Inl vectoranalyse hfdst 03 2013 inwendig en uitwendig vectorproduct pdf PDF

Preview

Summary

Download Inl vectoranalyse hfdst 03 2013 inwendig en uitwendig vectorproduct pdf PDF

Description

INLEIDING VECTORANALYSE Hoofdstuk 3: het inwendig- en het uitwendig vectorproduct 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5

Inleiding Het inwendig vectorproduct Het uitwendig vectorproduct Opgaven Addendum

3.1 Inleiding 3.11 Bij de vectoranalyse zijn de volgende producten gedefinieerd: a. het (gewone) product van twee of meer getallen (twee of meer scalairen) met elkaar; hierbij geldt de commutatieve wet; zijn er drie of meer getallen, dan geldt ook de associatieve wet; ga na wanneer de distributieve wet geldt; zie ook opgave 3.41 ! b.

het product van een getal (of een scalar) en een vector; daarbij wordt de lengte van de vector, dus ook iedere component van deze vector, met dat getal vermenigvuldigd; bij een negatief getal draait dus de richting van de vector om; als regel zal het getal reëel zijn, positief of negatief; hierbij geldt de commutatieve wet. NOOT 1: Ga na wat er gebeurt indien we meerdere vectoren met het zelfde getal vermenigvuldigen of een vector met meerdere getallen vermenigvuldigen. NOOT 2: vermenigvuldigen met nul, levert de nul-vector, waaraan geen richting kan worden toegekend;

c

het inwendig product (ook wel scalarproduct) van twee vectoren met elkaar (in het Engels: dot product) en

d.

het uitwendig product (ook wel vectorproduct) van twee vectoren met elkaar (in het Engels: cross product)

Dit hoofdstuk behandelt de onder c) en d) genoemde producten.

FTeW Inleiding vecoranalyse; collegejaar 2013-2014; docent o. spong; hoofdstuk 03; blz 2 uit 9 ============================================================

NOOT 1:

De vectoren zullen worden aangeduid met a, b etc ; de lengtes van de vectoren met |a|, |b| of a, b etc. Vanaf hoofdstuk 5 worden bij het werken met velden, hoofdletters voor de vectoren gebruikt.

NOOT 2:

In hoofdstuk 4 komen producten van drie en meer vectoren aan de orde

3.12 Zie bijv ook : http://nl.wikipedia.org/wiki/Associativiteit_%28wiskun de%29 http://nl.wikipedia.org/wiki/Distributiviteit http://en.wikipedia.org/wiki/Dot_product http://www.algebralab.org/lessons/lesson.aspx?file=Trigonometry_TrigVectorDot Prod.xml http://mathworld.wolfram.com/DotProduct.html http://en.wikipedia.org/wiki/Cross_product http://cnx.org/content/m13603/latest/ 3.2 Het inwendig vectorproduct (Dot product) 3.21 Het inwendig vectorproduct of scalar vectorproduct van twee vectoren wordt aangegeven middels een punt (dot) tussen de beide vectoren: a.b . def

a.b = a b cos(φ)= a [b cos(φ)]= b [a cos(φ)] (R 3.01) Daarbij is φ de (kleinste of grootste) hoek tussen a en b. Merk op dat de uitkomst een scalar is. Merk op dat deze vermenigvuldiging commutatief is: a.b = b.a

FTeW Inleiding vecoranalyse; collegejaar 2013-2014; docent o. spong; hoofdstuk 03; blz 3 uit 9 ============================================================ NOOT 1 Herlees paragraaf 2.22 i.v.m de hoek tussen 2 vectoren. Omdat cos( 2 π – φ) = cos(φ), mogen we zowel de kleinste als de grootste hoek kiezen. NOOT 2:

in sommige boeken wordt de uitdrukking van paragraaf 3.27 als de definitie gegeven.

Noot 3:

Zie opgave 3.42

3.22 Uit de definitie volgt: a.b = b.a (Commutatieve eigenschap) Ga dat na !! 3.23 Aan a.b kan de meetkundige interpretatie geven worden van: b maal [de loodrechte projectie van a op de werklijn van b] = b [a cos(φ) ] of a maal [de loodrechte projectie van b op de werklijn van a] = a [b cos(φ) ] Zie de figuur hierna.

Fig 3.01 3.24 Door uit te gaan van meetkundige constructies betreffende het optellen van vectoren en het loodrecht projecteren van vectoren op lijnstukken, wordt bewezen: a.(b + c) = (a.b) + (a.c)

FTeW Inleiding vecoranalyse; collegejaar 2013-2014; docent o. spong; hoofdstuk 03; blz 4 uit 9 ============================================================ (Distributieve eigenschap) Indien a, b en c in één plat vlak liggen is het meetkundige bewijs eenvoudig. Probeer dit bewijs zelf te leveren ! Hieruit volgt onder meer: (a + b ) . ( c + d ) = c.(a + b)+ d.(a = (c.a) + (c.b) + = (a.c) + (b.c) +

= (a + b).c + (a + b).d = + b)= (d.a) + (d.b) = (a.d) + (b.d)

Ga na dat we de distributieve en de commutatieve eigenschappen gebruikt hebben.

NOOT:

3.25 Door uitschrijven vinden we: (a. kb ) = a k b cos(φ) = k a b cos(φ)= k (a.b), waarbij k een getal of een scalar is, meestal reëel . 3.26 Ga na dat het inwendig product van twee vectoren die loodrecht op elkaar staan, nul is. 3.27 (a.b) in een Cartesiaans assenstelsel In een Cartesiaans assenstelsel geldt: (a.b) = (ax i + ay j + az k ) . (bx i + by j + bz k) = = NOOT:

ax bx

+

ay by

+

az bz

(Ga dat na !!)

Zie ook opgave 3.43

3.3 Het uitwendig vectorproduct 3.31 Het uitwendig vectorproduct van twee vectoren wordt aangegeven middels een kruis (cross) tussen de beide vectoren: a x b . def a x b = (a b)sin(φ) en (R 3.02) Daarbij is en de eenheidsvector die loodrecht staat op het vlak door a en b , volgens de kurkentrekkerregel van a naar b over de kleinste hoek tussen a en b.

FTeW Inleiding vecoranalyse; collegejaar 2013-2014; docent o. spong; hoofdstuk 03; blz 5 uit 9 ============================================================ Ook in sin(φ) is φ de kleinste hoek tussen de beide vectoren, dus: (0 ≤ φ ≤ π ). NOOT 1:

Merk op dat de uitkomst weer een vector is. In de wiskunde wordt dit een “pseudo-vector” genoemd. Zie bijv. http://en.wikipedia.org/wiki/Pseudovector

NOOT 2:

Merk op dat we nu moeten kiezen tussen de kleinste en de grootste hoek tussen de vectoren , omdat sin(2 π – φ) = - sin(φ). We kiezen de kleinste hoek!

NOOT 3:

Merk op dat sin(π) nul is, zodat het in dat geval niet alleen onmogelijk, maar ook onnodig is om aan te geven wat de kleinste hoek is.

3.32 Uit de definitie volgt: (a x b) = - (b x a) (Waar volgt dat uit ? Denk aan de kurkentrekkerregel)) 3.33 Aan |a x b| (absolute waarde) = (a b) sin(φ) = a (b sin(φ)) = b ( a sin(φ)) , kan de meetkundige interpretatie geven worden van het oppervlak van het parallellogram dat gevormd wordt door a en b. Ga dat na !

Fig 3.02 3.34 Door uit te gaan van meetkundige constructies betreffende het optellen van vectoren en het loodrecht projecteren van vectoren op het vlak V loodrecht op a (waarbij een parallellogram na projectie nog steeds

FTeW Inleiding vecoranalyse; collegejaar 2013-2014; docent o. spong; hoofdstuk 03; blz 6 uit 9 ============================================================ een parallellogram is) en het draaistrekken van vectoren, wordt bewezen:

a x( b + c ) = (a x b )

+ (a x c )

(Distributieve eigenschap) Zie verder het addendum, paragraaf 3.5 . Hieruit volgt onder meer: (a + b ) x( c + d ) = (a + b ) x c + (a + b ) x d = = - c x (a + b ) - d x (a + b ) = = - (c x a) – (c x b) – (d x a) – (d x b) = = (a x c) + (a x d) + (b x c) + (b x d) NOOT:

Ga na dat we de distributieve en de commutatieve eigenschappen gebruikt hebben.

3.35 Door uitschrijven vinden we:(a x k b )= a k b sin(φ)en = k a b sin(φ) en = k (a x b), waarbij k een scalar is, meestal reëel. 3.36 In een Cartesiaans assenstelsel geldt: (a x b) = (ax i + ay j + az k ) x (bx i + by j + bz k) = (ax bx)(i x i)+(ax by)(i x j)+ ax bz)(i x k)+ ……. =

(ay bz –az by)i + (az bx –az by)j + (ax by –ay bx)k

Dit resultaat kunnen we handig als de determinant van een vierkante matrix weergeven, met name :

i (a x b ) ≡

ax bx

j ay by

k az bz

Cartesiaans assen stelsel !

Ga na dat ook hieruit volgt dat (a x b) = -(b x a). (Wat gebeurt er met een determinant indien we twee rijen verwisselen ?) 3.37 Zie opgave 3.46

FTeW Inleiding vecoranalyse; collegejaar 2013-2014; docent o. spong; hoofdstuk 03; blz 7 uit 9 ============================================================ 3.4 Opgaven 3.41 Wat zijn de associatieve wet, de distributieve wet en de commutatieve wet bij een gewone vermenigvuldiging van getallen ? Noot:Zie bijv http://nl.wikipedia.org/wiki/Associativiteit_(wiskunde) http://nl.wikipedia.org/wiki/Distributiviteit http://nl.wikipedia.org/wiki/Commutativiteit 3.42 Bereken ( i.i), (i.j) (i.k) etc 3.43 Controleer door uitschrijven van de componenten dat in een cartesiaans assenstelsel geldt: a . ( b + c ) = (a . b ) + (a . c ) Daarbij hoeven deze 3 vectoren niet in één plat vlak te liggen. Stel a = ax i + ay j + az k etc. 3.44 Bereken ( i x i), (i x j), (i x k) etc 3.45 Controleer door uitschrijven van de componenten dat in een cartesiaans assenstelsel geldt: a x( b + c ) = (a x b ) + (a x c ) Daarbij hoeven deze 3 vectoren niet in één plat vlak te liggen. 3.46 Toon aan : a.a = a2 3.471

Toon aan : cos(φ) sin(φ)

= [(a.b)/a b] = |(a x b)|/a b

(kleinste hoek !: (0 ≤ φ ≤ π ).

Noot 1:

Merk op dat bij het gebruiken van deze relaties geldt -1 ≤ cos(φ) ≤ 1 maar 0 ≤ sin(φ) ≤ 1. Verklaar dat.

NOOT 2:

Let op de absoluut streepjes bij |(a x b)| ! Waarom zijn die nodig ?

NOOT 3:

Merk op dat daaruit volgt: [(a.b)]2 + [|(a x b)|]2 = (a b)2

FTeW Inleiding vecoranalyse; collegejaar 2013-2014; docent o. spong; hoofdstuk 03; blz 8 uit 9 ============================================================ Ga zelf na voor welke waarden van φ dit geldt ! 3.472De vectoren a, b en c liggen in één vlak; b en c staan loodrecht op elkaar. Ontbindt a in b en c en geef de twee componenten door gebruik te maken van het inwendig product van 2 vectoren. Kunnen we het inwendig product ook gebruiken indien b en c NIET loodrecht op elkaar staan ? Maak een tekening ! 3.48 a =

( i + j + k )

en b =

( i + 2j + 3k )

Bereken cos(φ) en sin(φ) tussen deze vectoren. Toon aan dat geldt : cos2(φ) + sin2(φ) = 1

3.5

Addendum Meetkundige afleiding van a x (b + c)= (a x b) + (a x c ); a, b en c willekeurig , maar niet samenvallend. Stap 1 Breng door de oorsprong het vlak V1 aan,loodrecht op a . Breng verder het vlak V2 aan door a en b . V2 staat loodrecht op V1 omdat a loodrecht op V1 staat. NOOT:

Denk er aan dat a

en b

niet samenvallen !

Stap 2 Projecteer in V2 het eindpunt van b op vlak V1. Dit levert de vector b* met de lengte [b sin(Φ)]. Daarbij is Φ de kleinste hoek tussen a en b . De vectoren a , b en b* liggen dus in V2, met b* ook in V1, langs de snijlijn van V1 en V2. Eenvoudig is aan te tonen dat (a x b) = (a x b*) (Zelfde richting = loodrecht op V2, volgens de kurkentrekker regel van a naar b of van a naar b*; zelfde grootte = [a b sin(Φ)] respectievelijk [a (b sin(Φ)] sin(π/2).

FTeW Inleiding vecoranalyse; collegejaar 2013-2014; docent o. spong; hoofdstuk 03; blz 9 uit 9 ============================================================ Stap 3 Projecteer nu ook de vectoren c en [(b + c ) = p ] op V1. Dit levert de vectoren c* en p* (naast b*) in V1. Bij de projectie gaan evenwijdige lijnstukken van gelijke lengte over in andere lijnstukken, nog steeds evenwijdig en nog steeds van gelijke lengte. Het parallellogram dat door b en c wordt opgespannen om p te verkrijgen, gaat dus over in een ander parallellogram (liggend in V1). In dit tweede parallellogram is p* de diagonaal vanuit de oorsprong, dus geldt: b* + c* = p* Stap 4 De vector (a x b*) krijgen we door een draaistrekking van b* in V1: draaien over (π/2) en strekken met de factor a. Dit geldt ook voor c* en p* . NOOT: Ga na dat de draaiing over (π/2)van b*, c* en p*, steeds in dezelfde draairichting is (of steeds met de wijzers van de klok mee, of steeds tegen de wijzers van de klok in). Bedenk dat b*, c* en p* in V1 liggen en dus loodrecht staan op a. Na de respectievelijk draaistrekkingen gaan b*, c* en p* over in b** , c** en p**. Daarbij is het tweede parallellogram overgegaan in een derde parallellogram, opgespannen door b** en c**, waarbij p** de diagonaal is. Dat betekent dat geldt : p** = b** + c** Stap 5 Nu geldt dus: (a x b ) + (a x c ) = (a x b*) + (a x c*) = b** + c** = p** = (a x p*) = (a x p) = [a x (b + c )] q.e.d....