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Ley de Gauss DANIEL ENRIQUE ARELLANO SERNA OMAR ADRIÁN ORDEÑANA HERRERA  Resumen- El flujo eléctrico a través de un área, se define como el campo eléctrico multiplicado por el área de la superficie proyectada sobre un plano perpendicular al campo. La ley de Gauss es una ley general, que se aplica a cualquier superficie cerrada. Es una herramienta importante puesto que nos permite la evaluación de la cantidad de carga encerrada, por medio de una cartografía del campo sobre una superficie exterior a la distribución de las cargas. Para geometrías con suficiente simetría, se simplifica el cálculo del campo eléctrico.

CARLOS DANIEL DÁVILA GONZÁLEZ JOSÉ OSVALDO NORIEGA MARTÍN La ley de gauss constituye una de las leyes fundamentales de la teoría electromagnética. Se trata de la relación entre la carga encerrada en una superficie y el flujo de su campo eléctrico, a través de la misma. La ley de gauss nos dice que: “El flujo de campo eléctrico a través de cualquier superficie cerrada (gaussiana), es igual a la carga neta encerrada, por la misma, entre la constante .”

I. INTRODUCCIÓN

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n saludo querido lector, después de una ardua investigación, en este ensayo explicaremos lo que el físico-matemático, Carl Friedrich Gauss explica en su ley que relaciona el campo eléctrico con sus cargas. Nació en la ciudad de Brunswick, al norte de Alemania, el 30 de abril de 1777, de una familia de bajos recursos y un padre que se oponía a su educación, esto sin ser un impedimento para sobresalir del resto de los chicos que estaban en su clase, con una forma muy peculiar de analizar el porqué de las cosas que lo lleva a hacer una de las más grandes aportaciones que ha tenido la electrostática en el siglo XIX.

Siendo el flujo eléctrico que pasa a través de la superficie. Una superficie gaussiana es una superficie cerrada en un espacio tridimensional a través del cual se calcula el flujo de un campo vectorial. Las unidades del flujo eléctrico son:

II. MARCO TEÓRICO Antes de comenzar existen conceptos que es necesario comprender para entender el tema en su totalidad. Campo eléctrico: el campo eléctrico es un campo físico que describe la interacción de cuerpos de naturaleza eléctrica cuando entran en contacto con él. = campo eléctrico; = diferencial de superficie Líneas de campo: son líneas imaginarias que ayudan a visualizar cómo va variando Cuando las cargas son iguales el número de líneas que salen es el mismo que las que entran, pero cuando no lo son, el número de líneas es totalmente proporcional a la dirección del campo eléctrico al pasar de un punto a otro en el espacio. = carga encerrada por la superficie (incluye ambas cargas, la libre y la carga la carga neta dentro de la superficie. superficial) = permitividad del vacío, equivale a

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III. DESARROLLO La ley de gauss es muy útil para situaciones donde existe mucha simetría para saber dónde E es constante y cuál es su dirección. Debemos seleccionar una superficie cerrada en la cual E sea constante o donde el flujo sea cero (E perpendicular a la superficie). Entonces para aplicar la ley de gauss debemos de: Identificar el campo eléctrico y representarlo con líneas de campo.  En los casos de cargas estáticas en sólidos, el campo eléctrico tiene dirección perpendicular a la superficie. Seleccionar una superficie gaussiana de acuerdo a la simetría de la superficie.  Que pase por los puntos donde se desea conocer la magnitud de E.  Que sea cerrada.  Que E sea constante en cualquier punto de la superficie.  Que E sea paralelo a la superficie en las partes donde no es constante.

Sabemos que no existen líneas infinitas pero el resultado que se obtiene es una aproximación decente al caso de puntos que quedan cerca de una línea de carga finita. En este caso con un punto y una línea la única dirección que tenemos definida es la dirección radial, por lo tanto, E tiene que ser en esa dirección. Nuestra superficie gaussiana tiene dos lados y dos “tapas”. En las tapas E no es constante, pero es perpendicular a la superficie por lo tanto la integral sobre ellas es cero, la integral sobre los dos lados restantes es entonces tendremos que determinar la carga dentro de la superficie. En este caso es donde es la densidad lineal de carga. Así que la ecuación de gauss se convierte en este problema en resolviendo E tenemos que

Donde r = la distancia perpendicular de la línea de carga al punto Para una línea infinita, con densidad lineal de carga uniforme, el campo eléctrico La integral lleva directo a una expresión algebraica que contiene E. Calcular la carga encerrada por la superficie (en ocasiones sea necesario calcularla en cualquier punto p, es perpendicular a la línea de carga y de magnitud. a partir de alguna densidad, como lo es en el caso de los cilindros). Después de cumplir con todos estos pasos podremos aplicar la ley de gauss. IV. APLICACIONES

Una línea recta e infinita de carga: Distribución de carga en un plano infinitamente largo:

La línea de carga es infinitamente larga. Por consiguiente, el campo es el mismo en La carga se distribuye de manera uniforme en el plano, la distribución de carga es todos los puntos equidistantes de la línea. simétrica, así que podemos usar la ley de gauss para encontrar el campo eléctrico.

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Por simetría, E debe ser perpendicular al plano en todos los puntos. Puntos que quedan en planos paralelos están equidistantes al plano y tienen un campo E de la misma magnitud. El flujo a través de la superficie curva es cero y el flujo es EA a través de cada extremo de la superficie gaussiana. Como son dos extremos tenemos que: Resolviendo para

Pero nos encontramos con que el vector unitario y el campo eléctrico van en la misma dirección por lo tanto el ángulo que forman es de 0 grados, entonces tenemos que el coseno de 0 grados es igual a 1. Gracias a que con el producto punto multiplicamos por el ángulo formado, el campo eléctrico deja de ser un vector como tal y nos queda una magnitud, entonces si sustituimos lo antes explicado nos queda que:

densidad de carga superficial. Distribución de carga con simetría esférica: Resolviendo la integral de la superficie:

Bien, ahora tenemos la fórmula para calcular el área de una esfera: Sustituimos: Y también tenemos que la constante Teniendo así que:

En este tipo de superficies el flujo neto es independiente de su radio y se nos pueden presentar dos tipos cálculos para el campo eléctrico dependiendo donde se encuentre el punto. a) Cuando tenemos un punto fuera de la esfera como se muestra en la imagen de la izquierda. b) cuando tenemos un punto dentro de la esfera como se ve en la imagen de la derecha.

Recordemos que esta forma es para calcular el campo eléctrico fuera de la esfera, veamos cual es el cálculo correspondiente si queremos conocer el campo eléctrico en un punto dentro de la esfera. b): cuando tenemos un punto situado en un radio menor al radio de la esfera, aplicamos la ley de gauss tomando en cuenta una superficie gaussiana esférica con radio menor al de la superficie. Calcule q usando , siendo V´ el volumen de la esfera más pequeña. Resolviendo en la integral tenemos que:

Para el caso a): cuando tenemos un punto situado en un radio mayor al radio de la esfera aplicamos la ley de gauss.

Aquí tenemos una multiplicación de vectores, se dice vector porque tienen una magnitud y un sentido, esta multiplicación puede resolverse con el producto punto, que nos dice que ; siendo

es igual a ” el ángulo que forman ambos vectores.

Resolviendo la multiplicación que teníamos en la formula tenemos que:

Ahora sustituimos

y

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Tenemos bien que Este resultado muestra que conforme . Por lo tanto, el resultado elimina el problema cuando el radio vale 0. Conclusiones: La ley de gauss es una de las ecuaciones de Maxwell para el campo eléctrico. Al usar la ley de gauss se puede calcular el campo eléctrico debido a varias distribuciones de carga simétricas. Gracias a esto podemos utilizar la ley de gauss para obtener la ley de coulomb y también podemos utilizar la ley de coulomb para obtener la ley de gauss, ya que con la ley de gauss se comprueba que una partícula tiene un campo eléctrico radial y su comportamiento es muy similar al de una esfera, por lo tanto, estas son esféricas. Es una forma de facilitar el cálculo del campo eléctrico y conocer el comportamiento del flujo eléctrico y se aplica en cualquier superficie cerrada. Los cálculos van a variar dependiendo con la superficie que se trabaje y teniendo en cuenta que se utilice en un conductor en equilibrio electrostático, gracias a la ley de gauss podremos conocer el valor de la perturbación (campo eléctrico) que causa en el exterior el conductor cargado.

REFERENCIAS [1] Física Volumen 2; Robert Resnick, David Halliday, Kenneth S. Krane, Cuarta edición 2002, Editorial Continental. [2] "Electrostática. Ley de Gauss", Www2.montes.upm.es, 2019. [Online]. http://www2.montes.upm.es/dptos/digfa/cfisica/electro/gauss.html. [05Feb2019]. [3] “Producto Punto y Cruz", Compilando Conocimiento, 2019. [Online]. https://compilandoconocimiento.com/2016/12/16/producto-punto-y-cruz/. [05Feb- 2019]....