Informe final 2 de Fisica I PDF

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TRATAMIENTO DE DATOS EXPERIMENTALES FIEE/FISI...

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INFORME DE LABORATORIO N° 2 “TRATAMIENTO DE DATOS EXPERIMENTALES FIEE/FISI

I.

UNMSM

OBJETIVOS: 1. Aprender a organizar y graficar los datos experimentales haciendo uso de tablas y papeles gráficos. 2. Aprender técnicas de ajuste de curvas, principalmente el método de lineal y el método de mínimos cuadrados. 3. Aprender técnicas de ajuste de curvas, principalmente el método de regresión lineal y el método de mínimos cuadrados.

II.

MATERIALES : Calculadora científica (6) Hojas de papel milimetrado (2) Hojas de papel logarítmico (1) Hoja de papel semilogarítmico

Papel milimetrado

III.

Papel logarítmico Papel semilogarítmico

FUNDAMENTO TEÓRICO: Los datos teóricos en un proceso de medición se organizan en tablas. Las tablas de valores así confeccionadas nos informan acerca de las relaciones existentes entre una magnitud y otra. Una alternativa para establecer dichas relaciones es hacer representaciones gráficas en un sistema de ejes coordenados con divisiones milimetradas, logarítmicas y semilogarítmicas, según sea el caso, con el fin de encontrar gráficas lineales (rectas) para facilitarla construcción de las fórmulas experimentales que representen las leyes que gobiernan el fenómeno.

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UNMSM

USO DEL PAPEL MILIMETRADO: Empezamos graficando los valores de la tabla de datos en el papel milimetrado: 1. Siempre tenga cuidado de escribir los valores de la variable independiente en el eje de las abscisas y las variables dependientes en el eje de las coordenadas. 2. La distribución de puntos así obtenida se unen mediante una curva suave, usando una regla curva o trazo a media alzada. 3. La representaciones gráficas que aparecen con más frecuencia son:  Función lineal y = b + mx  Función Potencial y = k xn  Función Exponencial y = k 10xn Veamos el primer caso, si la distribución de puntos en el papel milimetrado es de tendencia lineal, entonces, se realiza el ajuste de la recta mediante el método de regresión lineal por mínimos cuadrados .Esto significa que la relación que se busca tiene la forma de una recta cuya ecuación es: y = mx + b En donde las constantes a determinar son: m la pendiente de la recta y b ordenada en el origen (intercepto), siguiendo el procedimiento que se detalla a continuación: Primero se construye una tabla de la forma:

Tabla 1 xi x1 x2 . . . xp

yi y1 y2 . . . yp

x i yi x1 y1 x2 y2 . . . xp yp

xi2 x12 x22 . . . xp2

∑ xi

∑ yi

∑ x i yi

∑ x2i

Luego se calcula la pendiente y el intercepto.

m=

p ∑ xi

y i−¿ ∑ x ∑ y i

2

p ∑ x i 2 ∑ y i −∑ x i ∑ x i y i 2

p ∑ x i −(∑ xi ) 2

i

p ∑ x i2−(∑ x i) ¿

;

b=

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En el segundo caso, cuando la distribución de puntos en el papel milimetrado no es de tendencia lineal; se pasan los datos de la tabla un papel logarítmico o semilogarítmico, en alguno de estos papeles la distribución de los puntos saldrá una recta.

USO DEL PAPEL LOGARÍTMICO: Las relaciones de la forma y = k xn ; ( n≠1 ), son funciones potenciales y sus gráficas en el papel logarítmico son rectas de pendientes m = n, que cortan el eje vertical en b = log k. Se recomienda preferentemente usar papel logarítmico 3x3; en donde cada ciclo está asociado a una potencia de base 10. El origen de un eje coordenado logarítmico puede empezar con …., 10-1 , 100 , 101 , 102 , 103 ,…etc. Al tomar logaritmo decimal a la ecuación y = k xn ; ( n≠1 ) obtenemos logy = mlogx + logk , que tiene la forma lineal Y = mX + b , en donde X = logx, Y = logy y b = logk .Concluimos entonces, que el método de regresión lineal puede ser aplicado a una distribución potencial de puntos, para ello se toma logaritmo decimal a cada uno de los datos de la tabla. Construya la siguiente tabla cuidando de colocar los valores con un mínimo de cuatro decimales de redondeo en cada columna.

xi

yi

Xi = log xi

Yi = log yi

Xi Yi =logxi logyi

Xi2=(log xi)2

x1 x2 . . . xp

y1 y2 . . . yp

log x1 log x2 . . . log xp

log y1 log y2 . . . log yp

logx1 logy1 logx2 logy2 . . . logxp logyp

(log x 1)2 (log x 2)2 . . . (log x p)2

∑ log x i

∑ log y i

∑ log x i log yi

∑ (log x i)2

Para determinar la ecuación de la recta en el papel logarítmico, se calculan ahora los valores de:

m= b=

p ∑ log xi log

y i−¿ ∑ log x ∑ log y i

i

p ∑ (logxi) −(∑ logxi ) ¿

2

2

;

p ∑ (logxi)2 ∑ logyi−∑ logxi ∑ logx i logyi 2

p ∑ (logxi )2−(∑ logx i)

Para encontrar la ecuación de la función potencial y = k xn graficada en el papel milimetrado debemos determinar los valores de m y k. Del párrafo anterior se tiene que m = n y k = 10.

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USO DEL PAPEL SEMILOGARÍTMICO: Para relaciones exponenciales de la forma y = k 10xn se utiliza papel semilogarítmico, ¿por qué? Construya adecuadamente su tabla para aplicar el método de regresión lineal.

EXTENSION DEL METODO DE REGRESION LINEAL: El estudio de este método relativamente sencillo y tiene doble interés: de un lado este tipo de diferencia es frecuente entre magnitudes físicas; por otro lado, muchas otras dependencias más complicadas pueden reducirse a la forma lineal mediante un cambio adecuado de variables, algunos casos se muestran en la siguiente tabla:

Forma inicial y = a x2 y = a √x y = a exp (nx) y = a xn

Cambio x2 = z √x = z ln(y) = z ; ln(a) = b ln(y) = z ; ln(a) = b ; ln(x) = t

Forma lineal y=az y=az z = nx + b z = b + nt

USO DE LA CALCULADORA CIENTIFICA: Estas calculadoras presentan la función LR del inglés linear regresión lo cual nos permite obtener en forma directa los valores del intercepto (A) y la pendiente (B) de la recta y el factor de correlación (r) usando el método de regresión lineal por mínimos cuadrados. Existen calculadoras modernas que grafican la tabla de datos y presentan otros modos de regresión tales como: lineal, logarítmica, exponencial, potencial, inversa y cuadrática, aquí el concepto del coeficiente de correlación juega un rol muy importante. Para hallar la fórmula experimental de la curva obtenida en papel milimetrado haga uso de la siguiente tabla: Distribución de puntos en Papel Papel Papel Milimetrado Logarítmico Semilogarítmic o Lineal Curva Lineal Curva Lineal Curva Lineal

USO DEL COMPUTADOR:

Calculadora Tipo Fórmula Regresión Lineal Potencial Exponencial Cuadrática

y = A + Bx y = AxB y = A exp(Bx) y = A + Bx + Cx2

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Se pueden construir programas en C, Fortran, Pascal o Basic para hacer los ajustes que se requieran. También se puede usar programas como Gnuplot, Micro cal Origen, entre otros. Pero el más accesible es el EXCEL que nos permite hacer gráficas y presentar las curvas de regresión con sus respectivas fórmulas de correspondencia y coeficientes de correlación.

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IV.

UNMSM

PROCEDIMIENTO: Se analizarán tres experimentos: la conducción de corriente por un hilo conductor de micrón, la evaluación de agua de un depósito y la actividad radiactiva del radón. 1. En la tabla 1 se tiene las medidas de intensidad de corriente eléctrica i conducida por un hilo conductor de nicrón y la diferencia de potencial V aplicada entre sus extremos. TABLA 1 i (A) 0.5 1.0 2.0 4.0

V (V) 2.18 4.36 8.72 17.44

2. La tabla 2 muestra las medidas del tiempo de vaciado (t) de un depósito con agua y las medidas de las alturas del nivel de agua para cuatro llaves de salida de diferentes diámetros (D). TABLA 2 h (cm) D (cm) 1.5 2.0 3.0 5.0 7.0

30

20 10 4 Tiempo de vaciado t (s) 59.9 43.0 26.7 33.7 23.7 15.0 14.9 10.5 6.8 5.3 3.9 2.6 2.7 2.0 1.3

73.0 41.2 18.4 6.8 3.2

1 13.5 7.8 3.7 1.5 0.8

3. La tabla 3 muestra los porcentajes de las medidas de la actividad radiactiva del radón. El día cero se detectó una desintegración de 4.3 x 1018 núcleos.

TABLA 3

t (dias) A (%)

0 100

1 84

2 70

3 59

4 49

5 41

6 34

7 27

8 24

9 20

10 17

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UNMSM

V. APLICACIONES 1. Grafique las siguientes distribuciones: De la Tabla 1: a) Grafique en una hoja de papel milimetrado V vs. i.

De la Tabla 2: b) En una hoja de papel milimetrado grafique t vs. D. para cada una de las alturas. c) En una hoja de papel milimetrado grafique t vs. h. para cada diámetro. d) En una hoja de papel logarítmico grafique t vs. D. para cada una de las alturas. e) En una hoja de papel logarítmico grafique t vs. h. para cada diámetro. f) Haga el siguiente cambio de variables z = 1/D 2 y grafique t = t (z) en papel milimetrado.

De la Tabla 3: g) En una hoja de papel milimetrado grafique A vs. T. h) En una hoja de papel semilogarítmico A vs. T.

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2. Hallar las fórmulas experimentales: Regresión Lineal por mínimos Cuadrados (RLMC)

x

∑¿

¿ ¿ P ∑ x 2−¿ ∑ x 2 ∑ y−∑ x ∑ xy b= ¿ x

∑¿

¿ ¿ P ∑ x2 −¿ P ∑ xy −∑ x ∑ y m= ¿ a) Obtenga las formulas experimentales usando el método de regresión lineal. para las gráficas obtenidas en los casos a), d), e), f) y h).

CASO A) V vs. i. Voltaje (v)

Intensidad(A)

Yi 2.18 4.36 8.72 17.44

Xi 0.5 1 2 4

∑ Yi=32.7

Xi.Yi 1.09 4.36 17.44 69.76

∑ Xi=7.5

∑ Xi .Yi=92.65

Xi2 0.25 1 4 16

∑ Xi 2=21.25

Por el método de regresión lineal por mínimos cuadrados. Luego se calcula la pendiente y el intercepto.

m=

b=

4 ( 92.65 )−( 7.5)(32.7 ) 2 4 ( 21.25 )−(7.5 )

=

(21.25) ( 32.7 )−( 7.5)( 92.65) 4 ( 21.25 ) −(7.5 )2

125.35 28.75 =

= 4.36

0 28.75

=0

y = 4.36

b=0

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ECUACIÓN DE LA TABLA:

Diámetro

Tiempo de vaciado

D (cm)

t (s)

Y

=

UNMSM

4.36 X

x log D

y log t

xy log t log D

x2 D log ¿ ¿ ¿ ¿

1.5

73

0.1760

1.863

0.327

0.0309

2

41.2

0.3010

1.614

0.784

0.0906

3

18.4

0.4771

1.264

0.603

0.2276

5

6.8

0.6989

0.8325

0.581

0.4884

7

3.2

0.8450 2.498

0.505 6.0793

0.426 2.721

0.714 1.5515

CASO D) H=30 cm



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Para

Diámetro

Tiempo de vaciado

D (cm)

t (s)

UNMSM

x log D

y log t

xy log t × log D

1.5

59.9

0.1760

1.777

0.312

0.0309

2

33.7

0.3010

1.527

0.459

0.0906

3 5 7

1409 5.3 2.7

0.4771 0.6989 0.8450

1.173 0.724 0.431

0.559 0.506 0.364

0.2276 0.4884 0.714

2.498

5.632

2.2

1.5515



hallar el intercepto (b) y la pendiente (m) :

b=

( 1.5515) ( 6,0793 )−(2.498 )(2.422 ) 3.381 = =2.228 1.517 5 ( 1.5515) −2.4982

m=

5 ( 2.422 )−(2.498 )(6.0793 ) −3.076 = =−2.027 1.517 5 (1.5515 ) −2.498 2

Ecuación de la tabla:

Y

=

102.228 X−2.027

H=20 cm

2

x D log ¿ ¿ ¿ ¿

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UNMSM

Para hallar el intercepto (b) y la pendiente (m) :

b=

( 1.5515) ( 5.632) −(2.498 )(2.2) 3.2424 = =2.137 2 1.517 5( 1.5515 )−2.498

m=

5 ( 2.2 )−(2.498 )(5.632 ) −3.0687 = =−2.022 1.517 5 ( 1.5515)−2.498 2

ECUACIÓN DE LA TABLA:

Y

=

102.137 X−2.022

H=10 cm Diámetro

Tiempo de vaciado t (s)

x

y

xy

x2

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log D

D (cm)

UNMSM

log t

log t log D

D log ¿ ¿ ¿ ¿

1.5

43

0.1760

1.6334

0.2874

0.0309

2

23.7

0.3010

1.4424

0.4341

0.0906

3

10.5

0.4771

1.0211

0.4871

0.2276

5

3.9

0.6989

0.591

0.413

0.4884

7

2

0.8450

0.301

0.2543

0.714

2.498

4.9889

1.8759

1.5515



Para hallar el intercepto (b) y la pendiente (m) :

b=

( 1.5515) ( 4.9889 )−( 2.498 )(1.8759 ) 3.054 =2.013 = 1.517 5 ( 1.5515) −2.4982

m=

5 (1.8759 )−( 2.498 )( 4.9889 ) −3.082 = =−2.032 2 1.517 5 ( 1.5515 ) −2.498

ECUACIÓN DE LA TABLA:

H= 4

Y

=

102.013 X−2.032

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Diámetro

Tiempo de vaciado t (s)

D (cm)

x log D

UNMSM

y log t

xy log t log D

x2 D log ¿ ¿ ¿ ¿

1.5

26.7

0.1760

1.4265

0.251

0.0309

2

15

0.3010

1.176

0.3539

0.0906

3

6.8

0.4771

0.8325

0.3971

0.2276

5

2.6

0.6989

0.4149

0.2899

0.4884

7

1.3

0.8450

0.1139

0.0962

0.714

2.498

3.9638

1.3881

1.5515



Para hallar el intercepto (b) y la pendiente (m) :

b=

( 1.5515) ( 3.9638 )−(2.498 )(1.3881) 2.961 = =1.434 2 1.517 5 (1.5515 ) −2.498

m=

(1.5515 )( 1.3881 )−(2.498 )(3.9638 ) −2.961 = =−1.951 1.517 5 ( 1.5515 )−2.498 2

ECUACIÓN DE LA TABLA:

Y

=

101.434 X−1.951

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UNMSM

H=1 cm Diámetro

Tiempo de vaciado

x log D

t (s) D (cm)

y log t

xy log t log D

x2 D log ¿ ¿ ¿ ¿

1.5

13.5

0.1760

1.1303

0.1989

0.0309

2

7.8

0.3010

0.892

0.2684

0.0906

3

3.7

0.4771

0.5682

0.271

0.2276

5

1.5

0.6989

0.176

0.123

0.4884

7

0.8

0.8450

-0.096

0.0811

0.714

2.498

2.6705

0.7802

1.5515



Para hallar el intercepto (b) y la pendiente (m) :

b=

( 1.5515) ( 2.6705 )−(2.498 )(0.7801 ) 2.1945 = =1.446 1.517 5 ( 1.5515) −2.4982

m=

(5 ) ( 0.7801 )−( 2.498)(2.6705 ) −2.7704 = =−1.826 1.517 5 ( 1.5515 )−2.4982

ECUACIÓN DE LA TABLA:

Y

=

101.446 X−1.8260

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UNMSM

CASO E) D= 1.5 cm h

t

H

T

H.T

H2

30 20

73.00 59.90

1.4771 1.3010

1.8633 1.7774

2.7522 2.3141

2.1818 1.6926

10 4

43.00 26.00

1.0000 0.6020

1.6334 1.4149

1.6334 0.8517

1.0000 0.3624

1 ∑

13.00

0.0000 4.3801

1.1205 7.8095

0.0000 7.5514

0.0000 5.2368

b=

2 (∑ H ∗∑ T −∑ H∗∑ H ∗T )

P∗∑ H 2−∑ H

m=

2

P∗∑ HT −∑ H∗∑ T P ∑ H 2 −∑ H

2

T =A H B

b=

(5.2368∗7.3811 − 4.3811∗7.5514) =1.1177 5∗5.2368− 4.38112

m=

(5∗7.5514 −4.3811∗7.8095) =0.5068 5∗5.2368− 4.38112

B=m=0.5068

A=10 b=101.1177 =13.1129

T =13.1129∗H 0.5068

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UNMSM

D= 2 cm h

t

H

T

H.T

H2

30

41.20

1.4771

1.6148

2.3852

2.1818

20

33.70

1.3010

1.5276

1.9874

1.6926

10

23.70

1.0000

1.3747

1.3747

1.0000

4

15.00

0.6020

1.176

0.7079

0.3624

1

7.80

0.0000

0.892

0.0000

0.0000

4.3801

6.5851

6.4552

5.2368

∑

b=

(∑ H 2∗∑ T −∑ H∗∑ H ∗T ) P∗∑ H 2−∑ H

m=

2

P∗∑ HT −∑ H∗∑ T P ∑ H 2 −∑ H

2

T =A∗H B

b=

(5.2368∗6.5851 −4.3811∗6.4552) =0.8875 5∗5.2368 −4.38112

m=

(5∗6.4552− 4.3811∗6.5851) =0.4901 5∗5.2368− 4.38112

B=m=0.4901

A=10 b=100.8875 =7.7179

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