3 Cables - Apuntes 3 PDF

Preview

Summary

Conceptos de cables que son como trabajan y metodos para calcularlos...

Description

CÁTEDRA ESTÁTICA

F.C.E.F.y N. – U.N.C.

1

ESTÁTICA (Ing. Civil, Ing. Const.)

Introducción Los cables son elementos estructurales lineales (las dimensiones de su sección son muy pequeñas comparadas con su longitud). Tienen la característica de ser sumamente flexibles. Razón por la cual para su estudio no se considera su resistencia a flexión y se los diseña para soportar cargas en forma axil, con esfuerzos únicamente de tracción. Al estar sometidos a un sistema de fuerzas los cables alcanzan el equilibrio adaptando su forma a la del funicular de cargas. El estudio estático de estos sistemas se reduce al estudio de la curva funicular. En ingeniería cables tienen muchas aplicaciones, tales como puentes colgantes, líneas de trasmisión, cables aéreos, tirantes para torres elevadas, etc. Formas del cable. Siendo que la forma del cable depende de las cargas que actúen en él, para estudiar la forma de un cable debemos distinguir diferentes acciones que lo solicitan. En general los cables se encuentran sometidos principalmente a: - Cargas Concentradas en diferentes puntos de su extensión - Cargas Verticales distribuidas por unidad horizontal de longitud (Ej. peso del tablero de un puente colgante) - Cargas Verticales distribuidas por unidad de longitud del cable (Ej. peso propio del cable) Si el cable soporta cargas concentradas, adopta una forma poligonal.

Si el cable soporta una carga distribuida por unidad horizontal de longitud, su forma es parabólica. Si está sometido a una fuerza uniformemente distribuida por unidad de longitud del mismo, toma la forma de catenaria. Ing Ernesto Ochat - Ing. Eduardo Warnholtz

CÁTEDRA ESTÁTICA

F.C.E.F.y N. – U.N.C.

2

Estudio del equilibrio de un cable Las condiciones de vínculo en los extremos de un cable sometido a la acción de un sistema de fuerzas arbitrario deben ser tales que permitan el equilibrio del conjunto. Para alcanzar el equilibrio, las reacciones suministradas por los vínculos tienen que ser contrarias a las acciones ejercidas por el cable (principio de acción y reacción). Debido que los cables no poseen resistencia a flexión, no ejercen momentos en los apoyos, sólo fuerzas cuyas intensidades y direcciones dependerán de las cargas actuantes en el sistema. Consecuentemente los vínculos en los extremos del cable siempre se tratan de apoyos fijos (vínculos de segunda especie). Si ahora aplicamos las ecuaciones de equilibrio, tendremos entonces un sistema de tres ecuaciones independientes y cuatro incógnitas (dos por cada apoyo), es decir un sistema estáticamente indeterminado. Esto significa que existe una multitud de cables que podrán satisfacer las ecuaciones de equilibrio para un mismo sistema de fuerzas. Por consiguiente, para la determinación de las reacciones de vínculo externo se podrá plantear una cuarta ecuación en función de la longitud que presenta el cable en estudio, o de la deformación que se desea del mismo o de la tensión para la cual se diseña este elemento estructural. De esta forma se puede hallar una única solución del sistema que se ajusta a las condiciones del problema en estudio.

Cables con cargas concentradas. Consideremos un cable sujeto a dos puntos fijos A y B que soportan n cargas verticales concentradas Pl, P2,….Pn

Como dijimos anteriormente el cable es flexible, es decir, que resistencia a la flexión es pequeña y puede despreciarse. Además suponemos que el peso del cable es despreciable comparado con las cargas soportadas por él. En consecuencia, cualquier porción del cable entre dos cargas sucesivas puede considerarse como un elemento sometido a la acción de dos fuerzas; las fuerzas internas en cualquier punto del cable se reducen a una fuerza de tracción dirigida a lo largo del cable. Ing Ernesto Ochat - Ing. Eduardo Warnholtz

CÁTEDRA ESTÁTICA

F.C.E.F.y N. – U.N.C.

3

Suponemos que cada una de las cargas actúa a lo largo de línea vertical dada, es decir, se conoce la distancia horizontal del soporte A a cada una de las cargas; también suponemos que conocen las distancias horizontal y vertical entre los soportes. Nos., proponemos determinar la forma del cable, es decir, la distancia vertical de A a cada punto C1, C2,… Cn. y también el esfuerzo T en cada porción del cable. Hacemos el diagrama de cuerpo libre de todo el cable

Como no se conocen las pendientes de las porciones de cable que se sujetan a A y B, cada una de las reacciones en A y B debe representarse por dos componentes. Por tanto, tenemos cuatro incógnitas y las tres ecuaciones de equilibrio no son suficientes para calcular las reacciones en A y B (esto se debe a que no es un cuerpo rígido, en consecuencia las ecuaciones de equilibrio representan condiciones necesarias pero no suficientes) En consecuencia, debemos plantear una ecuación adicional considerando el equilibrio, de una porción del cable. Esto es posible si conocemos las coordenadas x y, y de un punto D del cable. Haciendo el diagrama de cuerpo libre de la porción de cable AD

Ing Ernesto Ochat - Ing. Eduardo Warnholtz

CÁTEDRA ESTÁTICA

F.C.E.F.y N. – U.N.C.

4

y escribiendo ∑MD= 0 obtenemos una relación adicional entre las componentes escalares Ax, y Ay y podemos determinar las reacciones en A y B. Sin embargo, el problema continuaría siendo indeterminado sí no conocemos las coordenadas de D, o si no se especifica alguna relación entre Ax y Ay (o entre Bx y By). El cable podría colgar de varias maneras posibles, como se indica por las líneas a trazos de la de figura 2. Cuando Ax y Ay han sido calculadas, la distancia vertical de A a cualquier punto del cable puede encontrarse fácilmente. Por ejemplo considerando el punto C2, hacemos el diagrama de cuerpo libre de la porción de cable AC2

Igualando ∑Mc2= 0 obtenemos una ecuación de la cuál puede despejarse Y2. De ∑F x= 0 y ∑Fy= 0, obtenemos las componentes de la fuerza T que representa el esfuerzo en la porción de cable situado a la derecha de C2. Observamos que T cos Ǿ =Ax; la componente horizontal del esfuerzo en el cable es la misma en cualquier punto Por tanto el esfuerzo T es máximo cuando cos Ǿ es mínimo, es decir, en la porción de cable que tiene el máximo ángulo de inclinación Ǿ. Evidentemente, esta porción de cable debe ser adyacente a uno de los dos soportes del cable. Cables con cargas distribuidas por unidad horizontal. Consideremos un cable sujeto a dos puntos fijos A y B, que sostiene una carga distribuida

Vimos en la sección anterior que cuando un cable soporta cargas concentradas, la fuerza interna en cualquier punto es una fuerza de tracción dirigida a lo largo del cable. En el caso de un cable que soporta cargas distribuidas, el cable toma la forma de una curva y Ing Ernesto Ochat - Ing. Eduardo Warnholtz

CÁTEDRA ESTÁTICA

F.C.E.F.y N. – U.N.C.

5

la fuerza interna en un punto D es una fuerza de tracción T dirigida a lo largo de la tangente a la curva. Nos proponemos en esta sección determinar el esfuerzo en cualquier punto del cable para cierta carga distribuida. Considerando el caso más general de cargas distribuidas, hacemos el diagrama de cuerpo libre del segmento de cable que se extiende desde el punto más bajo C a un punto cualquiera D del cable. Las fuerzas que actúan sobre el cuerpo libre son la tracción To en C, que es horizontal, la tracción T en D, dirigida a lo largo de la tangente al cable en el punto D, y la resultante W de la carga distribuida sostenida por la porción de cable CD. Dibujando el triángulo de fuerzas correspondiente obtenemos las siguientes relaciones:

T2 = (T02+W2 )

De las relaciones vemos que la componente horizontal de la fuerza de tracción T es la misma en cualquier punto y que la componente vertical de T es igual a la magnitud W de la carga media desde el punto más bajo. Las relaciones muestran que la tracción T es mínima en el punto más bajo y máxima en uno de los dos puntos de soporte.

Ejercicio Nº 1 El cable AE sostiene tres cargas verticales en los puntos indicados . Si el punto C está 5 cm por debajo del soporte izquierdo, calcular a) Las alturas de los puntos B y D b) La pendiente máxima y la tensión máxima del cable.

Ing Ernesto Ochat - Ing. Eduardo Warnholtz

CÁTEDRA ESTÁTICA

F.C.E.F.y N. – U.N.C.

6

Hacemos el diagrama de cuerpo libre del cable completo.

Me= 0 = -Rah 20 - Rav 60 + 6 40 + 12 30 + 4 15 = 0 Operando -20Rah – 60Rav + 660 = 0 Del cuerpo ABC conocemos la ubicación exacta del punto C por lo tanto podemos tomar momento en ese punto Mc= 0 = Rah5 - Rav 30 + 6 10 = 0 operando tenemos -5Rah + 30Rav - 60 = 0 Las ecuaciones anteriores nos forman un sistemas de ecuaciones que podemos resolver Rah = 18 ; Rav = 5 Para determinar la altura del punto B realizamos el diagrama de cuerpo libre del tramo AB Mb = 0 = 18 Yb - 5 20 = 0 Despejando Yb tenemos Yb = 5.833 Observamos que la pendiente máxima se presenta en la porción DE Como la componente horizontal de la tensión es constante e igual a 18, escribimos Tang = 14.17 / 15 = 43.4 º Tmax = 18/ cos Tmax = 24.8

Ing Ernesto Ochat - Ing. Eduardo Warnholtz

CÁTEDRA ESTÁTICA

F.C.E.F.y N. – U.N.C.

7

Problemas para resolver Ejercicio Nº 2 Tres cargas se suspenden del cable, como se muestra en la figura, si hc=12p, hallar a) Las componentes de la reacción en E b) El valor máximo del esfuerzo en el cable.

Ejercicio Nº 3 Calcular en el ejercicio Nº 2 la flecha en el punto C, si el esfuerzo máximo en el cable es de 5 lb Ejercicio Nº 4 Si a = 2 m y b = 2.25 m, determinar las componentes de la reacción en E debida a la distribución de carga

Ejercicio Nº 5 Si en el ejercicio Nº4, a = b = 1. 25 m, encontrar las componentes de la reacción en E y la tensión máxima en el cable. Ejercicio Nº 6 En el ejercicio Nº4 hallar la distancia , si la porción de cable BC es horizontal y si el esfuerzo máxima en el cable 2600 N.

Ing Ernesto Ochat - Ing. Eduardo Warnholtz...