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LEY DE GAUSS Una de las leyes más importantes, que forman parte de las leyes de Maxwell, es la ley de Gauss. Esta ley permite encontrar de manera fácil el campo eléctrico, de manera sumamente fácil para cuerpos cargados geométricamente de manera regular. La ley de Gauss tiene una forma diferencial y una forma integral. Forma diferencial de la ley de Gauss Tomando la ley de Gauss en forma integral.

Aplicando al primer termino el teorema de Gauss de la divergencia queda

Como ambos lados de la igualdad poseen diferenciales volumétricas, y esta expresión debe ser cierta para cualquier volumen, solo puede ser que:

Que es la forma diferencial de la Ley de Gauss (en el vacío). Esta ley se puede generalizar cuando hay un dieléctrico presente, introduciendo el campo de desplazamiento eléctrico . de esta manera la Ley de Gauss se puede escribir en su forma más general como

Finalmente es de esta forma en que la ley de gauss es realmente útil para resolver problemas complejos de maneras relativamente sencillas. Forma integral de la ley de Gauss Su forma integral utilizada en el caso de una distribución extensa de carga puede escribirse de la manera siguiente:

donde es el flujo eléctrico, es el campo eléctrico, es un elemento diferencial del área A sobre la cual se realiza la integral,

es la carga total encerrada dentro del área A, es la densidad de carga en un punto de y es la permitividad eléctrica del vacío. Para la aplicación de la ley de Gauss se requiere de la consideración de una superficie imaginaria llamada “superficie Gaussiana”, la cual generalmente tiene la forma de la configuración del cuerpo cargado. Esta superficie tiene que encerrar al cuerpo completamente. El teorema de Gauss afirma que el flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual al cociente entre la carga que hay en el interior de dicha superficie dividido entre ἐ0.

Interpretación La ley de Gauss puede ser utilizada para demostrar que no existe campo eléctrico dentro de una jaula de Faraday. La ley de Gauss es la equivalente electrostática a la ley de Ampère, que es una ley de magnetismo. Ambas ecuaciones fueron posteriormente integradas en las ecuaciones de Maxwell. Esta ley puede interpretarse, en electrostática, entendiendo el flujo como una medida del número de líneas de campo que atraviesan la superficie en cuestión. Para una carga puntual este número es constante si la carga está contenida por la superficie y es nulo si está fuera (ya que hay el mismo número de líneas que entran como que salen). Además, al ser la densidad de líneas proporcionales a la magnitud de la carga, resulta que este flujo es proporcional a la carga, si está encerrada, o nulo, si no lo está. Cuando tenemos una distribución de cargas, por el principio de superposición, sólo tendremos que considerar las cargas interiores, resultando la ley de Gauss. Sin embargo, aunque esta ley se deduce de la ley de Coulomb, es más general que ella, ya que se trata de una ley universal, válida en situaciones no electrostáticas en las que la ley de Coulomb no es aplicable.

Para una línea indefinida cargada, la aplicación del teorema de Gauss requiere los siguientes pasos: 1.-A partir de la simetría de la distribución de carga, determinar la dirección del campo eléctrico. La dirección del campo es radial y perpendicular a la línea cargada. 2.-Elegir una superficie cerrada apropiada para calcular el flujo Tomamos como superficie cerrada, un cilindro de radio r y longitud L.  

Flujo a través de las bases del cilindro: el campo E y el vector superficie S1 o S2 forman 90º, luego el flujo es cero. Flujo a través de la superficie lateral del cilindro: el campo E es paralelo al vector superficie dS. El campo eléctrico E es constante en todos los puntos de la superficie lateral,

El flujo total es, E·2π rL 3. Determinar la carga que hay en el interior de la superficie cerrada. La carga que hay en el interior de la superficie cerrada vale q=l L, donde l es la carga por unidad de longitud. 4.-Aplicar el teorema de Gauss y despejar el módulo del campo eléctrico.

Flujo según ley de Gauss  Magnitud matemática relacionada con el número de líneas de fuerza de un campo E que atraviesa perpendicularmente una superficie A.  Φ=ExA

 La unidad de flujo es newton por metro cuadrado sobre Coulomb  Nxm2/C  Cuando las líneas no van de manera perpendicular a la superficie, se calcula su componente en x o en y según corresponda.  La ley de Gauss desempeña un papel importante dentro de la electrostática y del electromagnetismo por dos razones básicas:  En primer lugar, porque permite calcular de forma simple el campo eléctrico debido a una distribución de cargas cuando esta presenta buenas propiedades de simetría.  En segundo lugar, porque la ley de Gauss constituye una ley básica, no solo de la electrostática, sino del electromagnetismo en general. De hecho, constituye una de las ecuaciones de Maxwell (que son las ecuaciones que permiten describir todos los fenómenos electromagnéticos).  La ley de Gauss es esencialmente una ecuación matemática que relaciona el campo eléctrico sobre una superficie cerrada con la carga eléctrica encerrada en su interior.  La ley de Gauss puede interpretarse cualitativamente de forma simple usando el concepto de líneas de campo. El número de líneas de campo que parten de una carga q es proporcional a dicha carga. De este modo, si una superficie cerrada imaginaria encierra una carga en su interior, el número total de líneas que pasan a través de ella debe ser proporcional a la carga neta en su interior. Además, el número de líneas debe ser independiente de la forma de la superficie que encierra a la carga. Este es esencialmente, desde un punto de vista cualitativo, el significado de la ley de Gauss: el número de líneas de campo que atraviesan una cierta superficie cerrada es directamente proporcional a la carga neta encerrada en su interior. Ley de Gauss: el flujo eléctrico neto a través de una superficie cerrada cualquiera es igual a la carga neta que se encuentra dentro de ella dividida por ἐ0:

Donde Q es la carga neta en el interior de S. Notar los siguientes puntos en relación a la ley de Gauss: Significado físico: la ley de Gauss nos dice que el flujo a través de una superficie cerrada es proporcional a la carga eléctrica Qint encerrada en su interior, el flujo es positivo si la carga es positiva, y negativo si la carga es negativa. De esta manera, lo que nos dice la ley de Gauss es que la carga eléctrica constituye la fuente del flujo eléctrico: las cargas positivas (flujo positivo) son las fuentes y las cargas negativas

(flujo negativo) son los sumideros. Desde un punto de vista cualitativo, dado que el flujo eléctrico a través de una superficie cerrada es una medida del número neto de líneas de campo que pasan a través de dicha superficie (número de líneas que salen menos número de líneas que entran), la ley de Gauss nos dice que el numero neto de líneas de campo que pasan a través de una superficie cerrada es proporcional a la carga neta encerrada en su interior. Por tanto, la carga eléctrica constituye la fuente de las líneas de campo (las cargas positivas son las fuentes, donde nacen las líneas de campo, y las cargas negativas los sumideros, donde terminan las líneas de campo). Resumiendo: lo que nos dice la ley de Gauss es que la carga eléctrica constituye la fuente del flujo eléctrico o, lo que es lo mismo, la fuente de las líneas de campo (las cargas positivas son las fuentes y las cargas negativas son los sumideros). Es importante fijarse en que el campo eléctrico que aparece en la integral de superficie de la ley de Gauss es el campo eléctrico debido a todas las cargas presentes en el problema, tanto a las cargas situadas dentro de la superficie cerrada S sobre la que se calcula el flujo como a las cargas situadas fuera de ella, mientras que el flujo Ø a través de dicha superficie solo depende de la carga en su interior. Notar que, si cambiamos la posición de las cargas dentro o fuera de S, o añadimos más cargas fuera de S, aunque el valor del campo E en cada punto de la superficie S varía, si mantenemos la misma carga neta dentro de la superficie, el flujo a través de S sigue siendo el mismo e igual a la carga total dentro de S dividida por ἐ0. El flujo a través de una superficie cerrada solo depende de la carga dentro de ella; no depende de la forma de la superficie, ni de la posición de las cargas dentro de ella, o del número y posición de las cargas fuera de S, siempre y cuando mantengamos la misma carga neta dentro de S. Deducción de la ley de Gauss a partir de la ley de Coulomb Este teorema aplicado al campo eléctrico creado por una carga puntual es equivalente a la ley de Coulomb de la interacción electrostática.

La ley de Gauss puede deducirse matemáticamente a través del uso del concepto de ángulo sólido, que es un concepto muy similar a los factores de vista conocidos en la transferencia de calor por radiación. El ángulo sólido que es subtendido por sobre una superficie esférica, se define como

siendo el radio de la esfera. como el área total de la esfera es el ángulo sólido para ‘’toda la esfera’’ es:

la unidad de este ángulo es el estereorradián (sr) Si el área no es perpendicular a las líneas que salen del origen que subtiende a , se busca la proyección normal, que es:

Si se tiene una carga "q" rodeada por una superficie cualquiera, para calcular el flujo que atraviesa esta superficie es necesario encontrar para cada elemento de área de la superficie, para luego sumarlos. Como la superficie que puede estar rodeando a la carga puede ser tan compleja como quiera, es mejor encontrar una relación sencilla para esta operación:

De esta manera es el mismo ángulo sólido subentendido por una superficie esférica. cómo se mostró un poco más arriba para cualquier esfera, de cualquier radio. de esta forma al sumar todos los flujos que atraviesan a la superficie queda:

que es la forma integral de la ley de Gauss. La ley de Coulomb también puede deducirse a través de Ley de Gauss. Flujo de campo eléctrico El flujo del campo eléctrico se define de manera análoga al flujo de masa. El flujo de masa a través de una superficie S se define como la cantidad de masa que atraviesa dicha superficie por unidad de tiempo.

El campo eléctrico puede representarse mediante unas líneas imaginarias denominadas líneas de campo y, por analogía con el flujo de masa, puede calcularse el número de líneas de campo que atraviesan una determinada superficie. Conviene resaltar que en el

caso del campo eléctrico no hay nada material que realmente circule a través de dicha superficie.

Como se aprecia en la figura anterior, el número de líneas de campo que atraviesan una determinada superficie depende de la orientación de esta última con respecto a las líneas de campo. Por tanto, el flujo del campo eléctrico debe ser definido de tal modo que tenga en cuenta este hecho. Una superficie puede ser representada mediante un vector dS de módulo el área de la superficie, dirección perpendicular a la misma y sentido hacia afuera de la curvatura. El flujo del campo eléctrico es una magnitud escalar que se define mediante el producto escalar:

Cuando la superficie es paralela a las líneas de campo (figura (a)), ninguna de ellas atraviesa la superficie y el flujo es por tanto nulo. E y dS son en este caso perpendiculares, y su producto escalar es nulo. Cuando la superficie se orienta perpendicularmente al campo (figura (d)), el flujo es máximo, como también lo es el producto escalar de E y dS. Ley de Gauss El flujo del campo eléctrico a través de cualquier superficie cerrada es igual a la carga q contenida dentro de la superficie, dividida por la constante ε0. La superficie cerrada empleada para calcular el flujo del campo eléctrico se denomina superficie gaussiana. Matemáticamente

La ley de Gauss es una de las ecuaciones de Maxwell, y está relacionada con el teorema de la divergencia, conocido también como teorema de Gauss. Fue formulado por Carl Friedrich Gauss en 1835. Para aplicar la ley de Gauss es necesario conocer previamente la dirección y el sentido de las líneas de campo generadas por la distribución de carga. La elección de la superficie gaussiana dependerá de cómo sean estas líneas. Campo creado por un plano infinito El campo eléctrico creado por un plano infinito cargado puede ser calculado utilizando la ley de Gauss. En la siguiente figura se ha representado un plano infinito cargado con una densidad superficial de carga σ (= q/S) uniforme y positiva. Las líneas de campo siempre salen de las cargas positivas, por lo que el campo creado por el plano será uniforme (ya que la densidad de carga lo es) y sus líneas irán hacia afuera de ambos lados del plano.

El flujo del campo eléctrico a través de cualquier superficie cerrada es siempre el mismo (ley de Gauss); en este caso, por simplicidad de cálculo, se ha elegido una superficie gaussiana cilíndrica (representada en rojo en la figura). El flujo a través de la superficie lateral del cilindro es nulo (ninguna línea de campo la atraviesa). Las únicas contribuciones no nulas al flujo son las que se producen a través de sus dos bases. El flujo del campo eléctrico a través del cilindro es entonces:

Como las dos bases del cilindro son iguales y el módulo del campo es el mismo en todos los puntos de su superficie, la integral anterior se simplifica, quedando:

El valor del flujo viene dado por la ley de Gauss:

Y q/S es la densidad superficial de carga σ:

Al igual que para el campo eléctrico, existe una ley de Gauss para el magnetismo, que se expresa en sus formas integral y diferencial como

Esta ley expresa la inexistencia de cargas magnéticas o, como se conocen habitualmente, mono polos magnéticos. Las distribuciones de fuentes magnéticas son siempre neutras en el sentido de que posee un polo norte y un polo sur, por lo que su flujo a través de cualquier superficie cerrada es nulo. En el hipotético caso de que se descubriera experimentalmente la existencia de mono polos, esta ley debería ser modificada para acomodar las correspondientes densidades de carga, resultando una ley en todo análoga a la ley de Gauss para el campo eléctrico. La Ley de Gauss para el campo magnético quedaría como

donde densidad de corriente de Faraday

, la cual obliga a modificar la ley

Algunas aplicaciones de la ley de Gauss Distribución lineal de carga Sea una recta cargada a lo largo del eje z. Tomemos como superficie cerrada un cilindro de radio r y altura h con su eje coincidente al eje z. Expresando el campo en coordenadas cilíndricas tenemos que debido a la simetría de reflexión respecto a un plano z=cte el campo no tiene componente en el eje z y la integración a las bases del cilindro no contribuye, de modo que aplicando la ley de Gauss:

Debido a la simetría del problema el campo tendrá dirección radial y podemos sustituir el producto escalar por el producto de módulos (ya que la dirección de la superficie lateral también es radial).

Despejando el campo y añadiendo su condición radial obtenemos:

Distribución esférica de carga Considérese una esfera uniformemente cargada de radio R. La carga existente en el interior de una superficie esférica de radio r es una parte de la carga total, que se calcula multiplicando la densidad de carga por el volumen de la esfera de radio r: Si Q es la carga de la esfera de radio R, entonces, tiene:

se

Dividiendo miembro a miembro ambas expresiones y operando apropiadamente:

Como se demostró en una sección anterior y teniendo en cuenta que según la ley de Gauss

Por lo tanto, para puntos interiores

Y para puntos exteriores:

, se obtiene:

de la esfera:

Densidad de carga eléctrica Una de las aplicaciones directas de la Ley de Gauss es el poder considerar que la carga eléctrica de un conductor eléctrico esta distribuida uniformemente sobre su superficie. Gauss considero para sus estudios experimentales que el campo eléctrico es uniforme en cualquier punto a la misma distancia alrededor del cuerpo electrizado, y que para ello necesariamente el cuerpo debería tener una distribución de carga eléctrica uniforme, y entonces definió el concepto de Densidad de carga eléctrica (s) como: La carga total (q) por unidad de área (A) de la superficie del cuerpo electrizado, representado por la ecuación 1.14.

Con los resultados obtenidos por Gauss se facilitó la resolución de problemas y la explicación de fenómenos originados por cargas eléctricas estáticas, pero también es válida de aplicarse bajo ciertas condiciones se el análisis de algunos fenómenos por cargas eléctricas en movimiento. Campo en el interior de un condensador Un condensador o capacitor es un dispositivo formado por dos conductores (denominados armaduras), generalmente con forma de placas, cilindros o láminas, separados por el vacío o por un material dieléctrico (no conduce la electricidad), que se utiliza para almacenar energía eléctrica. La forma más sencilla de un condensador consiste en dos placas metálicas muy cercanas entre sí con cargas q en una y -q en la otra. Este tipo de condensador se denomina plano-paralelo. El módulo del campo eléctrico creado por cada una de las placas del condensador, como se ha visto en el ejemplo anterior, viene dado por:

Las líneas del campo eléctrico creado por la placa cargada positivamente están dirigidas hacia fuera de la misma, lo contrario que ocurre para la placa con carga negativa.

Por tanto, en el exterior del condensador el campo es nulo y en el interior su módulo es el doble del campo que crearía una sola de las placas:

Los condensadores se utilizan en circuitos electrónicos como dispositivos para almacenar energía. El primer condensador fue fabricado en 1746, y estaba constituido por un recipiente de vidrio recubierto por una lámina metálica por dentro y por fuera. Se conoce comúnmente como botella de Leiden. La ley de Gauss permite calcular de forma simple el campo eléctrico debido a distribuciones de carga con alto grado de simetría, particularmente para distribuciones de carga con simetría esférica, cilíndrica o plana. Definiremos una superficie gaussiana como cualquier superficie cerrada imaginaria que empleamos en la ley de Gauss para calcular el campo eléctrico debido a una cierta distribución de cargas. Para aplicar la ley de Gauss al cálculo del campo eléctrico debido a una cierta distribución de cargas con propiedades de simetría adecuadas es aconsejable seguir el siguiente procedimiento: 1. Seleccionar una superficie gaussiana que tenga las siguientes propiedades: a) la superficie debe tener la misma simetría que la correspondiente distribución de carga; b) en cada punto de la superficie, E debe ser normal o tangencial a la superficie; c) en todos los puntos en los que E es normal a la superficie, E debe tomar un valor constante. Los casos mas frecuentes son: i.

para cargas puntuales o distribuciones de carga con simetría esférica, debe elegirse como superficie gaussiana una esfera centrada en la carga o cuyo centro coincida con el centro de la distribución de carga;

ii.

para líneas de carga o cilindros uniformemente cargados, debe elegirse una superficie cilíndrica coaxial con la línea de carga o cilindro; iii. para planos (o láminas) cargados que tienen simetría plana, debe elegirse como superficie gaussiana un cilindro pequeño simétrico con el plano. 2. Calcular el flujo Ø a través de dicha superficie. 3. Calcular la carga total Qint dentro de la superficie, y usar ley de Gauss, Ø = Qint/ἐ0, para obtener el campo E. Los conductores son materiales en los que los portadores de carga se mueven libremente. Si un conductor se encuentra en equilibrio electrostático, la fuerza sobre los electrones libres en el interior del conductor debe desaparecer. Las consecuencias de esto son: 1. En el interior del conductor, ...