Integración por sustitución trigonométrica PDF

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Explicación teórica, casos generales y solución paso a paso de un ejemplo....

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04-junio-2020 Integración por sustitución trigonométrica Sustitución trigonométrica Ahora que se pueden evaluar integrales que implican potencias de funciones trigonométricas, se puede utilizar la sustitución trigonométrica para evaluar integrales que implican a los radicales. √𝑎 2 − 𝑢 2 ,

√𝑎2 + 𝑢 2 ,

√ 𝑢 2 − 𝑎2

El objetivo con sustitución trigonométrica es eliminar el radical en el integrando. Esto se hace mediante el uso de las identidades pitagóricas. 𝑐𝑜𝑠2 𝜃 = 1 − 𝑠𝑒𝑛2 𝜃

𝑠𝑒𝑐2 𝜃 = 1 + 𝑡𝑎𝑛2 𝜃

𝑡𝑎𝑛2 𝜃 = 𝑠𝑒𝑐 2 𝜃 − 1

Por ejemplo, para 𝑎 > 0, sea 𝑢 = 𝑠𝑒𝑛 𝑢 , donde − 𝜋⁄ 2 ≤  ≤ 𝜋 ⁄2 . Entonces: √𝑎2 − 𝑢 2 = √𝑎2 − 𝑎 2 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 = √𝑎2 (1 − 𝑠𝑒𝑛 2 𝜃) = √𝑎2 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 = 𝑎 𝑐𝑜𝑠𝜃

Observe que 𝑐𝑜𝑠 𝜃 ≥ 𝜃, porque − 𝜋⁄ 2 ≤  ≤ 𝜋 ⁄2 . Sustitución trigonométrica (a > 0) 1. Para integrales que implican √𝑎 2 − 𝑢 2 , sea: 𝑢 = 𝑎 𝑠𝑒𝑛𝜃

Entonces √𝑎 2 − 𝑢 2 = 𝑎 𝑐𝑜𝑠𝜃, donde: − 𝜋 ⁄2 ≤  ≤ 𝜋⁄2

2. Para integrales que implican √𝑎2 + 𝑢 2 , sea: 𝑢 = 𝑎 𝑡𝑎𝑛𝜃

Entonces √𝑎2 + 𝑢 2 = 𝑎 𝑠𝑒𝑐𝜃, donde: − 𝜋 ⁄2 ≤  ≤ 𝜋⁄2

3. Para integrales que implican √𝑢 2 − 𝑎 2 , sea: 𝑢 = 𝑎 𝑠𝑒𝑐𝜃

04-junio-2020 Entonces: √𝑢 2 − 𝑎 2 = {

𝑎 𝑡𝑎𝑛𝜃 para 𝑢 > 𝑎, donde 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋⁄2 −𝑎 𝑡𝑎𝑛𝜃 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑢 < −𝑎, 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝜋 ⁄ 2 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋

Las restricciones sobre 𝜃 aseguran que la función que define la sustitución es uno a uno. De hecho, estos son los mismos intervalos sobre los que se definen el arcoseno, arcotangente y arcosecante. Ejemplo 34 Sustitución trigonométrica 𝒖 = 𝒂 𝒔𝒆𝒏𝜽 Encuentre: ∫ Solución:

𝑑𝑥

𝑥 2 √9 − 𝑥 2

En primer lugar, no se aplica ninguna de las reglas básicas de integración. Para utilizar la sustitución trigonométrica, debe observar que: √9 − 𝑥 2

Es de la forma √𝑎 2 − 𝑢 2 . Así, puede utilizar la sustitución: 𝑥 = 𝑎 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 3 𝑠𝑒𝑛𝜃

Usando la derivación y el triángulo que se muestra en la figura 5, obtiene: 𝑑𝑥 = 3 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑𝜃, √9 − 𝑥 2 = 3 𝑐𝑜𝑠𝜃 y 𝑥 2 = 9 𝑠𝑒𝑛 2 𝜃 Así, la sustitución trigonométrica da como resultado: ∫

𝑑𝑥

𝑥 2 √9 − 𝑥 2

=∫

3 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑𝜃 (9 𝑠𝑒𝑛2 𝜃)(3 𝑐𝑜𝑠𝜃)

1 𝑑𝜃 = ∫ 9 𝑠𝑒𝑛2 𝜃

1 = ∫ 𝑐𝑠𝑐 2 𝜃𝑑𝜃 9

1 = − 𝑐𝑜𝑡 𝜃 + 𝐶 9

1 √9 − 𝑥 2 )+𝐶 =− ( 𝑥 9

04-junio-2020 =−

√9 − 𝑥 2 + 𝐶 9𝑥

Observe que el triángulo en la figura 5 se puede utilizar para convertir las 𝜃′𝑠 de nuevo en 𝑥′𝑠, como se muestra: 𝑐𝑜𝑡 𝜃 = =

adyacente opuesto

√9 − 𝑥 2 9𝑥

𝑥

Figura 5. 𝑠𝑒𝑛 𝜃 = , 𝑐𝑜𝑡 𝜃 = 3

√9−𝑥 2 9𝑥

....