Integrali tripli 2018 - Slide della professoressa Caire, secondo anno di ingegneria civile, edile, per PDF

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Slide della professoressa Caire, secondo anno di ingegneria civile, edile, per l'ambiente e il territorio ma adatto a tutti i corsi di laurea...

Description

Integrali tripli

1

Integrali tripli su parallelepipedi Iniziamo integrando su un parallelepipedo B=[a,b]x[c,d]x[e,f]. Come fatto per gli integrali doppi, consideriamo una partizione of B, t.c. B sia l’ unione di scatolette (h=1,...,p k=1,...,q l=1,...,r) Bhkl = [x h-1 xh ] x [yk-11, yk] x [zl-1 , zzl] -1 , x Se f è limitata su B, possiamo definire le somme inferiori e superiori

dove

Definizione: f è integrabile su B se, al variare delle partizioni

of B, si ha

Proprietà: Le funzioni continue su B sono integrabili 2

Proprietà - Se B=[a,b]x[c,d]x[e,f], f (x,y,z)=g(x)h(y)k(z), con g  (0) [a,b], h  (0) [c,d], h  (0) [e,f], allora: ∫∫∫B f(x,y)dxdy=(∫ab g(x) dx) (∫cd h(y) dy) (∫ef k(z) dz) Esempio - Sia f(x,y,z)= 2xyz2 e B=[1,5]x[-4,3]x[1,2]; allora ∫∫∫ B 2xyz 2 dxdydz= ∫15 2x dx ∫-43 y dy ∫12 z2 dz = -476

Proprietà – Sia g(x,y,z) integrabile sul parallelepipedo B=[a,b]x[c,d]x[e,f]. Allora ∫∫∫B g(x,y,z)dxdydz = = ∫ab ( ∫cd (∫ef g(x,y,z)dz) dy ) dx = ∫cd (∫ ab (∫ef g(x,y,z)dz) dx ) dy = = ∫ab ( ∫e f (∫cd g(x,y,z)dy) dz) dx = ∫ef (∫ab (∫cd g(x,y,z)dy) dx) dz = = ∫ ef ( ∫c d (∫ab g(x,y,z)dx) dy) dz = ∫c d (∫ ef (∫ab g(x,y,z)dx) dz ) dy indipendentemente dall’ordine. Si sceglierà l’ordine che permette di calcolare l’integrale nel modo più semplice, a seconda della funzione g(x,y,z). 2

Esempio - Calcolare l’ integrale triplo di f(x,y,z)= 2xzexz su B=[1,5]x[-4,3]x[0,1]. Poiché 2xz è la derivata di xz2 rispetto a z, conviene iniziare a integrare rispetto a z: 2

2

2

∫∫∫ B 2xzexz dxdydz =∫-43[ ∫15 (∫01 2xzexz dz)dx] dy =∫-43(∫1 5 |e xz |01 dx)dy = =∫-43[∫1 5(ex-1)dx] dy =∫-4 3(e5 -e-4)dy =7 (e5-e-4)

Significato geometrico dell’ integrale triplo Se B=[a,b]x[c,d]x[e,f] ∫∫∫B dxdydz=|B|=Volume of B=(b-a)(d-c)(f-e) 3

Integrali tripli su insiemi misurabili Vogliamo definire l’ integrale di una funzione su un sottoinsieme limitato  R 3 . Come abbiamo fatto per gli integrali doppi, consideriamo un qualunque parallelepipedo B contenente  e la funzione caratteristica  di  in B. Supponiamo che  sia misurabile (i.e che sia integrabile su B), e definiamo la misura (i.e il volume) di  come  || = ∫∫∫



(x,y,z)dxdydz= ∫∫∫B

Si possono estendere ai sottoisiemi  R

 3

(x,y,z)dxdydz

le stesse definizioni e proprietà valide in R2:

Teorema – Un insieme è misurabile se e solo se la sua frontiera ha misura nulla Esempi di sottoinsiemi di R 3 di misura nulla: - insiemi formati da un numero finito di punti - segmenti e rette - grafici di funzioni f: [a,b] R → R - sostegni di curve piane regolari (a tratti) - piani e porzioni di piano - superfici grafici di funzioni f: D R 2 → R - sostegni di superfici regolari (o poliedri formati incollando porzioni di superfici regolari) - sottoinsiemi di insiemi di misura nulla - unione di un numero finito di insiemi di misura nulla N.B. NON si confonda la misura con la lunghezza, o con l’area: ad esempio, il segmento (0,1] visto in R1 ha lunghezza 1, mentre come sottoinsieme di R 2 ha misura nulla; il quadrato [0,1)x(0.1] visto in R2 ha area 1, mentre come 4 sottoinsieme di R3 ha misura nulla

Funzioni integrabili su insiemi misurabili Se g è una limitata su , per definire l’integrale di g su  consideriamo l’ estensione ĝ di g a un qualunque parallelepipedo B contenente  (ponendo ĝ uguale a zero su B\ ), e definiamo: Definizione : g è integrabile su  se e solo se ĝ è integrabile su B, e ∫∫∫ g(x,y,z)dxdydz= ∫∫∫B ĝ(x,y,z)dxdydz Definizione: Una funzione f:  R 3 → R è generalmente continua sull’ insieme misurabile  se l’insieme dei suoi punti di discontinuità ha misura nulla. Proprietà: Le funzioni generalmente continue e limitate su  R 3 sono integrabili su 

5

Proprietà degli integrali tripli Come nel caso degli integrali doppi, valgono le analoghe proprietà: Linearità Positività (definita positività) Confronto Maggiorazione (valori assoluti) Additività rispetto al dominio di integrazione La proprietà che riguarda l’interpretazione geometrica dell’integrale doppio, per gli integrali tripli ha solo questa possibile estensione : INTEGRALI TRIPLI e VOLUMI Se D R 3 è un insieme misurabile, allora ∫∫∫D dxdydz= Volume di D (=| D| ) 6

Integrali tripli per fili (paralleli all’asse z) Allo scopo di calcolare gli integrali tripli, ci limitiamo a considerare alcune particolari regioni dello spazio per cui è possibile ridurre il calcolo degli integrali tripli a quello di un integrale semplice seguito da un integrale doppio, o viceversa.

Definizione: Un sottoinsieme C R 3 si dice verticalmente semplice (o semplice o normale rispetto all’asse z ) se esistono (x,y) e (x,y) continue in D R 2 per cui si abbia: C={(x,y,z) R 3: (x,y) z (x,y) (x,y) D} Significa che ogni retta verticale o non interseca C o lo interseca C in un unico segmento ininterrotto

Teorema -Se C è semplice rispetto a z e f è continua su C, allora

∫∫∫C f(x,y,z)dxdydz= ∫∫D ∫

(x,y) (x,y)

f(x,y,z) dz dxdy

Formula di integrazione per fili (paralleli all’asse z) 7

Osservazione: valgono formule analoghe per domini D semplici rispetto all’asse y o all’asse x

∫∫∫C f(x,y,z)dxdydz= ∫ ∫D ∫ g

g2(x,z) (x,z) 1

f(x,y,z) dy dxdz

Formula di integrazione per fili (paralleli all’asse y) ∫ ∫∫C f(x,y,z)dxdydz= ∫ ∫D ∫ g (y,z)g2(y,z) f(x,y,z) dx dydz 1 Formula di integrazione per fili (paralleli all’asse x) 8

Esempio Si deve calcolare dove  è la regione compresa tra il paraboloide x=y2+z2 e il piano x=2. Si può descrivere  come: dove D={(y,z) R 2: y2+z2 ≤2} Poiché  è semplice rispetto all’asse delle x, integriamo per fili paralleli all’asse x, e poi passiamo a coordinate polari nel piano yz:

9

Esercizi 1) Dopo aver disegnato D, calcolare per fili l’integrale triplo della funzione f(x,y,z)=2z sulla regione D ={(x,y,z) R 3 : 0≤x, 0≤ y ≤1-x2, 0≤z ≤y} [R: 16/(105)] 2) Dopo aver disegnato D, calcolare per fili l’integrale triplo della funzione f(x,y,z)= z sulla regione D ={(x,y,z) : 1- (x2+y2)/9 ≤ z ≤ (9-x 2 -y2) } [R: 75π/4] 3) Dopo aver disegnato D, calcolare per fili l’integrale triplo della funzione f(x,y,z)= y; D è la regione sotto il piano z=x+2, sopra il piano (Oxy), compresa tra i cilindri x2+y2 =1 e x2+y2 =4 [R: 0] 4) Calcolare il volume della regione qui disegnata (integrando per fili): D ={(x,y,z) R 3: x 2+y2+z2 ≤16,x2 +y2≤6z} [R: 76π/3] 10

Integrali tripli per strati

(ortogonali all’asse z)

Se in  R 3 , z varia tra due quote fisse (z [ α,β]), indicando con A z la proiezione sul piano (Oxy) della sezione  z di D con il piano a quota z, si ha  ={(x,y,z) R 3: α z β, (x,y) A z } Se f è continua in D, si ha:

Teorema ∫∫∫ f(x,y,z)dxdydz=∫αβ[ ∫∫zf(x,y,z) dxdy ] dz Formula di integrazione per strati (ortogonali all’asse z) Osservazione: valgono formule analoghe per domini  in cui y (o x) varia tra due quantità fisse, considerando le sezioni con piani ortogonali all’asse y (o all’asse x) 11

Esempio Vogliamo integrare f(x,y,z)=xyz sul dominio D={(x,y,z) R 3: z 2≤ x2+y2 , z>x2+y2 } Si tratta della regione al di sotto del cono z 2= x2+y2 e al di sopra del paraboloide z=x2+y2 il cono interseca il paraboloide in O e nella circonferenza : Si può integrare per strati paralleli all’asse delle z, in quanto D={(x,y,z) R 3: 0≤z≤1, (x,y) S z} dove Dunque:

Osservazione: si può integrare anche per strati, in quanto D={(x,y,z) R3: x2+y2 ≤ z≤ √(x2+y2 ), (x,y) A} , dove A={(x,y) R2: x2+y2 ≤1}

12

Esercizi 1)

Rappresentare la regione

e calcolare per strati l’integrale di f(x,y,z)=x+yz su E.

[R: 8416/(35)]

2) Calcolare il volume della regione D per strati, per fili, o servendosi del teorema di Pappo-Guldino D ={(x,y,z) R 3 :x2 +y2+z2 ≤1, z≤1-(x2 +y2)} [R: 7 /6] 3) Rappresentare la regione e calcolarne il volume per strati, per fili, o servendosi del teorema di Pappo-Guldino [R: 68 /3]

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Cambiamenti di variabili e integrali tripli Proprietà -Si effettui il cambiamento di variabili T(u,v,w): x=T1 (u,v,w),y=T2(u,v,w)z=T3(u,v,w) di matrice Jacobiana J(T(u,v,w)) , che trasforma la regione DT R 3 in D R 3. Allora, se f è continua e limitata su D: ∫∫∫D f(x,y,z) dxdydz= =∫∫∫D f(T1(u,v,w),T2(u,v,w),T3(u,v,w))|det(J(T(u,v,w)))|dudvdw T

Consideriamo ora due utili casi particolari: la trasformazione in coordinate cilindriche e quella in coordinate sferiche. 14

Coordinate cilindriche Coordinate cilindriche ( , φ, z) Sono l’estensione 3-dimensionale delle coordinate polari nel piano x= cos θ y= sin θ z= z dove

θ

0, 0 ≤ θ ≤ 2

Si ha det(JT) = Dunque, nel passaggio a coordinate cilindriche, gli integrali diventano: ∫∫∫ f(x,y,z) dxdydz= ∫∫∫  f( cos θ, sin θ,z) T

d dθdz

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Esempio Calcolare l’integrale di f(x,y,z)=x2z sulla regione D={(x,y,z) R 3: 1-z ≤ x2 + y2 ≤1- z2/9, 0≤z≤2}. D è la porzione di spazio interna all’ellissoide x2 + y2 + z2 /9=1 e sopra al paraboloide z = 1-(x2 + y2 ). Le due superfici si intersecano nella circonferenza del piano xy di equazioni x2 + y 2 =1, z=0. Calcoliamo l’integrale(per strati) per differenza, vedendo D=D1- D2 , dove D1 è la regione dentro l’ellissoide, con 0≤z≤2, e D2 è la regione sotto il paraboloide, 0≤z≤1; passiamo a coordinate cilindriche.

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Esercizi Rappresentare D e calcolare i seguenti integrali tripli ∫∫∫Df(x,y,z) dxdydz, passando a coordinate cilindriche : 1) f (x,y,z)=z, D = {(x,y,z) : x2 + y2 ≤ z ≤ 4} [R:64 /3] __________

2) f (x,y,z)=xy+1, D = {(x,y,z) : 3(x 2 + y2) ≤ z ≤ 4} [R:64 /9]

3) Calcolare il volume della regione disegnata: ________ D={(x,y,z) R 3:x2+y2≤z≤2- (2-(x 2+y2))} [R: (13-8 2) /6] 17

Coordinate sferiche Coordinate sferiche ( , φ, θ ) x= sin φ cos θ y= z=

sin φ sin θ cos φ 0, 0 ≤ φ ≤

dove

,

0 ≤ θ≤ 2 )

Si ha det(JT)=

2

sin φ

P=(x,y,z)=( ,φ,θ)

P

Dunque passando a coordinate sferiche, gli integrali diventano: =∫∫∫

T

∫∫∫ f(x,y,z) dxdydz= f( sin φ cos θ, sin φ sin θ, cos φ)

P’

2 sin φ

d dφdθ

P’=(x,y,0)=(r, /2,θ) dove r= sin φ

18

Esempi _______ 1) Calcoliamo l’ integrale di f(x,y,z)= (x2+y2 +z2 ) su ____ _______ 2 2  ={(x,y,z) : (x +y )≤ z ≤ (18-x2-y2 )} Passando a coordinate sferiche :

∫∫∫f(x,y,z) dxdydz=∫∫∫ T ρ· 2 sin φ d dφdθ dove T ={( ,φ,θ) : 0≤ ≤3 2, 0≤ φ ≤π/4, 0≤ θ ≤2π}. Dunque

∫∫∫f(x,y,z) dxdydz=∫ 0

3 2

3

d ∫

0

π/4

sin φ dφ ∫0 2π dθ =81 (2- 2)

2) ) Calcoliamo l’ integrale su D ={(x,y,z) : x 2+y2+z 2 -z≤ 0 ≤y≤x/ 3 ∫∫∫Df(x,y,z) dxdydz=∫∫∫ DT ρ· 2 sin φ d dφdθ dove DT ={( ,φ,θ) : 0≤ ≤cos φ , 0≤ φ ≤π/2, 0≤ θ ≤π/6}. Dunque: 19

(3ln2-2) π/9

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Esercizi

Rappresentare  e calcolare i seguenti integrali tripli ∫∫∫Df(x,y,z) dxdydz, passando a coordinate sferiche : 1)

f(x,y,z)= 1 _____  ={(x,y,z) : z≤ (x2+y2), x2+y2-z≤0}

[R: /6]

2)

f(x,y,z)= xz _____  ={(x,y,z) : 0≤x, 0≤y, (x2+y2)≤ z , x2+y2+z2 ≤1} [R: 3) f(x,y,z)= x2+y2+z2-1  ={(x,y,z) : x2+y2≤ z , x2+y2+z2 ≤2} [R: 4 2/(15) – 19/(60) ] 4) Calcolare il volume della regione ____ _____  disegnata:

2/ (60)]

 ={(x,y,z) : x2 +y2+z2 ≤1 , (x2+y2)≤ z ≤ 3 (x2 +y2)} [R: ( 3- 2)

/3]

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Geometria delle masse 3-dimensionali Proprietà: Se un solido  di densità volumetrica σ(x,y,z) occupa la regione D R 3, allora:

▪ Massa di  M= ∫∫∫D σ(x,y,z) dxdydz ▪ Baricentro xG=1/M ∫∫∫D xσ(x,y,z) dxdydz , yG=1/M ∫∫∫D yσ(x,y,z) dxdydz zG= 1/M ∫∫∫D z σ(x,y,z) dxdydz

▪ Momento di inerzia rispetto a una retta r r=∫∫∫D dr2 ( x,y,z )σ(x,y,z) dxdydz 2 2 ▪ Momento di inerzia rispetto all’asse x x =∫∫∫D (y +z ) σ(x,y,z) dxdydz 2 2 ▪ Momento di inerzia rispetto all’asse y y= ∫∫∫D (x +z ) σ(x,y,z) dxdydz 2 2 ▪ Momento di inerzia rispetto all’asse z z= ∫∫∫D (x +y ) σ(x,y,z) dxdydz 2 2 2 ▪ Momento di inerzia rispetto a O O=∫∫∫D (x +y +z )σ(x,y,z) dxdydz 22

Esempio Calcolare il momento d’inerzia rispetto all’ origine di un corpo che occupa la regione D = {(x,y,z) : 0 ≤ z, x2 +y2+z2 ≤ 1} e ha densità σ(x,y,z)=x2 . La regione D occupa l’interno della semisfera di centro O e raggio 1 situata nel semipiano z0. Dobbiamo calcolare 2 2 2 2 O=∫∫∫D (x +y +z ) x dxdydz. Passando a coordinate sferiche : 2· 2 sin 2 φ cos2 θ · O=∫∫∫DT dove DT ={( ,φ,θ) : 0≤ ∫∫∫f(x,y,z) dxdydz=∫ 0 1

2 sin

φ d dφdθ

≤1, 0≤ φ ≤π/2, 0≤ θ ≤2π}. Dunque 6d

∫

π/2 sin3 φ 0

dφ ∫02π cos 2 θ dθ =2 /(21)

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Esercizi 1) Calcolare massa e baricentro di un corpo che occupa la regione  = {(x,y,z) : x2 + y 2 ≤ z ≤ 4} [R: M=64 /3; G=(0,0,3)] e ha densità σ(x,y,z)=z. 2) Calcolare masse e baricentro di un corpo che occupa la regione  = {(x,y,z) : (x2 + y 2 ) ≤ z ≤ 4} [R: M=64 /3; G=(0,0,3)] e ha densità σ(x,y,z)=1 . 3) Calcolare il momento d’inerzia rispetto all’asse delle z di un corpo che occupa la regione  = {(x,y,z) : 0 ≤ z ≤ 1, 1 ≤ x 2+y 2 ≤ 4} [R: I z=15 /4] e ha densità σ(x,y,z)=z .

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Integrali tripli impropri Definizione: Integrale improprio di I°specie Siano D illimitato (consideriamo ad esempio D=R3), f continua e limitata su D; CR interno della sfera di centro O e raggio R ∫∫∫R3 f(x,y) dxdydz:= lim R ∫∫∫ C f(x,y,z) dxdydz R

Osservazione: anziché usare una sfera C R di centro O e raggio R per ‘invadere tutto lo Spazio’, si possono usare altri insiemi; ad esempio, si può utilizzare un quadrato QR di centro O e lato 2R, cioè QR =[-R,R]x[-R,R] e definire ∫∫∫R3 f(x,y) dxdydz:= limR ∫∫∫Q f(x,y,z) dxdydz R

Definizione: Integrale improprio di II°specie Siano D R 3 limitato, f continua in D e illimitata in P0 D CR interno della sfera di centro P0 e raggio R ∫∫∫D f(x,y,z) dxdydz := limR

0

∫∫∫ D\C f(x,y,z) dxdydz R

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Esempi 1) Vogliamo vedere se f(x,y,z)=1/(1+x2+y 2+z2)2 è integrabile su R3. Calcoliamo l’integrale di f sulla sfera CR di centro O e raggio R e poi facciamo tendere R a infinito. Utilizziamo le coordinate sferiche: ∫∫∫ C 1/(1+x2+y2+z 2) 2 dxdydz= ∫∫∫ C =∫

R R

0

2 /(1+ρ2 )2

d ∫0πsin φ dφ

1/(1+ρ2 )2

RT 2π ∫0 dθ

2 sin

φ d dφdθ=

= 4π ∫ R (1 /(1+ρ2 )-1 /(1+ρ2)2 ) d = 0

= 4π·1/2 [atan R- R/(2(1≥R2))] (si ricordi che ∫1/(1+x2)2 dx= ½atan x + ½ x/(1+x 2) +costante).

Infine ∫∫∫R3 f(x,y) dxdydz:= limR

∫∫∫ C 1/(1+x2+y2+z2)2 dxdydz=4π·π/4 =π2 R

26

2) Vediamo se f(x,y,z)=1/(x2+y2 +z2 ) è integrabile sulla sfera unitaria B={(x,y,z) R 3: x 2+y2+z2 1} Calcoliamo prima l’integrale di f sulla ‘corona sferica’ CR compresa tra B e la sfera di centro O e raggio R (con 0...