Esercizi sugli insiemi numerici PDF

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Testi di esercizi sui numeri reali 1

Esercizio

Sia E = {2

(−1)n n2

: n ∈ N}. Determinare sup E, inf E, max E (se esiste), min E (se esiste). Dire se E è finito, giustificando la risposta.

2

Esercizio 1. Dare la definizione di maggiorante di un insieme di numeri reali. 2. Trovare, se esistono, l’estremo superiore, l’estremo inferiore, il massimo e il minimo dell’insieme E = {3(−1) n , n ∈ N}. n

(Prova d’esame del 12/11/2003).

3

Esercizio

L’insieme E =

n

sin

³

π n 2

´ o , n ∈ N è:

✷ limitato con sup E = , inf E =

✷ illimitato

✷ esiste max E =

✷ non esiste max E

✷ esiste min E = (Prova d’esame del 12/02/2004).

✷ non esiste min E

1

4

Esercizio 1. Dare la definizione di massimo di un insieme. n , n ∈ N}, trovare sup E, inf E e, se 2. Dato l’insieme E = {(−1)n n+1

esistono, min E e max E .

(Prova d’esame del 21/02/2005).

5

Esercizio

Per ciascuno dei tre insiemi 1. EN = {4 < x2 ≤ 10 : x ∈ N} 2. EQ = {4 < x2 ≤ 10 : x ∈ Q} 3. ER = {4 < x2 ≤ 10 : x ∈ R} dire se è un insieme limitato (e in tal caso indicare un maggiorante e un minorante) e indicarne, se esistono, il massimo e il minimo. (Prova d’esame del 14/11/2006).

6

Esercizio 1. Dimostrare che l’estremo inferiore di un insieme, se esiste, è unico. 2. Trovare, se esistono, estremo inferiore e superiore, massimo e minimo dei seguenti insiemi: (a) EN = {n ∈ N : log(n − 5) ≤ 1} (b) EQ = {x ∈ Q : log(x − 5) ≤ 1} (c) ER = {x ∈ R : log(x − 5) ≤ 1}.

(Prova d’esame del 14/11/2006). 2

7

Esercizio

o n , n ∈ N , dire se Dato l’insieme dei numeri reali E = (−1)n + cos n−1 n tale insieme risulta limitato. In caso affermativo, determinarne l’estremo superiore e l’estremo inferiore e gli eventuali massimo e minimo. (Prova d’esame del 13/11/2007).

3

Testi di esercizi sui numeri complessi 8

Esercizio

Dati z1 = 1+ i, z2 = −2(1+ i) trovare quei numeri z tali che |z −z1 | < |z −z2 |

e interpretare geometricamente il risultato.

9

Esercizio

Calcolare le radici quarte del numero complesso: α = 8(1 +

√

3i).

Disegnare poi le immagini dei numeri complessi tali che (z + 2i)4 = 8(1 +

10

Esercizio

Risolvere l’equazione z 10 = (1 + i)z 2 .

4

√

3i).

11

Esercizio

Determinare i numeri complessi z tali che w = zz + z 2 + i − 1 sia un numero reale positivo. Disegnare poi nel piano complesso le immagini di tali z . (Prova d’esame del 21/02/2005).

12

Esercizio

Determinare i numeri complessi z che soddisfano il seguente sistema: ( |z − i| < |z + 1| z 5 = 2i

e disegnarne le immagini nel piano complesso. (Prova d’esame del 13/02/2006).

13

Esercizio

Determinare e disegnare nel piano complesso l’insieme delle soluzioni del seguente sistema: (

Rez Imz ≤ 0

|z + 2| < |z − 2i|

(Prova d’esame del 25/09/2006).

14

Esercizio

³ ´ Sia dato il numero complesso α = 2 cos 8π + i sin π8 . Determinare i numeri

complessi z tali che αz sia immaginario puro con Im(z) > 0. (Prova d’esame del 14/11/2006).

5

15

Esercizio

A quale quadrante appartiene l’immagine nel piano di Gauss del numero complesso

1 ? 2+5i

(Prova d’esame del 14/11/2006).

16

Esercizio

Risolvere nel campo complesso l’equazione z 6 + 5 z = 0. (Prima prova in itinere del 14/11/2006).

17

Esercizio

Risolvere il sistema

(

|z| = |z − 1|

|z| = |z 2 |

e rappresentarne le soluzioni nel piano complesso. (Prova d’esame del 19/02/2007).

18

Esercizio

Dati i numeri complessi z1 = 2+i e z2 = 2−i, siano A e B le loro immagini sul piano. Deteminare e disegnare il luogo dei punti P tali che AP 2 − BP 2 = 8. (Prova d’esame del 5/09/2007).

19

Esercizio

Risolvere nel campo complesso la seguente equazione: z = −iz 3 |z| 6

e segnare le soluzioni nel piano di Gauss. (Prova d’esame del 13/11/2007).

20

Esercizio

Risolvere l’equazione (z 4 − 4)(|z| − 4) = 0 in C e indicarne le soluzioni sul piano di Gauss.

(Prova d’esame del 18/02/2008).

7...