Insiemi N, Z, Q e prop. potenze PDF

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Riassunti di matematica su insiemi N, Z, Q e proprietà delle potenze ...

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! ! ! INSIEME DEI NUMERI NATURALI - N! Si possono rappresentare i numeri naturali su una semiretta, in cui i numeri sono segnati su delle tacche poste alla stessa distanza. ! ! ! ! ! I numeri naturali sono infiniti, il loro insieme viene indicato con la lettera N.! ! Proprietà:! • E’ ordinato, scelti due numeri uno sarà inevitabilmente minore dell’altro! • Lo zero precede tutti gli altri numeri naturali ! • Non esiste alcun numero naturale successivo a tutti gli altri —> infiniti! ! Addizione: 3 + 4! ! ! ! ! Elemento neutro: lo zero si dice elemento neutro dell’addizione, lascia invariato qualsiasi numero addizionato ad esso. —> 0 + 16 = 16! ! 1. Proprietà commutativa dell’addizione:! Se in una addizione cambi l’ordine degli addendi, il risultato non cambia.! ! 5 + 7 = 12 —> 7 + 5 = 12! ! ! 2. Proprietà associativa dell’addizione: ! Se in una addizione sostituiamo agli addendi la loro somma il risultato non cambia. ! ! 6+2+3=11 —> 8+3=11 —> 6+5=11! ! ! ! ! ! Se decido di sommare più volte uno stesso numero, posso facilitare l’operazione con una moltiplicazione:! 4 + 4 + 4 = 12 —> 4 x 3= 12! ! ! Moltiplicazione con fattore 0 e 1:! n x 0 = 0! nx1=n! 1. Proprietà commutativa della moltiplicazione:! Se in una moltiplicazione cambi l’ordine dei fattori il risultato non cambia

5 x 9 = 45 —> 9 x 5 = 45! ! ! 2. Proprietà associativa della moltiplicazione: ! Se in una moltiplicazione sostituiamo ai fattori il loro prodotto, il risultato non cambia. ! ! 4 x 3 x 6 = 72 —> 12 x 6 = 72 —> 4 x 18 = 72 ! ! ! ! ! 3. Proprietà dissociativa della moltiplicazione:! In una moltiplicazione, a un fattore si possono sostituire due o più fattori il cui prodotto sia uguale al fattore iniziale. ! ! 80 = 8 x 10 —> (4 x 2) x 10 = 80! ! ! 4. Proprietà distributiva della moltiplicazione:! Per moltiplicare un numero ad una somma possiamo moltiplicare ciascun addendo della somma e poi sommare i risultati ottenuti.! ! (3 + 4) x 8 = 3 x 8 + 4 x 8! ! La sottrazione è l’operazione inversa dell’addizione. Quesa però NON è sempre possibile. Possiamo effettuare una sottrazione quando il minuendo è maggiore o uguale al sottraendo.! ! 10 - 2 = 8 ! ! 2 - 10 = ???? ! !

10 - 2 = 8! ! ! !

INSIEME DEI NUMERI RELATIVI - Z! !! I numeri relativi, detti anche numeri interi relativi o numeri interi ed indicati con il simbolo Z, sono per definizione tutti i numeri interi e sono caratterizzati da un segno positivo, nullo o negativo (+, 0, -).$! ! COSA SONO I NUMERI RELATIVI?!! $! Per introdurre i numeri relativi ci serve una piccola premessa. Alla scuola primaria ci insegnano che una sottrazione in cui il minuendo (numero che precede il segno meno) è minore del sottraendo "non si può fare", come ad esempio 12-15 oppure 67-121.$! $! Vi sarà capitato di sentire al meteo: "Oggi il termometro a Roma segna 8 gradi centigradi. Per domani è prevista una diminuzione di 10 gradi".$! $!

Definizione di numero relativo: si dice numero relativo un numero preceduto da un segno che può essere più (+) o meno (-), oppure zero.$! Vi facciamo notare che nella precedente definizione ho parlato di numero in generale, senza specificare di che tipo. Il motivo è che qualsiasi "tipo di numero" (naturale, decimale, razionale o irrazionale) può essere preceduto da un segno!$! $! NUMERI INTERI RELATIVI !! Riguardiamo sotto questa nuova ottica i numeri naturali (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...). Possiamo pensare ad essi come agli stessi numeri preceduti dal segno + e quindi scrivere:$! (0, +1, +2, +3, +4, +5, +6, ...)$! da cui dovrebbe venire spontaneo considerare anche gli stessi numeri preceduti dal segno meno:$! (-1, -2, -3, -4, -5, -6, ...)$! $! ... -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ...$! $! sono quelli che si dicono numeri interi relativi, cioè non sono altro che numeri naturali (interi) preceduti da un segno. $! Inoltre, per come è stato definito, l'insieme dei numeri naturali è un sottoinsieme proprio dell'insieme dei numeri relativi.$! $! NUMERI INTERI RAZIONALI!! Così come appena fatto per i numeri naturali, possiamo considerare anche i numeri razionali (frazioni) e anteporre ad esse un segno: -1/2$! $! In questo caso parleremo di numeri razionali relativi, che altro non sono se non i numeri razionali (frazioni) precedute da un segno.$! $! VALORE ASSOLUTO DI UN NUMERO RELATIVO!! Abbiamo appena visto che un numero relativo è formato da un numero preceduto da un segno (più o meno). Spesso è necessario considerare il numero relativo "senza il segno". Parleremo in questo caso di valore assoluto.$! Consideriamo il numero -7. Si dice valore assoluto di -7 e si indica con |-7| il numero privato del segno —>$! |-7| = 7$! $! $! NUMERI RELATIVI CONCORDI, DISCORDI, OPPOSTI E UGUALI ! !! -% Due numeri relativi si dicono concordi se hanno lo stesso segno: +2 e +3$! -% Due numeri relativi si dicono discordi se hanno segno diverso: +2 e -3$! -% Due numeri relativi si dicono opposti se hanno stesso valore assoluto e sono discordi: +5 e -5$! -% Due numeri relativi si dicono uguali se hanno stesso segno e stesso valore assoluto: +7 e +7$!

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INSIEME DEI NUMERI RAZIONALI RELATIVI - Q! ! L'insieme Q rappresenta l'insieme dei numeri razionali relativi, ossia l'insieme di tutti i numeri che possono essere espressi tramite frazione e che sono preceduti da segno positivo (+), negativo (-) o nullo. ! ! Proprietà dell'insieme Q:! 1) L'insieme Z dei numeri interi relativi è un sottoinsieme proprio dell'insieme Q, ossia ! Z c Q! ! ! ! ! ! ! ! ! ! Infatti, ciascun numero intero si può scrivere come frazione il cui denominatore è 1, quindi i numeri interi relativi possono essere pensati come numeri razionali e di conseguenza ogni elemento dell'insieme Z appartiene all'insieme Q.! ! 2) L'insieme Q è un insieme infinito, cioè con infiniti elementi.! ! 3) Addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione sono operazioni interne all'insieme Q. Ciò vuol dire che somma algebrica, prodotto e rapporto tra due numeri razionali è ancora un numero razionale.! ! 4) L'estrazione di radice non è un'operazione interna all'insieme Q. Ad esempio, calcolando la radice di 2 si ottiene un numero decimale non periodico per cui non esiste una frazione generatrice.! Questa proprietà ha portato all'introduzione dell'insieme dei numeri irrazionali (R) che si definisce come differenza tra l'insieme dei numeri reali e l'insieme dei numeri razionali! % I = R - Q! !

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! ! PROPRIETÀ DELLE POTENZE...