Integral Gaussiana PDF

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Summary

Solución a la Integral Gaussiana por varios métodos...

Description

=2

Z

0

∞

4α3 π

 21

2

x2 e−αx dx

I =2



4α3 π

I=

Z

1 Z 2

∞ 2 −αx2

x e 0

∞ 2

x2 e−αx dx 0

dx = 2



4α3 π

1 2

·I

=

Z

∞ −αx2

e 0

dx

Z

0

∞ −αx2

e

1 dx = 2

r

π α

=

Z

∞

2

e−x dx −∞

J

K

J=

=

Z

∞ 2

e−x dx

K=

−∞

J =2·K F (t)

Z

∞ 2

e−x dx 0

K

F (t) =

Z

2

2

e−t (1+x ) dx (1 + x2 )

∞ 0

t

x F (0) =

F (∞) = 0 t

π 2

x F (0) =

Z

∞ 0

∞  1 π π dx = arctan x  = − 0 = 2 2 2 (1 + x ) 0

dF (t) = F ′ (t) = dt

′

F (t) =

Z

∞ 0

−t2 (1+x2 )

Z

✘e ✘ dx = (1✘ +✘x2✘) ✘ 0

(1✘ +✘ x2 ) −2t✘

Z

∞ 0

2

2

∂ e−t (1+x ) dx ∂t (1 + x2 )

∞ 2 (1+x2 )

−2te−t

x 2

F ′ (t) = −2te−t

Z

∞ 0

dx = −2t

Z

∞ 0

2

2

e−t · e−(tx) dx

t

2

e−(tx) dx = −2t❈ e−t

2

Z

∞

e−u 0

2

1 2 du = −2e−t t❈ u = tx

dx = 1t du K 2

2

F ′ (t) = −2e−t · K = −2 · K · e−t

Z

∞

2

e−u du 0

du = tdx

Z

∞

F ′ (t)dt = F (∞) − F (0)

0

Z

∞

0

F ′ (t)dt = F (∞) − F (0) = 0 − Z

2

F ′ (t) = −2 · K · e−t K

π π =− 2 2

∞ 0

F ′ (t)dt = F (∞) − F (0) = −

x Z

t

∞

0

2

−2 · K · e−t dt = −2 · K

Z

∞

|0

K Z

√ π K= 2

2

e−t dt = −2 · K 2 {z }

=K

∞

0

2 · K2 = −

π 2

F ′ (t)dt = −2 · K 2

√ π π π → −K 2 = − → K = 4 2 2

√ π √ = π J =2·K =2· 2 Z ∞ √ 2 = e−x dx = π

→

−∞

o

∞ x

α α

G(α) G(α) =

Z

∞

2

e−αx dx = 0

1 2

r

√ π −1 π = α 2 α 2

I Z

∞ 2

x2n e−αx dx

0

G(α) dI(α) d = dα dα

Z

0

∞ 2 −αx2

−x e

Z

∞

2

e−αx dx =

Z

∞

0

0

α

∂ −αx2 d e dx = dα ∂α

 √ π −1 α 2 2

r √ √ Z ∞ 1 π −3 1 π −3 1 π 2 −αx2 2 2 x e dx = α α → dx = − = 2 2 2 2 4 α3 0 I n ∂ n −αx2 2 e = (−1)n x2n e−αx ∂αn 1

α− 2

1 dn − 1 (2n)! α 2 = (−1)n 2n α−(n+ 2 ) n dα 2 n! G(α)

G(α) =

Z

∞

|0

−αx2

e {z

dx = }

primeraf orma

I

(n)

√ π − 21 α | 2 {z }

segundaforma

(α) =

Z

0

I (n) (α) =

∞

∂ n −αx2 e dx ∂αn

√ π dn − 1 α 2 2 dαn

Z Z

∞

∞ 0

√ ∂ n −αx2 π dn − 1 e dx = α 2 2 dαn ∂αn

2

√ 1 (2n)! π ✘✘ (−1)n 2n α−(n+ 2 ) ✘ 2 2 n!

2

√ π (2n)! −(n+ 1 ) 2 α 2 22n n!

n 2n −αx ✘✘ (−1) x e dx = ✘

0

Z

∞

x2n e−αx dx =

0

n=1 2



4α3 π

1



2

·I =2

4α3 π

 21

1 · 4

r

π =1 α3

1

I −∞

∞

I= Z

∞

−∞

Z

Z

∞ 2

e−x dx −∞

∞ 2 −y 2

e−x

dxdy

−∞

I2 Z

∞

−∞

Z

∞

2 −y 2

e−x −∞

dxdy =

Z

∞

Z

∞

2

2

e−x e−y dxdy =

−∞ −∞

Z

∞ 2

e−x dx −∞

Z

∞

−∞

2

e−y dy = I · I = I 2

x

y

y

y

x I I2

I2 =

Z

I ∞ Z

−∞

∞

−∞

2 −y 2

e−x

dxdy

−∞ +∞ y −∞ +∞ r 2π 0 ∞ 2 2 e−x −y −x2 − y2 = −(x2 + y2 ) −r 2 Z ∞ Z 2π 2 2 I = e−r rdθdr x

θ

0

0

0

rdθdr

dxdy θ r

2

I = 2π

Z

θ

∞ 2

e−r rdr

0

I 2 = 2π

Z

∞

2

e−r rdr = 2π 0

(−e−r 2

2

∞ )  = 0 − 2π( −1 ) = π  2

I2 = π → I =

0

√ π

|θ...