � �

Luas Selubung : A3 = (keliling selubung) x (panjang selubung) = Dengan demikian, ∑ �� �� cos �� = + + � ��= ��

��

Kemudian menentukan muatan total dilingkup permukaan Gauss. Muatan tersebut hanya berada pada bagian kawat sepanjang L. Dengan demikian, ∑ = �� Dengan menggunakan Hukum Gauss : �� �� = �

� =

�

� �0

yang merupakan kuat medan listrik pada jarak r dari kawat.

2. Muatan Titik Misalkan ada sebuah muatan titik Q dan ingin ditentukan kuat medan listrik pada jarak r dari muatan tersebut. Langkah pertama yaitu memilih permukaan Gauss sehingga besar medan listrik pada tiap titik permukaan tersebut dan sudut yang dibentuk medan dan vektor permukaan selalu sama. Untuk kasus ini, hanya permukaan bola yang berpusat dimuatan yang memenuhi sifat tersebut. Jadi dipilih permukaan Gauss berupa permukaan bola dengan jari-jari r dan berpusat dimuatan. Karena hanya ada satu permukaan, maka : ∑ �� �� cos �� = � � cos �

Arah medan dipermukaan bola adalah radial. Arah vektor permukaan juga radial. Jadi, medan dan vektor permukaan memiliki arah yang sama sehingga � = ° atau cos � = . Dengan demikian, ∑ �� �� cos �� = �� = � � � � =��

Jumlah total muatan yang dilingkupi permukaan Gauss adalah muatan titik itu sendiri. Jadi, ∑ = . Substistusi ke Hukum Gauss diperoleh :

��

=

�0

atau � =

��0

Hasl tersebut sama persis dengan apa yang diperoleh dengan menggunakan Hukum Coulomb. 3. Pelat Tak Berhingga Dalam pelat tak berhingga terdapat kerapatan konstan. Muatan per satuan luas yang dimiliki pelat dianggap �. Langkah pertama yaitu membuat permukaan Gauss berbentuk silinder. Pelat silinder tepat ditengah-tengahnya sehingga jarak alas dan tutup silinder ke pelat sama. Misal luas alas atau tutup silinder adalah A.

Dengan demikian, permukaan Gauss memiliki 3 bagian : alas, tutup dan selubung silinder. Maka dapat ditulis : ∑ �� �� cos �� = {� � cos � } + {� � cos � } � + {� � cos � } � � Karena sifat yang dimiliki pelat tak berhingga, maka arah medan listrik yang dihasilkan akan tegak lurus pelat. Akibatnya, medan listrik menembus dan tutup dan alas silinder secara tegak lurus dan hanya menyinggung selubung silinder.  Alas Silinder � =� � =� � = karena medan listrik menembus alas silinder secara tegak lurus (vektor medan dan vektor luas alas sejajar). Dengan demikian, � � cos � = �� cos ° = ��  Tutup Silinder � =� � =� � = karena medan listrik menembus alas silinder secara tegak lurus (vektor medan dan vektor luas alas sejajar). Dengan demikian, � � cos � = �� cos ° = ��  Selubung Silinder � =�

� = 9 ° karena medan listrik menyinggung selubung silinder (vektor medan dan vektor luas selubung silinder saling tegak lurus). Dengan demikian, � � cos � = � � cos 9 ° = Akhirnya diperoleh :

∑ �� �� cos �� = �� + �� +

= ��

Langkah selanjutnya yaitu menghitung jumlah muatan yang dikandung permukaan gauss. Muatan tersebut hanya berlokasi pada bagian pelat yang beririsan dengan silinde, yaitu bagian pelat seluas A. Jumlah muatan adalah ∑

= ��

Akhirnya dengan menggunakan Hukum Gauss : ∑ ∑ �� �� cos �� = �

Diperoleh : �� =

�� �0

atau � =

�

�0

Terbukti bahwa kuat medan listrik yang dihasilkan pelat selalu sama berapa pun jaraknya dari pelat. Ini adalah akibat ukuran pelat yang tak berhingga. Jika ukuran pelat berhingga, maka makin jauh dari pelat makin lemah medan listriknya. 4. Medan Listrik oleh Dua Pelat Sejajar Susunan pelat semacam ini sering dijumpai pada kapasitor. Prinsip yang digunakan adalah prinsip superposisi medan listrik. Medan total di suatu titik merupakan penjumlahan kuat medan yang dihasilkan oleh masing-masing pelat. Misalkan kerapatan pelat adalah � dan � . Masing-masing pelat menghasilkan medan listrik yang konstan ke segala arah yang besarnya � � = � � � = � Kuat medan listrik dimana-mana memenuhi � =� +� Pada penjumlahan tersebut arah harus diperhatikan.

5. Bola Isolator Homogen

Misalkan muatan total bola adalah Q dan jari-jari bola R. Volume bola adalah �=

Kerapatan muatan bola adalah

=

�

=

�

Kebergantungan kuat medan listrik terhadap jarak dari pusat bola berbeda untuk lokasi di dalam dan di luar bola. Pertama, menghitung medan listrik didalam bola, yaitu dengan membuat permukaan Gauss didalam bola. Jari-jari permukaan Gauss dari pusat bola adalah r yang memenuhi rR.

Permukaan Gauss adalah permukaan bola dengan luas �=

Juga arah medan menembus permukaan secara tegak lurus (sejajar vektor luas) sehingga � = ° dan

∑ �� �� cos �� = �� cos ° = �

�

=

�

Jumlah muatan yang dilingkupi permukaan Gauss adalah seluruh muatan bola, karena seluruh bagian bola ada di dalam permukaan Gauss. Dengan demikian, ∑

=

Dengan Hukum Gauss maka :

Atau �=

�=

�

�

6. Bola Konduktor Konduktor adalah bahan yang sangat mudah mengantarkan arus listrik. Penyebabnya adalah karena konduktor mengandung muatan listrik yang mudah bergerak. Jika dalam konduktor muncul medan listrik maka elektron-

elektron dalam konduktor akan mengalir dan timbullah arus listrik. Seberapapun kecilnya konduktor, elektron akan tetap mengalir dan menghasilkan arus. Dengan sifat ini, maka dalam keadaan seimbang dimana tidak ada arus yang mengalir dalam konduktor maka medan listrik dalam konduktor selalu nol. Sebab jika medan listrik tidak nol maka akan muncul arus yang bertentangan dengan kondisi seimbang. Jika pada konduktor diberi muatan listrik, maka muatan tersebut akan tolak menolak karena saling melakukan gaya. Karena muatan mudah sekali bergerak dalam konduktor maka tolak-menolak tersebut menyebabkan muatan bergerak saling menjauhi sampai tidak bisa bergerak lebih jauh lagi. Ini hanya dapat terjadi jika muatan-muatan tersebut menempati permukaan konduktor. Jadi, muatan yang dimiliki konduktor selalu menempati permukaan konduktor. Dalam keadaan seimbang, medan listrik yang dihasilkan konduktor selalu tegak lurus permukaan konduktor. Sebab, jika tidak tegak lurus permukaan konduktor maka medan listrik tersebut akan memiliki komponen yang menyinggung permukaan dan yang tegak lurus permukaan. Komponen medan yang menyinggung permukaan akan menghasilkan gaya pada muatan sehingga bergerak sepanjang permukaan. Akibatnya muncul arus permukaan, dan ini bertentangan dengan kondisi seimbang. Dengan sifat-sifat ini, maka dengan mudah menghitung medan listrik yang dihasilkan oleh bola konduktor yang diberi muatan Q. Misalkan jari-jari bola adalah R. Di dalam bola, yaitu pada r...