Ley de Gauss, monografía PDF

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En física la ley de Gauss, relacionada con el Teorema de la divergencia o Teorema de Gauss, ​ establece que el flujo de ciertos campos a través de una superficie cerrada es proporcional a la magnitud de las fuentes de dicho campo que hay en el interior de la misma superficie....

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FÍSICA III

INGENIERÍA AMBIENTAL

ÍNDICE

I. Introducción …………………………………………………..2 II. 1. 2. 3.

Marco teórico………………………………………………….3 Flujo de campo eléctrico ……………………………………...3 Ley de Gauss…………………………………………………..6 Ejemplos………………………………………………………11

III. Conclusiones………………………………………………….16

IV. Referencias Bibliográficas……………………………………17

V. Anexos………………………………………………………...17

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I.

INTRODUCCIÓN

Johann Carl Friedrich Gauss, fue un matemático, astrónomo, y físico alemán que contribuyó significativamente en muchos más ámbitos. En el caso de la física uno de sus aportes más importantes y reconocidos en la electrostática fue la Ley de Gauss o también conocida como “Teorema de Gauss”, esta ley tiene una forma diferencial y una forma integral, permitiendo establecer una relación entre el flujo eléctrico que atraviesa una superficie cerrada y la carga eléctrica interna. En el presente trabajo monográfico se habló de la Ley de Gauss en su forma integral. La investigación se desarrolló con el objetivo de profundizar y comprender los conceptos básicos del flujo del campo eléctrico y por ende la ley de Gauss, para luego poder identificar sus aplicaciones y formar la base para resolver los ejercicios relacionados. Para poder tener conocimiento de esto, primero se conceptualizó el flujo del campo eléctrico y se explicó con un poco más de profundidad a la ley de Gauss y sus aplicaciones, además de proponer y resolver algunos ejercicios para reforzar el tema.

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II.

MARCO TEÓRICO

1. Flujo del campo eléctrico El flujo del campo eléctrico se define de manera análoga al flujo de masa. El flujo de masa a través de una superficie S se define como la cantidad de masa que atraviesa dicha superficie por unidad de tiempo (Martin, T. & Serrano, A.). El flujo eléctrico se relaciona con el número de líneas de campo que atraviesan una superficie. El campo eléctrico se representa por las líneas de campo, y por analogía con el flujo de masa. Se puede calcular el número de líneas de campo que atraviesan una superficie.

Fig ura 1: Representaciones de las superficies con las líneas de campo

El vector dS representa a una superficie, con módulo del área de la superficie, dirección perpendicular a la misma y sentido hacia afuera de la curvatura. El flujo de campo eléctrico se define como el producto escalar del vector campo E en dicho punto por el vector elemento de área dS. Las unidades de flujo eléctrico en el sistema internacional son Nm2/C.

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Φ=∫  E d S S

Figura 2: Definición integral de la Ley de Gauss

1.1.

Acotaciones sobre el flujo de campo eléctrico  Si la superficie es paralela a las líneas de campo, el flujo es nulo, E y dS son perpendiculares, y su producto escalar es cero.  Cuando la superficie es perpendicular al campo, el flujo es máximo, así como el producto escalar de E y dS  El flujo eléctrico es una cantidad escalar y su signo depende de si entra o sale de la superficie.

Figura 3: Flujo eléctrico positivo y negativo en una superficie cilíndrica

El flujo eléctrico en la superficie de

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S 1 es negativo, ya que las líneas

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campo entran a la superficie. En cambio, el flujo eléctrico en la superficie S 2 es positivo porque las líneas de campo salen de la superficie.

1.2.

Flujo de campo eléctrico total

En una Superficie Gaussiana el flujo infinitesimal E es constante en una superficie dS es: d Φ=  E d S Para calcular el flujo total se debe integrar a toda la superficie, quedando: Φ=∮  E d S Expresado en Nm2/C.

1.3.

Ejemplo:  Calcular

Φ a través de un hemisferio de radio R. El campo

E es uniforme y paralelo al eje de la semiesfera.

Solución Tomando la superficie al mismo hemisferio más la tapa de la base y considerando que Φ en una superficie cerrada es cero cuando no existen fuentes ni sumideros dentro de la superficie cerrada.

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Entonces el flujo eléctrico a través de la superficie del hemisferio es numéricamente igual al flujo eléctrico a través de la tapa de la base (circulo de radio R).

Por fórmula: Φ=∮  E d S Se observa que

 E

y d S

tienen la misma dirección, se

reemplaza en la ecuación inicial: Φ=E∮ d S=E ( π R2 ) 2. Ley de Gauss 2.1. Concepto La ley de Gauss es una ecuación matemática que relaciona al campo eléctrico, sobre una superficie cerrada con la carga eléctrica encerrada en su interior. Permite calcular de forma simple el campo eléctrico debido a una distribución de cargas cuando presenta buenas propiedades de simetría. En general es una ley básica de la electrostática y del electromagnetismo, además es la base de una de las ecuaciones de Maxwell (que permite describir todos los fenómenos electromagnéticos). La ley de Gauss deriva del concepto de flujo del campo eléctrico y puede interpretarse cualitativamente usando el concepto de líneas de campo. Esto se establece: “El número neto de líneas de campo que sale por cualquier superficie que encierra las cargas es proporcional a la carga encerrada dentro de dicha superficie”.

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Figura 4: Líneas de campo

2.2.

Definición matemática

La ley de Gauss se aplica a cualquier superficie hipotética cerrada, llamada también “Superficie Gaussiana”, esta no es una superficie real sino una matemática. La ley simplifica los cálculos de campo eléctrico en casos de gran simetría y establece una relación entre Φ

para la superficie y carga encerrada por la superficie

gaussiana. Matemáticamente el flujo neto a través de una superficie cerrada es igual a la carga neta que está dividida por

ε 0 , es decir:

Q∫ ¿ ε0  d S =¿ Φ=∮ E En donde: -

∫¿

-

ε 0 : constante

-

d S : vector perpendicular a la superficie

Q¿

: es la carga interior o encerrada de S.

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En cuanto a su significado físico, la ley de Gauss nos dice que el flujo a través de una superficie cerrada es proporcional a la carga interna encerrada en su interior, como se muestra: Q∫ ¿ ε0 Φ=¿ El flujo es positivo si la carga es positiva, y negativo si la carga es negativa. Es así que las cargas positivas (flujo positivo) son las fuentes y las cargas negativas (flujo negativo) son los sumideros.

2.2.1. Observaciones  El campo eléctrico se da debido a todas las cargas presentes, tanto a las cargas situadas dentro de la superficie cerrada S como a las cargas situadas fuera de ella, mientras que el flujo Φ a través de dicha superficie solo depende de la carga en su interior.  Si se cambia la posición de las cargas dentro o fuera de S, o se añaden más cargas fuera de S, o si se mantiene la misma carga neta dentro de la superficie; el flujo a través de S sigue siendo el mismo e igual a la carga total dentro de S dividida por

ε0 .

 El flujo a través de una superficie cerrada solo depende de la carga neta dentro de S. 2.3.

Recomendaciones para la ley de Gauss  Al escoger la Superficie Gaussiana se debe tener en cuenta la simetría de la distribución de carga, para poder evaluar fácilmente la integral de superficie.  Se puede establecer el ángulo formado por

 E y ⅆ S

dibujando dichos vectores.  La carga neta encerrada se considera con su respectivo signo. 2.4.

Procedimiento para aplicar la ley de Gauss 2

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Para empezar, se debe seleccionar la Superficie Gaussiana, con las siguientes propiedades:  La simetría de la superficie debe ser la misma que a la distribución de cargas. La superficie gaussiana para cargas puntuales o distribuciones de carga con simetría esférica, debe ser una esfera centrada en la carga o cuyo centro coincida con el centro de la distribución de carga. La superficie para líneas de carga o cilindros uniformemente cargados, es una cilíndrica coaxial con la línea de carga. Para planos cargados, debe elegirse como superficie gaussiana un cilindro pequeño˜ simétrico con el plano.  En cada punto de la superficie, E debe ser tangencial a la superficie.  En todos los puntos que E es perpendicular a la superficie, toma valores constantes. Posteriormente, se debe calcular el flujo Φ a través de dicha superficie, para luego calcular la carga total interna dentro de la superficie, usando la ley de Gauss, así como también el campo E. 2.5.

Aplicaciones

La ley de Gauss es una herramienta fundamental para el cálculo de los campos eléctricos cuando son originados por una distribución de cargas con suficiente simetría para poderse aplicar. 2.5.1. Campo eléctrico producido por una carga puntual A partir de la ley de Gauss se puede determinar el campo eléctrico debido a una carga puntual aislada “q”.

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Figura 5: Campo eléctrico de la carga q

Para cada punto de la superficie, E es perpendicular a ellos, por lo tanto, los vectores E y dA son paralelos. De la relación, se establece que:

Φ=∫ EdA=∫ EdAcos 0 °=∫ EdA=E∫ dA = EA Para una esfera

A=4 π r

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Q∫ ¿ 2

Φ=E(4 π r ) , además:

Q∫ ¿ ε0

2

=E(4 π r ) ¿

Ke

Q∫ ¿ r2

Q∫ ¿ ε 0 4 π r2 E=¿ Ke

ε0 Φ=¿

=¿

Q∫ ¿

r2 E=¿

2.5.2. Campo eléctrico producido por una esfera conductora

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2.5.2.1.

Campo en un punto fuera de la esfera Este caso, es equivalente a una carga puntual ubicada en el centro de la esfera.

Figura 6: Esfera gaussiana de radio r

Se sabe que:

Ke

Q∫ ¿

r2 E=¿

Si el punto está sobre la superficie, el campo se mide por la expresión: Ke

Q∫ ¿ 2

a E=¿

2.5.2.2.

Campo en punto dentro de la esfera En este caso, E es cero o nulo ya que el flujo de campo eléctrico también es cero, ya que los materiales conductores guardan su carga sobre su superficie.

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Figura 7: Esfera gaussiana de radio a Entonces se establece:

Φ=

0 =0 ε0

2.5.3. Campo eléctrico producido una placa cargada uniformemente Si se tiene una placa cargada uniformemente en un punto cuya distancia es despreciable con respecto a su tamaño, cuya densidad superficial de carga es σ. El campo eléctrico se obtiene: E=

σ 2 ε0

3. Ejemplos 3.1.1. Una red para cazar mariposas se encuentra en un campo eléctrico uniforme, como se muestra en la figura. El aro de la red, que es un círculo de radio "a", es perpendicular al campo. Determinar el flujo eléctrico a través de la red.

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Solución: Se sabe que, el flujo eléctrico en una superficie cerrada es igual a cero cuando no hay fuentes ni sumideros. Entonces: el flujo eléctrico a través de la red es numéricamente igual al flujo en el aro de la red. Por lo tanto: Φ=∮  E d S Como, ⅆ S

es paralela a

 E , nos queda:

Φ=E∮ d S =E(π a2 )

3.1.2. Calcular

Φ en un cilindro de tal forma que su eje sea

perpendicular al campo eléctrico, E.

Solución Sabemos: Q∫ ¿ ε0 Φ=¿ La carga interna no existe, por lo tanto: Φ=0

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3.1.3. Un conductor esférico aislado de 0,16 m de radio tiene una distribución de carga uniforme en todo su volumen y produce un campo eléctrico de 1150N/C apenas fuera de su superficie. Calcular:

a) La carga del conductor b) El campo eléctrico a una distancia de 0.5m de su centro.

E=1150 N /C

Para a), pide calcular Q, por la fórmula: Q∫ ¿ ε0 ∮ E d S =¿ Desarrollando el producto

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Edcos ( θ) =

Q∫ ¿ ε0

∮¿ dS=

Q∫ ¿ ε0

E∮ ¿ E tiene el mismo valor en toda la Superficie Gaussiana

∮ dS=4 π R2 Q∫ ¿ ε0 E 4 π R2=¿

∫¿ E 4 π R2 ε 0=Q ¿ 2

∫ ¿=4 π (0.16 m ) 2 (1150 CN )(8.854 × 10−12 CN Q¿

∫ ¿=3.276 ×10−9 C Q¿ Para b), pide E:

Q∫ ¿ ε0 ∮ E d S =¿ Edcos ( θ) =

Q∫ ¿ ε0

∮¿ 2

.m 2 )

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dS=

Q∫ ¿ ε0

E∮ ¿

∮ dS=4 π R2 Q∫ ¿ ε0 E 4 π R2=¿ Q∫ ¿ ε 0 4 π R2 E=¿ 0.5 m ¿ ¿ 4π¿ 3.27 6 ×10−9 E= ¿ E=117.775 N /C

3.1.4. Las componentes del campo eléctrico en la figura son 1

1 /2 E x =b . x , E y =E Z =0, en donde b=800 N /(c .m 2 ) .

Calcular: El flujo

Solución

Por fórmula: Φ=∮  E d S 2

Φ a través del cubo

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Se tiene: E 1

(¿ ¿ x ; E y ; E z )=(b x 2 ; 0 ; 0)  E =¿ 1

∂ ∂ ∂ ∇ ; )(b x2 ; 0 ; 0) ; E=( ∂x ∂ y ∂t b −1/ 2 ∇ E= x 2

Por la ley de Gauss: Φ=∮  E⋅ⅆ v E d S =∭ ∇ ∇ a a

Reemplazando:

Φ=

2a b [2 x ]a dy . dz ∫ ∫ 2 0 0

b 2 Φ= (2 √2 a−2√ a)a 2 b Φ= (2 √2−2)a5 /2 2 2

Φ=1.047 N . m / C

III.

CONCLUSIONES  El flujo de campo eléctrico es la base para la ley de Gauss y esta da idea de la cantidad de campo eléctrico (líneas imaginarias), es decir es la medida del número de líneas de campo que atraviesan cierta superficie.  La ley de Gauss, se aplica únicamente a superficies cerradas con cargas internas.  Existen varias aplicaciones para resolver ejercicios sobre la ley de Gauss, pero los principales establecidos son; en cargas puntuales, esferas y placas.

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IV.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

FísicaLab. (s.f.). Teorema de Gauss. https://www.fisicalab.com/apartado/teorema-gauss

Espiral ciencias. (14 de mayo del 2020). Ley de Gauss- Ejercicio básico para comprender. [Archivo de Vídeo]. https://www.youtube.com/watch? v=sSfs2xeNWxs

Monge, M. & Savoni, B. (2020). Distribuciones continuas de carga: Ley de Gauss. Universidad Carlos III de Madrid. http://ocw.uc3m.es/fisica/fisica-ii/clases/OCW-FISII-Tema02.pdf

Paco, J. (2020). Capítulo III: Ley de Gauss. Universidad Autónoma Juan Misael Saracho. http://www.uajms.edu.bo/ddf/wpcontent/uploads/sites/17/2018/02/CAP-III-LEY-DE-GAUSS.pdf

Martín, T. & Serrano, A. (s.f.). Flujo del campo eléctrico: Ley de Gauss. Electrostática.https://www2.montes.upm.es/dptos/digfa/cfisica/electro/ga uss.html V.

ANEXOS

Anexo Nº1: Johann Carl Friedrich Gauss

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Anexo Nº2: Flu

Anexo Nº3: Cargas puntuales positivas y negativas

Anexo Nº4: Ley de Gauss

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