Ilmu Segitiga Bola PDF

Preview

Summary

KONFIDENSIAL MARKAS BESAR ANGKATAN LAUT AKADEMI PAKET INSTRUKSI ILMU SEGITIGA BOLA BUMIMORO, TH. 2011 i KONFIDENSIAL KONFIDENSIAL LEMBAR PERUBAHAN BAB CATATAN No PERIHAL TANGGAL HALAMAN INSTRUKTUR PARAF ii KONFIDENSIAL KONFIDENSIAL KATA PENGANTAR Puji syukur ke hadirat Allah SWT yang atas limpahan k...

Description

KONFIDENSIAL

MARKAS BESAR ANGKATAN LAUT AKADEMI

PAKET INSTRUKSI ILMU SEGITIGA BOLA

BUMIMORO,

TH. 2011

i KONFIDENSIAL

KONFIDENSIAL

LEMBAR PERUBAHAN

No

BAB HALAMAN

PERIHAL

TANGGAL

ii KONFIDENSIAL

CATATAN INSTRUKTUR PARAF

KONFIDENSIAL

KATA PENGANTAR

Puji syukur ke hadirat Allah SWT yang atas limpahan karunia Nya penyusun diberi kesempatan untuk menyelesaikan buku Paket Instruksi ini. Buku ini disusun agar dapat dipergunakan sebagai bahan bacaan utama dan latihan Kadet tentang mata kuliah Segi Tiga Bola. Materi disusun sesuai urutan mulai dari pengertian dasar ilmu ukur segitiga bola, rumus-rumus penting segitiga bola, penggunaan ilmu ukur segitiga bola pada bola bumi, proyeksi orthografik dan penggunaan dalam perbintangan. Penyusun mengucapkan terima kasih atas dorongan dan dukungan semua pihak sehingga buku ini dapat diselesaikan.

Kritik dan saran untuk perbaikan akan diterima

dengan senang hati. Akhirnya

semoga

buku

ini

bermanfaat

bagi

Kadet

untuk

mencapai

profesionalitasnya dalam pembelajaran untuk menjadi seorang Perwira. Amiin.

Bumimoro, Penyusun

iii

KONFIDENSIAL

2011

KONFIDENSIAL

DAFTAR ISI

LEMBAR PERUBAHAN...…….……………………………………………………….……

i

KATA PENGANTAR ……...….……………………………………………………..………

ii

DAFTAR ISI.............………….……………………………………………………...……… iii RENCANA PENGAJARAN.....…...…………………………………………………..……

BAB I

PENGERTIAN DASAR ILMU UKUR SEGITIGA BOLA …..………… 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

BAB II

BAB III

BAB IV

iv

1

Definisi Dasar ………...............………………………….…………… 1 Segidua Bola …….………....……………………………….…………. 4 Segitiga Bola …….………………………………………….…………… 6 Luas Segitiga Bola .……………………………………….......………. 11 Sifat sudut segitiga bola ……………………………………………… 12 Sifat sisi segitiga bola ………....……...……………………………… 13 Kesamaan dan Kesebangunan .......………...……………..……..…… 15 Latihan …………….....………………………………………..…….…. 20

RUMUS-RUMUS PENTING SEGITIGA BOLA …….………..……….

22

9. Aturan Cosinus …………………………………....………..……...... . 10. Segitiga Kutub Aturan Cosinus Untuk Sudut …... …...………….. 11. Aturan Sinus ………………………………………………............…. 12. Rumus yang BerhubungannDengan Segitiga Bola …......…….. 13. Dua Aturan Penting ……………………………………………….. 14. Latihan …………….…………………………………………….…….

22 23 24 28 31 31

PENGGUNAAN ILMU UKUR SEGITIGA BOLA PADA BOLA BUMI...

34

15. Definisi dan Notasi ………......…………………………………….. 16. Contoh ………………………….……………………………….……. 17. Latihan ……………………………………………………….….……

34 36 44

PROYEKSI ORTHOGRAFIK .……………………………………...…….

47

18. Melukis ellips ………………..…………………………………...……. 19. Melukis Proyeksi Orthografik ……………………………………….. 20. Latihan …………………………………………………………..…….

47 48 55

iv

KONFIDENSIAL

KONFIDENSIAL

BAB V

PENGGUNAAN DALAM PERBINTANGAN ……..……………….…...

56

21. Definisi ……………………………………………………………….. 22. Segitiga Astronomi …………………………...……………………… 23. Waktu setempat …………………….…………………..………….…. 24. Latihan …………………………………………….……..……………

56 57 61 63

DAFTAR PUSTAKA ……….…………………………………………………................... 65

v

KONFIDENSIAL

KONFIDENSIAL

RENCANA PENGAJARAN

1.

Materi Ajaran

:

Ilmu Segitiga Bola

2. Tujuan Mata Pelajaran : Mengingat dan mengetahui teori-teori dan rumus-rumus serta aturan ilmu ukur segitiga bola dalam kaitan bernavigasi. 3. Sasaran Mata Pelajaran diharapkan Kadet mampu untuk:

:

Selesai mendapatkan pelajaran ini

a. Mengingat dan mengetahui pengertian dasar segitiga bola. b. Mengingat dan mengetahui rumus-rumus dasar segitiga bola. c. Mengingat dan mengetahui rumus Sinus, Cosinus dan aturan Napier. d. Menggunakan rumus dan aturan segitiga bola untuk ilmu pelayaran dan astonomi. 4.

Waktu Pelajaran : a. b.

5.

Teori Praktek

: 2 SKS atau 32 JP tatap muka di kelas. :-

Kepustakaan : a. b. c. d.

PL de Pries, Ulake en Boldrichookmeting, Gorinchem JN., NY 1951. RM, Sphericalo Trigonometical, Anna Polis Maryland, USNA, 1951. BR-45 Vol I-VII Buku panduan pengetahuan kepelautan bagi perwira korps pelaut.

6.

Metode Instruksi

: Kuliah, diskusi, dan pemberian tugas.

7.

Alat Instruksi

: Transparan, LCD dan alat peraga.

8.

Evaluasi

: Obyektif dan subyektif.

9.

Kualifikasi Gadik

: Perwira korps Pelaut, AA/Susgadik / Sustekdik , Dikspespa.

KONFIDENSIAL

KONFIDENSIAL 1

BAB - I PENGERTIAN DASAR ILMU UKUR SEGITIGA BOLA

Kompetensi : Setelah menyelesaikan bab 1 : 

Kadet memahami pengertian dasar formula ilmu ukur segitiga bola



Kadet mampu menghitung panjang dan hukum positif yang ada.



Kadet menghayati kecermatan, ketelitian dan disiplin dalam menggunakan aturan serta menunjukkan kerja keras dalam penyelesaian persoalan ilmu ukur segitiga bola

1.

Definisi Dasar

Sebelum dibahas lebih lanjut tentang ilmu ukur segitiga bola, terlebih dahulu akan disajikan definisi dasar segitiga bola.

Definisi 1 

Perpotongan antara sebuah bidang datar dengan permukaan bola berupa lingkaran.



Apabila bidang datar tersebut melalui pusat bola, maka lingkarannya disebut lingkaran besar



Apabila bidang datarnya tidak melalui posat bola maka lingkarannya disebut lingkaran kecil.



Panjang busur lingkaran besar sama dengan sudut pada pusat bola yang menghadap busur tersebut.

Selanjutnya, ilustrasi berikut akan memperkuat pemahaman tentang pengertian dasar yang berhubungan segi tiga bola.

KONFIDENSIAL

KONFIDENSIAL 2

T

P  POLE

Q

W

R A

O

 E B P’

Gambar 1. Bagian bola Sedangkan panjang busur lingkaran besar sama dengan sudut pada pusat bola yang menghadap busur itu.

Pada Gambar 1 lingkaran

NWS dan PABP adalah lingkaran besar, dengan panjang busur AB=  . Garis tengah bola yang berdiri tegak lurus pada bidang dari sebuah lingkaran besar disebut poros atau sumbu dari lingkaran. Titik-titik potong antara poros dengan permukaan bola disebut pola atau kutub. Ujung garis tengah bola disebut titik lawan dari ujung yang lain. Pada gambar 1, garis PP’ poros dari lingkaran NWS. Sedangkan titik P dan P’ adalah kutub. P’ merupakan titik lawan dari titik P. Sudut antara dua garis lengkung yang berpotongan sudut : antara garis-garis singgung pada titik potong dari kedua garis lengkung itu.

KONFIDENSIAL

KONFIDENSIAL 3

Teorema 1 Dua lingkaran besar pada bola saling membagi dua sama besar

Bukti : Dari definisi tentang lingkaran besar, maka setiap dua lingkaran besar selalu berpotongan menurut garis lurus yang melalui pusat bola. Garis lurus ini merupakan garis tengah dari kedua lingkaran besar tersebut. Jadi kedua lingkaran membagi dua sama besar.

Teorema 2 Sudut antara lingkaran besar sama dengan panjang busur lingkaran besar yang kutubnya adalah titik sudut tersebut

KONFIDENSIAL

KONFIDENSIAL 4

Bukti : Lihat gambar berikut. P

D

A’ B’

C B

O A

P’ Andaikan P adalah kutub dari lingkaran AB’A’B. PC garis singgung pada busur PA. PD garis singgung pada busur PB maka OA // PC , OB // PD Jadi  CPD   AOB

2.

Segidua Bola

Definisi : Segidua bola adalah bagian dari permukaan bola yang dibatasi oleh dua lingkaran besar yang ujung-ujungnya berimpit.

Pada gambar di bawah ini, segidua bola adalah daerah AB’A’CA atau daerah yang diwarnai kuning.

KONFIDENSIAL

KONFIDENSIAL 5

A

B’

B C

A’

Teorema 3: Jika A sudut segidua bola, maka luas segidua bola =

A0  luas bola 3600

Bukti: Jika AC busur lingkaran besar yang melalui tengah-tengah dari segi dua bola AB’A’CA. Lingkaran BCB’B terdiri dari 360 0 dibagi menjadi 36 bagian yang sama besar, dan terbentuklah segi dua bola yang titik sudutnya A dan A’. Maka tiap segi dua bola luasnya adalah

10 x luas bola . 360

Dengan demikian, apabila sudut segi dua bola adalah A maka luas

A0 x luas bola . permukaan segidua bola adalah 360 0

KONFIDENSIAL

KONFIDENSIAL 6

3.

Segitiga Bola

Definisi : Segitiga bola adalah bagian dari permukaan bola yang dibatasi oleh tiga busur lingkaran besar, yang masing-masing lebih kecil dari 1800 . A c b B a C

A’ Pada gambar di atas, segitiga bola adalah bagian permukaan bola yang dibatasi oleh tiga busur lingkaran besar dengan titik-titik sudut A, B dan C. Sisi-sisi di hadapan sudut A, B dan C disebut dengan sisi-sisi a, b dan c. a.

Segitiga Samping

Definisi : Segitiga samping adalah segitiga bola yang terjadi dengan memperpanjang dua sisi dari sebuah segi tiga bola sampai berpotongan.

KONFIDENSIAL

KONFIDENSIAL 7

A c b B a C

A’

Jika ABC adalah suatu segi tiga bola, maka A’BC adalah segi tiga sampingnya. b.

Segitiga Kutub

Definisi : Segitiga

kutub

adalah

segitiga

bola

yang

titik-titik

merupakan titik-titik kutub dari sisi-sisi segi tiga bola semula.

a’ C’

B’

A c

b

B

C b’

c’

a

A’

KONFIDENSIAL

sudutnya

KONFIDENSIAL 8

Teorema: Sebuah segitiga merupakan segitiga kutub dari setiga kutubnya.

Bukti: Andaikan A’B’C’ segitiga kutub dari segitiga bola ABC. C’ kutub dari AB B’ kutub dari AC A’ kutub dari BC Maka: C’ kutub dari AB sehingga AC’= 90 0 . B’ kutub dari AC sehingga AB’= 90 0 . Jadi A kutub dari B’C’. Secara sama dapat dibuktikan bahwa: B kutub dari A’C’. C kutub dari A’B’. ABC segitiga kutub dari A’B’C’.

a’ C’

B’

A c

b

B

C b’

c’

a

A’ KONFIDENSIAL

KONFIDENSIAL 9

Teorema: Sebuah

sudut

dari

sebuah

segitiga

bola

merupakan

pelurus

(sumplement) dari sebuah sisi segi tiga kutubnya dan sebuah sudut dari segi tiga kutub merupakan pelurus dari sisi segi tiga mula-mula.

Bukti: Andaikan A’B’C’ merupakan segi tiga kutub dari segi tiga bola ABC. A’ merupakan kutub dari CB B’ merupakan kutub dari AC C’ merupakan kutub AB Maka harus dibuktikan: A + busur C’B’= B + busur C’B’= C + busur A’B’= 180 0 Ketika A = busur PQ (A kutub PQ) A + busur C’B’ = busur PQ + busur C’P + busur PB’ = 90 0  90 0  180 0 . Secara sama dapat dibuktikan: B + busur A’C’ = 180 0 C + busur A’B’ = 180 0 Sebaliknya ABC merupakan segi tiga kutub dari A’B’C’. Maka secara sama dapat dibuktikan A’ + busur BC = B’ + AB = 180 0 . Sehingga: A+a’ = B+b’ = C+c’= 180 0 A’+a = B’+b = C’+c = 180 0

KONFIDENSIAL

KONFIDENSIAL 10 c.

Segitiga Lawan

Definisi : Segitiga lawan

adalah

segitiga bola yang titik-titik

sudutnya

merupakan titik-titik lawan dari titik-titik sudut segi tiga bola semula.

A c b B

C’ a C

B’

A’

Jika diketahui ABC adalah segitiga bola, maka A’B’C’ adalah segitiga lawan.

Teorema: Panjang sisi-sisi segitiga bola sama dengan panjang sisi-sisi segitiga lawannya.

Bukti: Karena perpotongan dua buah lingkaran besar saling membagi sama panjang, maka: AC sama dengan A’C’ AB sama dengan A’B’ KONFIDENSIAL

KONFIDENSIAL 11 BC sama dengan B’C’. Sehingga panjang sisi-sisi segitiga bola ABC sama dengan panjang sisisisi A’B’ dan C’. 4.

LUAS SEGI TIGA BOLA

Definisi: Andaikan A,B,C adalah sudut-sudut suatu segitiga bola. Luas daerah segitiga bola adalah:

A  B  C  180 0  luas permukaan bola 720 0

A c b B a C

A’

Teorema: Luas daerah dalam segitiga bola sama dengan luas daerah dalam segitiga lawannya.

Bukti: Karena panjang sisi-sisi segitiga bola ABC sama dengan panjang sisi-sisi A’B’C’ maka luas ABC sama dengan luas A’B’C’. KONFIDENSIAL

KONFIDENSIAL 12 5.

SIFAT SUDUT SEGITIGA BOLA

Teorema: Jumlah tiga buah sudut sebuah segitiga bola lebih besar dari 180 0

Bukti: Luas segitiga bola =

A  B  C  180 0  luas permukaan bola 720 0

Luas ini adalah positif, maka A  B  C  180 0  0 . Sehingga A  B  C  180 0

Teorema: Dalam sebuah segitiga bola, jumlah dua sudut dikurangi sudut yang lain kurang dari 180 0 .

Bukti: Pandang segi tiga samping A’BC. Menurut teorema di atas,  A' CB   A' BC   A' 180 0 .



 



 180 0  C  180 0  B  A  180 0  C  B  A  (180 0 )  A  B  C 180 0

KONFIDENSIAL

KONFIDENSIAL 13 A

B

C

A’

Teorema: Jumlah ketiga sudut sebuah segitiga bola lebih kecil dari 540 0 .

Bukti: Menurut teorema di atas, A  B  C  180 0 A  C  B  180 0 B  C  A  180 0 A  B  C  540 0

Jadi terbukti bahwa jumlah ketiga sudut kurang dari 540 0 . 6.

SIFAT SISI SEGITIGA BOLA

Teorema: Jumlah sisi sebuah segitiga bola kurang dari 360 0

KONFIDENSIAL

KONFIDENSIAL 14 Bukti : Pandang segitiga kutub berikut.

a’ C’

B’

A c

b

B

C b’

c’

a

A’ A’B’C’ adalah segitiga kutub dari segitiga bola ABC. Menurut teorema 8 :

A' B'C '  180 0

A'  180 0  a B'  180 0  b C '  180 0  c Sehingga

180

0

 

 



 a  180 0  b  180 0  c  180 0

Dapat disederhanakan menjadi

 a  b  c   540 0  180 0  a  b  c  360 0 Jadi terbukti bahwa jumlah sisi-sisi suatu segitiga bola kurang dari 360 0 .

KONFIDENSIAL

KONFIDENSIAL 15 Teorema: Dalam sebuah segitiga bola satu sisi lebih kecil dari jumlah kedua sisi yang lain dan lebih besar dari selisih kedua sisi tersebut.

Bukti: Pandang segitiga kutub di atas. Menurut teorema 9, A'  B'  C '  180 0

A'  180 0  a B'  180 0  b C '  180 0  c Sehingga

180

0

 

 



 a  180 0  b  180 0  c  180 0

Dapat disederhanakan menjadi

 a  b  c  180 0  180 0  abc  0  ab  c bc  a

7.

KESAMAAN DAN KESEBANGUNAN

Definisi: Apabila dua segitiga bola semua unsurnya sama berpasangpasangan, maka kedua segitiga bola tersebut dikatakan sama dan sebangun.

Kemungkinan: a.

Apabila unsur-unsur tersebut berada pada susunan yang sama letaknya, maka kedua segitiga bola disebut kongruent.

KONFIDENSIAL

KONFIDENSIAL 16 b.

Apabila unsur-unsur tersebut berada pada susunan yang berlawanan letaknya, maka kedua segi tiga bola tersebut disebut simetris. C

B

F

E

A

D

ABC dan DEF kongruen C

Q R

B

P

A ABC dan PQR simetris

Teorema: Dua buah segi tiga bola sama dan sebangun apabila dua buah sisi dan sudut apitnya sama.

Bukti:

C

B

F

E

A

D

KONFIDENSIAL

KONFIDENSIAL 17 C = F, BC = EF, AC = DF. Pertama, Andaikan unsur-unsur yang sama terletak pada urutan yang sama, maka untuk segi tiga bola ABC yang diletakkan pada segi tiga bola DEF sedemikian hingga titik C berimpit pada titik F. Sedangkan BC berimpit dengan EF maka titik B berimpit dengan titik E. Demikian pula A berimpit dengan D (AC = DF). Akibatnya, busur AB berimpit dengan AB. Jadi kedua segi tiga bola sama dan sebangun. Kedua, C

F E

B

D

A

Andaikan unsur-unsur yang sama terletak dalam urutan yang berlawanan, maka segi tiga bola ABC dapat saling menutup setiga lawan DEF yaitu D’E’F’. Karena unsur-unsur segi tiga bola ABC dan segi tiga bola D’E’F’ terletak pada urutan yang sama. Jadi segitiga bola ABC dan DEF symetris.

Teorema: Dua buah segitiga bola sama dan sebangun apabila sebuah sisi dan dua buah sudut pada sisi tersebut sama.

KONFIDENSIAL

KONFIDENSIAL 18 Bukti: Apabila kedua segitiga bola tersebut sama, sebuah sisi serta dua buah sudut pada sisi tersebut, maka segi tiga kutubnya sama sebuah sudut dan dua buah sisi yang mengapit sudut tersebut. Menurut teorema 13 kedua segi tiga kutub sama dan sebangun. Jadi kedua segi tiga yang semula sama dan sebangun.

Teorema: Dalam sebuah segi tiga bola sama kaki maka sudut alasnya sama dan sebangun bila sudut alas segi tiga bola sama, maka merupakan segi tiga bola sama kaki. A

B

C D

Bukti: Pandang segitiga bola ABC sama kaki (AB=AC). Bagilah sudut A dengan sebuah lingkaran besar melalui tengahtengahnya, maka menurut teorema 13 segi tiga bola ABD sama dan sebangun dengan segi tiga bola CAD. Jadi B=C. Sebaliknya bila B=C maka pada segi tiga kutubnya, sisi b’ = c’. Menurut bukti di atas, maka B’ = C’. Jadi b = c.

KONFIDENSIAL

KONFIDENSIAL 19

Teorema: Dalam setiap segitiga bola dihadapan sisi yang lebih besar terdapat sudut yang lebih besar pula.

Bukti: C

D 1 2 1 2

A

B Andaikan a > b. Tentukan CD = CA. Maka D1 = A1. Menurut teorema 9, D2  B  A2  180 0 B  A2 180 0  D2 180 0  D2  D1  A1

B  A2  A1 B  A1  A2 B A

KONFIDENSIAL

KONFIDENSIAL 20

Teorema: Dalam setiap segitiga bola dihadapan sudut yang lebih besar terletak sisi yang lebih besar pula.

Bukti: Andaikan dalam segitiga bola ABC dengan A > B. Maka pada segi tiga kutubnya, sisi b’ > a’. Menurut teorema 16, B’ > A’ dan a > b. 8.

LATIHAN

Buat kelompok kelas menjadi 5 kelompok Kadet sesuai dengan urutan nomor presensi (nomor Akademik Kadet). Diskusikan

dan

jawab

persoalan

berikut,

kemudian

persiapkan

paparan hasil pekerjaan untuk dipresentasikan di depan kelas dan dibahas bersama hasilnya. Tim yang memaparkan di depan kelas berdasarkan hasil undian. Persoalan: 1.

Apakah hubungan segitiga bola dan segitiga lawannya ?

2.

Kapan definisi kedua segitiga bola digunakan ?