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El presente trabajo abarca un enfoque de las pérdidas posibles que se pueden producir en un cable coaxial determinado como línea de transmisión, como pérdidas por efecto Joule, pérdidas por corrientes de fuga, pérdidas por comportamientos indeseados en los modos de propagación, atenuaciones de la se...

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE MISIONES FACULTAD DE INGENIERÍA Carrera:

INGENIERIA ELECTRÓNICA Asignatura:

ELECTROMAGNETISMO INFORME

TRABAJO FINAL Tema:

Parámetros de diseño en Cables Coaxiales Autor: Melgarejo, Marcos Ezequiel.

Oberá-Misiones 2019

RESUMEN

El presente trabajo abarca un enfoque de las pérdidas posibles que se pueden producir en un cable coaxial determinado como línea de transmisión, como pérdidas por efecto Joule, pérdidas por corrientes de fuga, pérdidas por comportamientos indeseados en los modos de propagación, atenuaciones de la señal transmitida a lo largo de la línea por los componentes distribuidos del medio en el que se propagan o por las características en el medio en el que se propaga. Como primera instancia se realiza una introducción teórica en la cual se describen todos los conceptos y las fórmulas que se utilizarán para luego establecer las consideraciones de diseño y cálculo que se realizan a la hora de realizar un cable coaxial para que actúe como línea de transmisión. Luego, se describe las características de diseño de un cable coaxial que se realiza de forma masiva, se optó por el cable coaxial RG-174. Por otro lado, se realiza una descripción del estado del arte del tópico que se analiza conformado por citaciones a publicaciones o artículos con menos de 3 años de antigüedad. Por último, se efectúa una conclusión de la cual se detallan todas las investigaciones, deducciones y análisis hechos a lo largo del informe. INTRODUCCIÓN

En general, la mayoría de las líneas de transmisión utilizadas hoy en día están conformadas por cables coaxiales de distintos aspectos. El estudio y la comprensión del porqué se utilizan este tipo de cables para diferentes aplicaciones es la razón del presente informe como también dejar en claro del porqué se utilizan las mismas características para aplicaciones específicas desde hace mucho tiempo. INTRODUCCIÓN TEÓRICA En el gráfico 1 se muestra un segmento de un cable coaxial de longitud Δ𝑧. Básicamente un cable coaxial consiste en un conductor interno de radio a y un conductor externo de radio b. En este caso, consideramos el ancho del conductor externo como infinitesimal. Los conductores están separados

por un dieléctrico de permitividad eléctrica 𝜖 y se supone que el cable coaxial posee una carga de ±𝑄

que se aloja en la superficie del conductor y está distribuida uniformemente a lo largo del cable coaxial.

1

Gráfico 1: Esquema de un segmento de cable coaxial.

El campo eléctrico es obtenido a partir de la ley de Gauss: ∮ 𝜖𝐸󰇍 ∙ 󰇍󰇍󰇍󰇍 𝑑𝑆 = 𝑄𝑒𝑛𝑐

(1)

Observando la simetría del campo eléctrico alrededor de la separación entre los conductores, se opta por utilizar simetría cilíndrica teniendo en cuenta que el campo eléctrico solamente varía en función de la distancia radial. Asignado la posición el eje z en el centro del cable coaxial, observando que el campo eléctrico es constante para la superficie elegida y considerando una superficie cilíndrica tal como se presenta en el gráfico 1 con líneas punteadas se tiene que: 󰇍󰇍󰇍󰇍 = 𝐸󰇍 ∙ 2𝜋𝑟Δ𝑧 ∙ 󰇍󰇍󰇍󰇍 𝜖𝐸󰇍 ∮ 𝑑𝑆 𝑎𝑝

(2)

𝑆

Donde se cumple que:

𝑏≥𝑟≥𝑎

Entonces sustituyendo el resultado en (1) y despejando se obtiene que: 𝐸󰇍 =

𝑄 󰇍𝑎󰇍󰇍 2𝜋𝜖𝑟Δ𝑧 𝑝

(3)

Para la obtención del voltaje entre los conductores consideramos la siguiente ecuación:

2

󰇍󰇍 = 𝑉 ∫ 𝐸󰇍 ∙ 𝑑𝑙 𝐿

(4)

Donde el diferencial de longitud lo definimos como: 󰇍󰇍󰇍 𝑑𝑙 = 𝑟 ∙ 𝑎 󰇍󰇍󰇍𝑝

(5)

Substituyendo en (4) e integrando desde los definidos por la variable r se concluye que la expresión del voltaje entre los conductores es: 𝑉=

𝑄 𝑏 ln ( ) 𝑎 2𝜋𝜖Δ𝑧

(6)

La capacitancia por unidad de longitud está dada por la ecuación: 𝐶=

𝑄 𝑉Δ𝑧

(7)

Substituyendo la expresión (6) se obtiene finalmente que la capacitancia por unidad de longitud es igual a: 𝐶=

2𝜋𝜖 ln(𝑏/𝑎)

(8)

Para la obtención de la inductancia por unidad de longitud partimos de la ley de Ampere la cual expresa que: 󰇍󰇍󰇍 = 𝐼𝑒𝑛𝑐 ∮ 𝐻󰇍󰇍 ∙ 𝑑𝑙 𝐿

(9)

Considerando que el cable coaxial transporta una corriente I, la trayectoria considerada se presenta en el siguiente gráfico:

3

Gráfico 2: Trayectoria considerada para la obtención del campo magnético. Entonces expresamos que: 󰇍󰇍 = 2𝜋𝑟 ∙ 𝑎󰇍󰇍󰇍󰇍𝜙󰇍 𝑑𝑙

(10)

Teniendo en cuenta que el campo magnético es el mismo en todos los puntos de la trayectoria elegida: 󰇍󰇍 = 𝐻

𝐼 󰇍󰇍󰇍󰇍 𝑎 2𝜋𝑟 𝜙

(11)

Debido a que la inductancia por unidad de longitud se define por la siguiente ecuación: 𝐿=

𝑁∙Φ 𝐼 ∙ Δz

(12)

Donde Φ es el flujo magnético concatenado, que puede ser obtenida a partir de la siguiente expresión: 󰇍󰇍󰇍 Φ = ∫ 𝐵󰇍 ∙ 𝑑𝑆 𝑆

(13)

󰇍 es la densidad de flujo magnético que se relaciona con la intensidad del campo magnético Donde 𝐵 󰇍 a partir de la permeabilidad magnética por lo tanto: 𝐻 󰇍𝐵 = 𝜇 ∙ 𝐻 󰇍

(14)

4

Para el flujo magnético consideramos un área de tal forma que el producto punto entre los vectores 󰇍𝐵

󰇍󰇍 sea distinto de cero, se realiza un croquis que representa el área el cual se utilizará para el y 󰇍𝑑𝑆

desarrollo de la ecuación (13).

Gráfico 3: Área considerada para la obtención del flujo magnético. 𝑏

Φ=∫∫ 𝑎

𝐼∙𝜇 𝐼 ∙ 𝜇 ∙ Δ𝑧 𝑏 ln ( ) 󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍𝜙 ∙ 𝑑𝑧𝑑φ = 𝑎 2𝜋 2𝜋𝑟 𝑎

Δ𝑧

0

(15)

Substituyendo en (12) considerando que la cantidad de espiras es igual a uno entonces se obtiene que la inductancia por unidad de longitud es igual a: 𝐿=

𝜇 𝑏 ln ( ) 𝑎 2𝜋

(16)

Uno de los parámetros importante es la resistencia en serie por unidad de longitud que será necesario conocerla para el análisis de pérdidas. Observando que la resistencia total del cable coaxial es la suma en serie de las resistencias por parte del conductor interno y externo, esto se deduce reconociendo que la corriente que atraviesan las resistencias es la misma. A partir de la siguiente ecuación: 𝑅=

𝐿 𝜎𝑆

(17)

Donde L es la longitud del cable coaxial, S es la superficie del flujo de corriente en el conductor analizado. Por lo tanto: 𝑅 = 𝑅𝑎 + 𝑅𝑏

(18)

5

Suponiendo que los materiales utilizados para los conductores son los mismos tenemos que: 𝑆𝑎 = 2𝜋𝑎𝛿Δ𝑧 𝑆𝑏 = 2𝜋𝑏𝛿Δ𝑧 𝐿 = Δ𝑧

(19) (20) (21)

Donde el parámetro 𝛿 se la conoce como profundidad de penetración o profundidad de piel que es la

profundidad a la cual una onda viajera penetra un conductor. 𝛿=

1 1 = 𝛼 √𝜋𝑓𝜇𝑐 𝜎𝑐

(22)

Reemplazando obtenemos que: 𝑅=

1 1 1 1 1 1 𝜋𝑓𝜇𝑐 ( + )= ( + )√ 2𝜋𝜎𝑐 𝛿 𝑎 𝑏 2𝜋 𝑎 𝑏 𝜎𝑐

(23)

Las pérdidas producidas por la resistencia R se deben a pérdidas por efecto Joule ocasionadas por la circulación de una corriente por la misma. Por último, es necesario reconocer la conductancia relacionada con las pérdidas que se presentan en el dieléctrico debido a que lo tratamos como un dieléctrico imperfecto por lo tanto posee una

conductividad 𝜎𝑑 , llevando a cabo la posibilidad de la existencia de una corriente la cual puede fluir radialmente por el material acorde a: 󰇍 𝐽 = 𝜎𝐸

(24)

Reconociendo que la corriente que puede fluir por el capacitor es: 𝐼𝑑 = 󰇍𝑆󰇍󰇍𝑑 ∙ 𝐽

(25)

Haciendo las sustituciones correspondientes en (24) y debido a que la conductancia por unidad de longitud se expresa cómo:

6

𝐼 𝐺 = Δ𝑧 ∙ 𝑉

(26)

Obtenemos la conductancia por unidad de longitud: 𝐺=

2𝜋𝜎𝑑 ln(𝑏/𝑎)

(27)

A continuación se resume en una tabla los parámetros distribuidos resultantes de un cable coaxial: 2𝜋𝜖 ln(𝑏/𝑎) 𝜇 𝑏 𝐿= ln ( ) 𝑎 2𝜋 𝐶=

𝑅=

(8) (16)

1 1 1 𝜋𝑓𝜇𝑐 (23) ( + )√ 𝜎𝑐 2𝜋 𝑎 𝑏 2𝜋𝜎𝑑 (27) 𝐺= ln(𝑏/𝑎) Tabla 1: Parámetros característicos de un cable coaxial.

La razón por la cual se consideran como elementos distribuidos es porque el retardo de tiempo en el cual tarda en atravesar los elementos no es despreciable, esto es dependiente de la longitud del cable, y como regla general se establece que se deben considerar como elementos distribuidos si el retardo de propagación a través del tamaño del elemento es del orden del intervalo más corto de interés.

Gráfico 4: Modelo de elementos concentrados de una sección corta para una línea de transmisión.

7

A partir del modelo de elementos concentrados de una sección corta de una línea de transmisión con longitud Δ𝑧 la cual no posee pérdidas mostrado en el gráfico 4, se obtienen las ecuaciones que

caracterizan los voltajes y las corrientes presenten en la línea en función de la distancia y del tiempo. 𝛿𝑉 𝛿𝐼 = − (𝑅𝐼 + 𝐿 ) 𝛿𝑡 𝛿𝑧 𝛿𝐼 𝛿𝑉 ) = − (𝐺𝑉 + 𝐶 𝛿𝑡 𝛿𝑧

(28) (29)

Estas ecuaciones se las conoce como las ecuaciones del telegrafista. Su solución lleva a las ecuaciones de onda para las líneas de transmisión: 𝛿2 𝑉

𝛿𝑧 2 𝛿2 𝐼

𝛿𝑧 2

= 𝐿𝐶

= 𝐿𝐶

𝛿2 𝑉 𝛿𝑡 2

𝛿2 𝐼 𝛿𝑡 2

+ (𝐿𝐺 + 𝑅𝐶)

+ (𝐿𝐺 + 𝑅𝐶)

𝛿𝑉 𝛿𝑡

𝛿𝐼

𝛿𝑡

− (𝑅𝐼 + 𝐿

𝛿𝐼 )+ 𝛿𝑡

RGV

− (𝑅𝐼 + 𝐿 )+ RGI 𝛿𝐼 𝛿𝑡

(30) (31)

La condición establecida para una línea de transmisión sin pérdidas es que la resistencia en serie y la conductancia sean nulas, por lo tanto de la ecuación (30) se obtiene que: 𝛿 2𝑉 𝛿 2𝑉 = 𝐿𝐶 2 𝛿𝑡 𝛿𝑧 2

(32)

La solución de la ecuación (32) es una solución general para las ecuaciones de onda: 𝑧 𝑧 𝑉(𝑧, 𝑡) = 𝑓1 (𝑡 − ) + 𝑓2 (𝑡 + ) = 𝑉 + + 𝑉 − 𝑣 𝑣

(33)

Donde 𝑓1 corresponde a una propagación en la dirección positiva de z y 𝑓2 una propagación en la

dirección contraria. De la ecuación general (32) se obtiene la velocidad de onda para propagación en una línea sin pérdidas: 𝑣=

1

√𝐿𝐶

(34)

El cociente entre el voltaje y la corriente para cualquier z en una línea infinitamente larga se lo conoce como impedancia característica 𝑍0 . Una línea de longitud infinita sólo implica que no hay reflexión

de ondas. Entonces, la impedancia característica para una línea sin pérdidas se expresa cómo:

8

𝐿 𝐶

(35)

𝑅 + 𝑗𝑤𝐿 = |𝑍0 |𝑒 𝑗𝜃 𝐺 + 𝑗𝑤𝐶

(36)

𝑍0 = √

Para una línea con pérdidas (R≠ 𝐺 ≠ 0): 𝑍0 = √

Donde 𝜃 es el ángulo de la impedancia característica. El mismo puede ser identificado si se conocen las fases iniciales del voltaje 𝜙 y la corriente 𝜉 . 𝜃 =𝜙−𝜉

(37)

Por otro lado, si queremos llevar a la ecuación general de onda (30) en su forma fasorial, debemos 𝛿

tener en cuenta que el operador variación de tiempo es equivalente a multiplicar por el factor j𝜔. 𝛿𝑡 Luego de realizar los remplazos y acomodar los términos se obtiene que: 𝑑2𝑉 (𝐺 + 𝑗𝑤𝐶)𝑉𝑠 = 𝛾 2 𝑉𝑠 = (𝑅 ⏟ + 𝑗𝑤𝐿)⏟ 𝑑𝑧2 𝑍 𝑌

(38)

Donde Z e Y son la impedancia neta en serie y la admitancia neta de desviación en la línea de transmisión respectivamente. La constante de propagación entonces se define cómo: 𝛾 = √(𝑅 + 𝑗𝑤𝐿)(𝐺 + 𝑗𝑤𝐶) = 𝛼 + 𝑗𝛽

(39)

Donde 𝛼 se denomina como constante de atenuación, sus unidades son (Np/m) y la constante de fase

𝛽 (rad/m). Por otro lado, para cuestiones de aclaración 𝑉𝑠 es el fasor voltaje. La resolución en general de la ecuación (38) es la siguiente:

𝑉𝑠 (𝑧) = 𝑉0+ 𝑒 −𝛾𝑧 + 𝑉0− 𝑒 𝛾𝑧 = 𝑉0+ 𝑒 −𝛼𝑧𝑒 −𝑗𝛽𝑧 + 𝑉0− 𝑒 𝛼𝑧 𝑒 𝑗𝛽𝑧

(40)

Multiplicando por 𝑒 𝑗𝑤𝑡 y tomando la parte de real al utilizar la fórmula de Euler:

9

𝑉𝑠 (𝑧) = 𝑉0+ 𝑒 −𝛼𝑧cos(𝜔𝑡 − βz) + 𝑉0− 𝑒 𝛼𝑧 cos(𝜔𝑡 + βz)

(41)

Queda claro las definiciones de 𝛼 y 𝛽 , donde las ondas que se propagan hacia adelante y hacia atrás se atenuán a una magnitud de 𝑒 −𝛼𝑧 , como también se ven afectadas a un cambio de fase a medida que se desplazan por un factor de 𝛽𝑧 .

Para una línea de transmisión sin pérdidas la constante de atenuación es 0 y la constante de fase es

𝜔√𝐿𝐶, para una línea de transmisión de bajas pérdidas se debe cumplir 𝑅 ≪ 𝜔𝐿 y 𝐺 ≪ 𝜔𝐶 . Por

medio de la serie binomial, teniendo en cuenta que se pueden despreciar términos y separando la parte real de la imaginaria: 1 𝐶 𝐿 𝛼 = (𝑅 √ + 𝐺√ ) 𝐶 2 𝐿

1 𝐺 𝑅 2 𝛽 = 𝜔 √𝐿𝐶 [1 + ( − ) ] 8 𝜔𝐶 𝜔𝐿

(42)

(43)

Por otro lado, se dice que una línea no presenta distorsiones si se cumple que: 𝑅 𝐺 = 𝐿 𝐶

(44)

Dada las condiciones, la constante de atenuación, constante de fase e impedancia característica para una línea sin distorsión quedan establecidas cómo: 𝐶 𝐿

(45)

𝐿 𝐶

(47)

𝛼 = 𝑅√

𝛽 = 𝜔√𝐿𝐶 𝑍0 = √

(46)

10

La potencia instantánea transmitida en la línea se define básicamente por el producto entre el voltaje y la corriente instantánea. 𝑃(𝑧, 𝑡) = 𝑉 (𝑧, 𝑡 )𝐼(𝑧, 𝑡) =

|𝑉0 ||𝐼0 |𝑒 −2𝛼𝑧 cos(𝜔𝑡 − 𝛽𝑧) cos(𝜔𝑡 − 𝛽𝑧 + 𝜃)

(48)

Donde 𝜃 es el corrimiento de fase que presenta la corriente en relación con el voltaje, el factor de

𝑒 −2𝛼𝑧 es debido a que tanto la corriente como el voltaje se atenúan por el factor de 𝑒 −𝛼𝑧. En el análisis

de la potencia transmitida solamente se tiene en cuenta la propagación hacia delante de la onda.

La potencia promedio es de interés, teniendo en cuenta que el período es igual a 2𝜋/𝜔y realizando

la integración obtenemos que:

1 𝑃 = |𝑉0 ||𝐼0 |𝑒 −2𝛼𝑧 cos(𝜃) = 2 1 |𝑉0 |2 −2𝛼𝑧 𝑒 cos(𝜃) 2 |𝑍0 |

(49)

La impedancia intrínseca se define como el cociente entre el campo eléctrico y magnético. Su valor se calcula a partir de: 𝜇 𝜂=√ 𝜖

(50)

Donde la ecuación (50) corresponde a un medio sin pérdidas. La constante de propagación se define de la siguiente manera: 1

(51)

1

(52)

𝜎 2 ) 𝛾 = 𝛼 + 𝑗𝛽 = 𝑗𝜔 √𝜇𝜖 (1 + 𝑗𝜔𝜖

Si despreciamos el aporte de R en (39): 2 𝐺 ) 𝛾 = 𝛼 + 𝑗𝛽 = 𝑗𝜔 √𝐿𝐶 (1 + 𝑗𝜔𝐶

11

Si se comparan con las ecuaciones (51) y (52) se puede obtener una clara relación entre los parámetros: LC = μ𝜖 𝐺 σ = 𝐶 𝜖

(53) (54)

Las formas en que los procesos físicos pueden afectar al campo eléctrico de la onda se describen por medio de la permitividad compleja: 𝜖 = 𝜖 ′ − 𝑗𝜖 ′′ = 𝜖0 (𝜖′𝑟 − 𝑗𝜖′′ 𝑟)

(55)

Donde la parte imaginaria de la permitividad compleja incluye las perdidas óhmicas y por amortiguamiento que se producen en el dieléctrico debido a pequeños desplazamientos de cargas ligadas que producen una densidad de volumen de polarización. Alternativamente, podemos definir una conductividad equivalente que represente todas las pérdidas y escribir: 𝜎 = 𝜔𝜖 ′′

(56)

La razón de las permitividades imaginaria y real se denomina tangente de pérdidas porque es una medida de la pérdida de potencia en el medio. Si la tangente de pérdidas es pequeña, entonce s se identifica al medio como un buen dieléctrico. tan 𝛿𝑑 =

𝜖𝑟′′ 𝜎 ≅ ′ 𝜔𝜖𝑟′ 𝜖𝑟

(57)

CONSIDERACIONES DE DISEÑO Y CÁLCULO

Las consideraciones de diseño están establecidas para los parámetros de las líneas de transmisiones. Por un lado, consideramos el modo de propagación como transversal electromagnético (TEM) debido a que la impedancia que ofrece el modo transversal eléctrico es siempre mayor que la impedancia intrínseca del medio (la impedancia de la onda TEM es igual a la impedancia intrínseca), además, de que en el modo TE la impedancia de la onda es dependiente de la frecuencia, como sucede también 12

en el modo transversal magnético TM. Este último comentario lleva a entender que en el diseño de los cables coaxiales para la transmisión de información a distintas frecuencias no es utilizado los modos TM y TE. En una línea de transmisión la onda electromagnética viaja a través del espacio entre los conductores, por ello se hace hincapié a las propiedades del medio en el que se desplaza. Por lo tanto, es de menester las propiedades del dieléctrico por el cual se desplaza la onda de modo TEM.

Gráfico 5: Modo TEM, mostrando el campo E máximo posible.

Gráfico 6: Modo TE, donde también el campo eléctrico es máximo. Si realizamos un análisis más detallado de la impedancia característica reemplazando los parámetros L y C obtenidos de las ecuaciones (8) y (16) en la ecuación (35): ln(𝑏/𝑎) 𝜇 ln(𝑏/𝑎 ) =𝜂∙ 𝑍0 = √ ∙ 2𝜋 𝜖 2𝜋

(58)

Queda establecida la relación de la impedancia característica con los parámetros dimensionales del cable coaxial.

13

Es necesario definir cuál es la magnitud óptima de la impedancia característica, la cual se puede tener en cuenta dos situaciones distintas: la máxima propagación de potencia o la mínima atenuación posible. Para el primer caso, encontramos una relación entre el campo eléctrico y el voltaje entre los conductores utilizando las expresiones (3) y (6). 𝐸𝑟 =

𝑉 𝑟 ∙ 𝑙𝑛(𝑏/𝑎)

(59)

Esta ecuación demuestra que el campo eléctrico máximo se da cuando r es igual a la distancia radial del conductor interno. 𝐸𝑚á𝑥 =

𝑉 𝑎 ∙ ln(𝑏/𝑎)

(60)

De la ecuación (49) si consideramos una línea sin pérdidas ( 𝛼 = 0)y al cos(𝜃) = 1 podemos obtener la potencia promedio. 𝑃=

2𝜋 2 𝑎 𝐸𝑚á𝑥 2 ln(𝑏/𝑎) 𝜂

(61)

Como se observa, la potencia máxima está influenciada por el radio de los conductores. Si realizamos una derivación parcial de la potencia con respecto al radio del conductor para encontrar el valor de a que optimiza la potencia igualando a cero la derivada parcial tenemos que: 𝑏 𝛿𝑃 = (2𝑎 ∙ 𝑙𝑛(𝑏) − 2𝑎 ∙ ln(𝑎) − 𝑎) = 𝑎 [2 ∙ ln ( ) − 1] = 0 𝛿𝑎 𝑎

(62)

Despejando de la expresión obtenida: 1

b/a = 𝑒 2 ≅ 1,649

(63)

Si reemplazamos el valor obtenido para la ecuación (58) para un cable coaxial con un medio dieléctrico de aire obtenemos que:

14

𝑍0 = √

4𝜋 ∙ 10−7

8,85 ∙

10−12

∙

ln 1,649 ≅ 30[Ω] 2𝜋

(64)

Este resultado expresa que para la máxima transmisión de potencia la impedancia característica debe ser de 30 [Ω]. La expresión de la atenuación en función de la geometría de la línea para una línea de transmisión con bajas pérdidas se obtiene a partir de la ecuación (42), remplazando la ecuación (23), (27) y (52). 1 1 (𝑎 + 𝑏 ) 𝜋𝑓𝜇𝑐 𝛼= [ √ + 𝜂 ∙ 𝜎𝑑 ] 2 ln(𝑏/𝑎) ∙ η 𝜎𝑐 1

(65)

Derivando parcialmente la atenuación con respecto a la distancia radial a e igualando a 0 la función:

𝛿𝛼 = 𝛿𝑎

𝑏 1 1 1 1 (− 𝑎2 ln (𝑎) + 𝑎 (𝑎 + 𝑏 )) ln2 (𝑏/𝑎)

=0

(66)

Reacomodando la expresión: − ln(𝑏/𝑎) + 𝑎/𝑏 + 1 = 0

(67)

Para la resolución de la ecuación (67) se optó por graficar la misma en la calculadora gráfica Geogebra y realizar la intersección con el eje x. Para el cual se obtuvo como resultado que b/a=3,5911.

Gráfico 7: Resolución de la ecuación (61). 15

Remplazando en la ecuación (58): 𝑍0 = √

4𝜋 ∙ 10−7 ln 3,5911 ∙ ≅ 76,70[Ω] 8,85 ∙ 10−12 2𝜋

(68)

Este resultado es la impedancia característica óptima para un cable coaxial con un...