INTEGRAL KOMPLEKS PDF

Preview

Summary

MAKALAH INTEGRAL KOMPLEKS Diajukan untuk memenuhi tugas mata kuliah Fungsi Kompleks I yang diampuh oleh: Nurwan, S.Pd. M.Si Oleh: MUHAMMAD BACHTIAR GAIB (412-417-043) JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI GORONTALO 2019 KATA PENG...

Description

MAKALAH INTEGRAL KOMPLEKS Diajukan untuk memenuhi tugas mata kuliah Fungsi Kompleks I yang diampuh oleh:

Nurwan, S.Pd. M.Si

Oleh: MUHAMMAD BACHTIAR GAIB (412-417-043)

JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI GORONTALO 2019

KATA PENGANTAR

Puji syukur saya panjatkan kehadirat Allah SWT. atas rahmat, karunia, keesahannya saya dapat menyelesaikan penyusunan makalah ini guna memenuhi tugas mata kuliah Fungsi Kompleks I.

Penyusunan makalah ini merupakan salah satu tugas dari dosen mata kuliah Fungsi Kompleks I di Universitas Negeri Gorontalo.

Dalam penyusunan makalah ini, saya merasa masih banyak kekurangankekurangan baik pada teknis penulisan maupun materi, mengingat akan kemampuan yang dimiliki, untuk itu kritik dan saran dari semua pihak sangat diharapkan demi penyempurna penyusunan makalah ini.

Akhir kata saya berharap semoga Allah SWT. meridhoi atas pembuatan makalah ini, Amin Yaa Robbal ‘Alamiin.

Gorontalo,

Mei 2019

Muhammad Bachtiar Gaib

i

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR ......................................................................................................... i DAFTAR ISI....................................................................................................................... ii BAB I : PENDAHULUAN 1. LATAR BELAKANG .................................................................................................... 1 2. RUMUSAN MASALAH ................................................................................................ 1 3. TUJUAN ......................................................................................................................... 2 BAB II : PEMBAHASAN 1. LINTASAN..................................................................................................................... 3 2. INTEGRAL LINTASAN................................................................................................ 5 3. INTEGRAL LINTASAN KOMPLEKS ......................................................................... 6 4. PENGINTEGRALAN CAUCHY .................................................................................. 8 5. INTEGRAL TENTU DAN INTEGRAL TAK TENTU ................................................ 9 6. RUMUS INTEGRAL CAUCHY ................................................................................... 9 7. AKIBAT INTEGRAL CAUCHY................................................................................. 11 BAB III : PENUTUP 1. KESIMPULAN ............................................................................................................. 13 2. SARAN ......................................................................................................................... 13 DAFTAR PUSTAKA ....................................................................................................... 14

ii

BAB I PENDAHULUAN

1. Latar Belakang Integral kompleks dikenal sebagai teori fungsi variabel yang kompleks. Integral kompleks merupakan cabang dari analisis matematis yang menyelidiki fungsi dari bilangan kompleks. Hal ini berguna dalam banyak cabang matematika, termasuk geometri aljabar, teori bilangan, matematika terapan, serta dalam fisika, termasuk hidrodinamika, termodinamika, teknik mesin dan teknik elektro. Misalkan 𝐹(𝑡) adalah fungsi kompleks dari variabel rill t, ditulis sebagai 𝐹(𝑡) = 𝑢(𝑡) + 𝑖. 𝑣(𝑡) dengan 𝑢(𝑡) dan 𝑣(𝑡) adalah fungsi riil. Jika 𝑢(𝑡) dan 𝑣(𝑡) kontinu pada interval tertutup 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏, maka 𝑏

𝑏

𝑏

∫ 𝐹(𝑡) 𝑑𝑡 = ∫ 𝑢(𝑡) 𝑑𝑡 + 𝑖 ∫ 𝑣(𝑡) 𝑑𝑡 𝑎

𝑎

𝑎

Sifat-sifat integral kompleks: 𝑏

𝑏

𝑏

𝑏

1. Re (∫𝑎 𝐹 (𝑡) 𝑑𝑡) = ∫𝑎 Re(𝐹 (𝑡)) 𝑑𝑡 2. Im (∫𝑎 𝐹 (𝑡) 𝑑𝑡) = ∫𝑎 Im(𝐹 (𝑡)) 𝑑𝑡 𝑏

𝑏

3. ∫𝑎 𝑘. 𝐹 (𝑡) 𝑑𝑡 = 𝑘 ∫𝑎 𝐹 (𝑡) 𝑑𝑡 𝑏

𝑎

4. ∫𝑎 𝐹 (𝑡) 𝑑𝑡 = − ∫𝑏 𝐹 (𝑡) 𝑑𝑡 𝑏

𝑏

5. |∫𝑎 𝐹 (𝑡) 𝑑𝑡| = ∫𝑎 |𝐹(𝑡)| 𝑑𝑡 2. Rumusan Masalah a. Bagaimana bentuk-bentuk dari Lintasan? b. Bagaimana cara untuk menghitung Integral Lintasan? c. Bagaimana cara untuk menghitung Integral Lintasan Kompleks? 1

d. Bagaimana bentuk Pengintegralan Cauchy? e. Bagaimana bentuk Integral Tentu dan Integral Tak Tentu? f. Bagaimana cara untuk menghitung menggunakan rumus Integral Cauchy? g. Apa saja akibat dari Integral Cauchy?

3. Tujuan a. Agar mengetahui Bentuk-Bentuk dari Lintasan. b. Agar mengetahui cara untuk menghitung Integral Lintasan. c. Agar mengetahui cara untuk menghitung Integral Lintasan Kompleks. d. Agar mengetahui bentuk Pengintegralan Cauchy. e. Agar mengetahui bentuk Integral Tentu dan Integral Tak Tentu. f. Agar mengetahui cara untuk menghitung menggunakan rumus Integral Cauchy. g. Agar mengetahui akibat dari Integral Cauchy.

2

BAB II PEMBAHASAN

1. Lintasan Jika g dan h fungsi bernilai riil dan kontinu dari variabel t dalam interval tertutup 𝑎  𝑡  𝑏, maka himpunan titik-titik di bidang xy dapat dinyatakan dalam bentuk parametrik 𝑥  𝑔(𝑡), 𝑦  ℎ(𝑡), 𝑎  𝑡  𝑏. Oleh karena itu, himpunan titiktitik dalam bidang kompleks juga dapat dinyatakan dalam bentuk parametrik.

Definisi 1.1 Kurva di bidang datar merupakan kurva mulus (smooth curve) jika dan hanya jika kurva tersebut dapat dinyatakan dengan dua fungsi bernilai riil 𝑥  𝑔(𝑡), Sedemikian sehingga

𝑑𝑥 𝑑𝑡

𝑦  ℎ(𝑡),

= 𝑔′(𝑡) dan

𝑑𝑦 𝑑𝑡

𝛼 𝑡 𝛽

= ℎ′(𝑡) ada dan kontinu dalam interval

𝛼  𝑡  𝛽.

CONTOH 1 Kurva dengan bentuk parametrik 𝑥  2 cos 𝑡 , 𝑦  2 sin 𝑡 , 0  𝑡 

3𝜋 2

merupakan kurva mulus.

Jika C merupakan kurva mulus dengan bentuk parametrik: 𝑥  𝑔(𝑡),

𝑦  ℎ(𝑡),

𝛼 𝑡 𝛽

Maka 

Titik pada C yang berpadanan dengan 𝑡 = 𝛼 disebut titik awal C.



Titik pada C yang berpadanan dengan 𝑡 = 𝛽 disebut titik akhir C.

Selanjutnya, C disebut lintasan (path) bila C terdiri dari berhingga banyak kurva mulus, 𝐶 = 𝐶1 + 𝐶2 + ⋯ + 𝐶𝑛

3

Dengan 𝐶1 , 𝐶2 , … , 𝐶𝑛 merupakan kurva mulus. Pengertian lintasan ini sangat penting dalam integral fungsi kompleks karena berperan sebagai selang pengintegralan dalam integral fungsi riil dari satu variabel.

CATATAN:  C disebut lintasan tertutup jika titik akhir C berimpit dengan titik awal C  C disebut lintasan terbuka jika titik akhir C tidak berimpit dengan titik awal C  C disebut lintasan sederhana jika lintasan tidak memotong dirinya sendiri  C disebut lintasan berganda jika lintasan memotong dirinya sendiri

Teorema 1.1 (Kurva Jordan) Jika C lintasan tertutup sederhana di bidang datar, maka bidang datar itu dibagi oleh C menjadi 3 bagian, yaitu: 1) Kurva C. 2) Bagian dalam C, ditulis 𝐼𝑛𝑡(𝐶), yang merupakan himpunan terbuka dan terbatas. 3) Bagian luar C, ditulis 𝐸𝑥𝑡(𝐶), yang merupakan himpunan terbuka dan tidak terbatas. Kurva C merupakan batas dari himpunan 𝐼𝑛𝑡(𝐶) dan 𝐸𝑥𝑡(𝐶).

4

2. Integral Lintasan Misalkan kurva mulus C disajikan dengan 𝑥  𝑔(𝑡), 𝑦  ℎ(𝑡), 𝑎  𝑡  𝑏, 𝑔(𝑡) dan ℎ(𝑡) kontinu di 𝑎  𝑡  𝑏. 𝑔′(𝑡) dan ℎ′(𝑡) kontinu di 𝑎  𝑡  𝑏. Kurva C mempunyai arah dari titik awal 𝐴(𝑔(𝑎), ℎ(𝑎)) ke titik akhir 𝐵(𝑔(𝑏), ℎ(𝑏)) dan 𝑃(𝑥, 𝑦) suatu fungsi yang terdefinisi di C.

Teorema 2.1 1) Jika 𝑃(𝑥, 𝑦) kontinu di C, maka ∫𝐶 𝑃(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥 dan ∫𝐶 𝑃(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑦 ada dan 𝑏

∫ 𝑃(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑃[𝑔(𝑡). ℎ(𝑡)]𝑔′(𝑡) 𝑑𝑡 𝐶

𝑎 𝑏

∫ 𝑃(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑦 = ∫ 𝑃[𝑔(𝑡). ℎ(𝑡)]ℎ′(𝑡) 𝑑𝑡 𝐶

𝐵

𝑎

𝐴

2) ∫𝐴 𝑃(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥 = − ∫𝐵 𝑃(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥 3) Jika 𝑃(𝑥, 𝑦) dan 𝑄(𝑥, 𝑦) kontinu di C, maka ∫ 𝑃(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥 + ∫ 𝑄(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥 = ∫ {𝑃(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥 + 𝑄(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥} 𝐶

𝑐

𝑐

Teorema 2.2 Jika 𝑃(𝑥, 𝑦) dan 𝑄(𝑥, 𝑦) serta turunan parsial tingkat pertama kontinu pada seluruh daerah tertutup R yang dibatasi lintasan tertutup C, maka ∮ {𝑃 𝑑𝑥 + 𝑄 𝑑𝑦} = ∬ [ 𝐶

𝑅

𝜕𝑄 𝜕𝑃 − ] 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑦

CONTOH Tentukan integral garis fungsi 𝑀(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 𝑦 sepanjang lintasan 𝐶 + 𝐾 dengan C : garis dari (0,0) ke (2,0) dan K : garis dari (2,0) ke (2,2).

5

Penyelesaian: 𝐶 ∶ 𝑦 = 0, 0 ≤ 𝑥 ≤ 2 𝐾 ∶ 𝑥 = 2, 0 ≤ 𝑦 ≤ 2 Pada kurva C : 𝑑𝑦 = 0 dan pada kurva K : 𝑑𝑥 = 0

∫

𝑀(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑀(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥 + ∫ 𝑀(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥

𝐶+𝐾

𝐶

∫

𝐾

𝑀(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥 = ∫ (𝑥 + 𝑦) 𝑑𝑥

𝐶+𝐾

𝐶

2

∫

𝑀(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥 𝑑𝑥

𝐶+𝐾

∫

0

𝑀(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥 = 2

𝐶+𝐾

∫

𝑀(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑦 = ∫ 𝑀(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑦 + ∫ 𝑀(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑦

𝐶+𝐾

𝐶

∫

𝐾

𝑀(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑦 = ∫ (𝑥 + 𝑦) 𝑑𝑦

𝐶+𝐾

𝐶

2

∫

𝑀(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑦 = ∫ (2 + 𝑦) 𝑑𝑦

𝐶+𝐾

0

∫

𝑀(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑦 = 6

𝐶+𝐾

3. Integral Lintasan Kompleks Diberikan lintasan C dalam bentuk parametrik 𝑥 = 𝑔(𝑡), 𝑦 = ℎ(𝑡) dengan 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏. 𝑔(𝑡) dan ℎ(𝑡) kontinu di 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏. 𝑔′(𝑡) dan ℎ′(𝑡) kontinu di 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏. Jika 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦, maka titik-titik z terletak di C. Arah pada kurva C (𝑔(𝑎), ℎ(𝑎))

6

ke (𝑔(𝑏), ℎ(𝑏)) atau dari 𝑧 = 𝑎 sampai 𝑧 = 𝑏 dengan 𝛼 = (𝑔(𝑎), ℎ(𝑎)) dan 𝛽 = (𝑔(𝑏), ℎ(𝑏)).

Definisi 3.1 Diberikan fungsi 𝑓(𝑧) = 𝑢(𝑥, 𝑦) + 𝑖𝑣(𝑥, 𝑦) dengan u dan v fungsi dari t yang kontinu sepotong-potong pada 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏. Integral fungsi 𝑓(𝑧) sepanjang lintasan C dengan arah dari 𝑧 = 𝛼 sampai 𝑧 = 𝛽 adalah 𝛽

𝑏

∫ 𝑓(𝑧) 𝑑𝑧 = ∫ 𝑓[𝑔(𝑡) + 𝑖ℎ(𝑡)] {𝑔′ (𝑡) + 𝑖ℎ′ (𝑡)} 𝑑𝑡 𝛼

𝑎

CONTOH 2

Hitunglah ∫𝛾 𝑧𝑒 𝑧 𝑑𝑧 jika 𝛾 : garis lurus dari 𝑧0 = 𝑖 ke 𝑧1 = 2 + 𝑖 Penyelesaian: 𝑧0 = 𝑖

𝑧1 = 2 + 𝑖

(0,1)

(2,1)

Persamaan garis 𝛾 ∶ 𝑦 = 1 dan mempunyai bentuk parametrik 𝑥 = 𝑔(𝑡) = 𝑡

, 𝑡 ∈ [0,2]

𝑦 = ℎ(𝑡) = 1

(4.1)

Dari (4.1) diperoleh: 𝑧 = 𝑔(𝑡) + 𝑖ℎ(𝑡) = 𝑡 + 𝑖 𝑑𝑧 = {𝑔′ (𝑡) + 𝑖ℎ′ (𝑡)} 𝑑𝑡 = 1 𝑑𝑡 2

2

Karena 𝑓(𝑧) = 𝑧𝑒 𝑧 maka 𝑓[𝑔(𝑡) + 𝑖ℎ(𝑡)] = 𝑓(𝑡 + 𝑖) = (𝑡 + 𝑖)𝑒 (𝑡+𝑖)

Sehingga, 2

∫ 𝑧𝑒 𝛾

𝑧2

2

𝑑𝑧 = ∫(𝑡 + 𝑖) 𝑒 (𝑡+𝑖) 1 𝑑𝑡 0 2 2

= ∫(𝑡 + 𝑖) 𝑒 (𝑡+𝑖) 𝑑𝑡

(gunakan subtitusi : 𝑢 = (𝑡 + 𝑖)2)

0

7

1 = [𝑒 3+4𝑖 − 𝑒 −1 ] 2

4. Pengintegralan Cauchy Teorema 4.1 (Teorema Cauchy) Jika 𝑓(𝑧) analitik dan 𝑓 ′ (𝑧) kontinu di dalam dan pada lintasan tertutup sederhana C, maka ∮𝑐 𝑓(𝑧) 𝑑𝑧 = 0.

Teorema 4.2 (Teorema Cauchy-Goursat) Jika 𝑓(𝑧) analitik di dalam dan pada lintasan tertutup sederhana C, maka ∮𝑐 𝑓(𝑧) 𝑑𝑧 = 0.

Teorema 4.3 (Bentuk Lain Teorema Cauchy-Goursat) Jika fungsi 𝑓(𝑧) analitik di seluruh domain terhubung sederhana D, maka untuk setiap lintasan tertutup C di dalam D, berlaku ∮𝐶 𝑓(𝑧) 𝑑𝑧 = 0. Teorema 4.4 (Teorema Cauchy-Goursat yang diperluas) Diberikan suatu lintasan tertutup C, sedangkan 𝐶1 , 𝐶2 , … , 𝐶𝑛 adalah lintasanlintasan tertutup yang terletak di interior C sedemikian sehingga 𝐶1 , 𝐶2 , … , 𝐶𝑛 tidak saling berpotongan. Jika fungsi 𝑓(𝑧) analitik di dalam daerah tertutup yang terdiri dari titik-titik pada C dan titik-titik di dalam C, kecuali titik-titik interior 𝐶1 , 𝐶2 , … , 𝐶𝑛 , maka

8

∮ 𝑓(𝑧) 𝑑𝑧 = ∮ 𝑓(𝑧) 𝑑𝑧 + ∮ 𝑓(𝑧) 𝑑𝑧 + ⋯ + ∮ 𝑓(𝑧) 𝑑𝑧 𝐶

𝐶1

𝐶2

𝐶𝑛

5. Integral Tentu dan Integral Tak Tentu Jika fungsi f analitik di dalam domain terhubung sederhana D, maka 𝐹(𝑧) = 𝑍

∫𝑍 𝑓(𝜉) 𝑑𝜉 mempunyai turunan untuk setiap titik z di dalam D dengan 𝐹 ′ (𝑧) = 0

𝑓(𝑧), asalkan lintasan pengintegralan dari 𝑧0 ke z seluruhnya terletak di dalam D. Jadi, 𝐹(𝑧) juga analitik di dalam D.

Teorema 5.1 Jika 𝛼 dan 𝛽 di dalam D, maka 𝛽

∫ 𝑓(𝑧) 𝑑𝑧 = 𝐹(𝛽) − 𝐹(𝛼) 𝛼

6. Rumus Integral Cauchy Teorema 6.1 (Rumus Integral Cauchy) Jika 𝑓(𝑧) analitik di dalam dan pada lintasan tertutup C dan 𝑧0 sebarang titik di dalam C, maka

9

𝑓(𝑧0 ) =

1 𝑓(𝑧) ∮ 𝑑𝑧 2𝜋𝑖 𝐶 𝑧 − 𝑧0

atau 𝑓(𝑧0 ). 2𝜋𝑖 = ∮

𝐶

𝑓(𝑧) 𝑑𝑧 𝑧 − 𝑧0

Turunan Fungsi Analitik

CONTOH Hitung ∮𝐶

𝑑𝑧 𝑧−3

dengan C : |𝑧 − 2| = 2

Penyelesaian: Diambil : 𝑓(𝑧) = 1 (𝑓(𝑧) analitik di dalam dan pada C) 𝑧0 = 3 di dalam C 𝑓(𝑧0 ) = 𝑓(3) = 1 Menggunakan rumus Integral Cauchy, diperoleh ∮ 𝐶

𝑑𝑧 = 2𝜋𝑖. 𝑓(𝑧0 ) = 2𝜋𝑖. 1 = 2𝜋𝑖 𝑧−3

10

7. Akibat Integral Cauchy Berikut ini adalah beberapa teorema-teorema yang merupakan akibat dari Integral Cauchy, antara lain: a. Teorema 7.1 (Teorema Morera) Jika 𝑓(𝑧) kontinu dalam domain terhubung D dan untuk setiap lintasan tertutup C dalam D berlaku ∫𝐶 𝑓(𝑧) 𝑑𝑧 = 0, maka 𝑓(𝑧) analitik di seluruh D. b. Teorema 7.2 (Teorema Liouville) Jika 𝑓(𝑧) analitik dan |𝑓(𝑧)| terbatas di seluruh bidang kompleks, maka 𝑓(𝑧) adalah suatu fungsi konstan.

c. Teorema 7.3 (Teorema Modulus Maksimum) Jika 𝑓(𝑧) analitik di dalam dan pada suatu kurva tertutup sederhana C dan 𝑓(𝑧) bukan merupakan konstanta, maka nilai maksimum dari |𝑓(𝑧)| terletak pada C.

d. Teorema 7.4 (Teorema Modulus Minimum) Jika 𝑓(𝑧) analitik di dalam dan pada suatu kurva tertutup sederhana C dan 𝑓(𝑧) ≠ 0 di dalam C, maka |𝑓(𝑧)| mencapai nilai minimum pada C.

e. Teorema 7.5 (Ketaksamaan Cauchy) Jika 𝑓(𝑧) analitik di dalam dan pada lintasan tertutup sederhana C : |𝑧 − 𝑧0 | = 𝑟, dan 𝑓(𝑧) terbatas pada C, |𝑓(𝑧)| ≤ 𝑀, ∀𝑧 ∈ 𝐶 maka |𝑓"(𝑧0 )| ≤

𝑛! 𝑀 𝑟𝑛

Untuk 𝑛 = 0, 1, 2, …

f. Teorema 7.6 (Dasar Aljabar) Setiap

persamaan

suku

banyak

𝑃(𝑧) = 𝑎0 + 𝑎1 𝑧 + 𝑎2 𝑧 2 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑧 𝑛

berderajat 𝑛 ≥ 1 dan 𝑎𝑛 ≠ 0 memiliki paling sedikit satu akar. Ini mengakibatkan bahwa 𝑃(𝑧) = 0 memiliki n akar.

11

g. Teorema 7.7 (Nilai Rata-Rata Gauss) Jika 𝑓(𝑧) analitik di lingkaran C dengan pusat a dan berjari-jari r, maka 𝑓(𝑎) adalah nilai rata-rata dari 𝑓(𝑧) pada C, yaitu 1 2𝜋 𝑓(𝑎) = ∫ 𝑓(𝑎 + 𝑟𝑒 𝑖𝜃 ) 𝑑𝜃 2𝜋 0 h. Teorema 7.8 (Rumus Integral Poisson Untuk Suatu Lingkaran) Misalkan 𝑓(𝑧) analitik di dalam dan pada lingkaran C yang di definisikan oleh |𝑧| = 𝑅. Jika 𝑧 = 𝑟𝑒 𝑖𝜃 suatu titik di dalam C, maka 2𝜋

(𝑅 2 − 𝑟 2 )𝑓(𝑅𝑒 𝑖𝜃 ) 1 𝑓(𝑟𝑒 𝑖𝜃 ) = ∫ 2 𝑑𝜙 2𝜋 𝑅 − 2𝑅𝑟 cos(𝜃 − 𝜙) + 𝑟 2 0

Jika 𝑢(𝑟, 𝜃) dan 𝑣(𝑟, 𝜃) adalah bagian real dan peta dari 𝑓(𝑟𝑒 𝑖𝜃 ) sedangkan 𝑢(𝑅, 𝜙) dan 𝑣(𝑅, 𝜙) adalah bagian real dan peta dari 𝑓(𝑅𝑒 𝑖𝜃 ), maka 2𝜋

(𝑅 2 − 𝑟 2 )𝑢(𝑅, 𝜙) 1 𝑢(𝑟, 𝜃) = ∫ 2 𝑑𝜙 2𝜋 𝑅 − 2𝑅𝑟 cos(𝜃 − 𝜙) + 𝑟 2 0

dan 2𝜋

(𝑅 2 − 𝑟 2 )𝑣(𝑅, 𝜙) 1 𝑣(𝑟, 𝜃) = ∫ 2 𝑑𝜙 2𝜋 𝑅 − 2𝑅𝑟 cos(𝜃 − 𝜙) + 𝑟 2 0

12

BAB III PENUTUP

1. Kesimpulan Integral kompleks dikenal sebagai teori fungsi variabel yang kompleks. Integral kompleks merupakan cabang dari analisis matematis yang menyelidiki fungsi dari bilangan kompleks. Hal ini berguna dalam banyak cabang matematika, termasuk geometri aljabar, teori bilangan, matematika terapan, serta dalam fisika, termasuk hidrodinamika, termodinamika, teknik mesin dan teknik elektro.

Integral kompleks terdapat beberapa pokok pembahasan antara lain lintasan, integral lintasan, integral lintasan kompleks, pengintegralan Cauchy, integral tentu dan integral tak tentu, rumus integral Cauchy dan akibat integral Cauchy.

2. Saran Agar pembaca lebih mengetahui dan lebih memahami konsep dari Integral Kompleks.

13

DAFTAR PUSTAKA

Churchill, RV & Brown JW. 2009. Complex Variables and Applications. New York: McGraw-Hill.

Hasugian, M. Jimmy & Agus Prijono. 2006. Menguasai Analisis Kompleks dalam Matematika Teknik. Bandung: Rekayasa Sains

Martono, Koko. 2005. Peubah Kompleks. Jakarta: Erlangga

Paliouras, John D. 1987. Terjemahan, Peubah Kompleks Untuk Ilmuwan dan Insinyur. Jakarta: Erlangga

14...