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Diseños de Sistemas de ControlJorge Carvajal CSISTEMAS DE CONTROL IInstituto IACC06/09/Desarrolloa.- Dado el siguiente ejercicio resuelto del LGR reconozca la aplicación de las reglas para llegaral gráfico respectivo. Identifique cada regla o paso sobre el desarrollo presentado. Considere el siguien...

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Diseños de Sistemas de Control Jorge Carvajal C SISTEMAS DE CONTROL I Instituto IACC 06/09/2021

Desarrollo

a.- Dado el siguiente ejercicio resuelto del LGR reconozca la aplicación de las reglas para llegar al gráfico respectivo. Identifique cada regla o paso sobre el desarrollo presentado. Considere el siguiente sistema de control:

Para determinado, la condición del ángulo se convierte en:

La condición de la magnitud es:

A.- Inicio y final de las trayectorias: Las LGR comienza con los polos en lazo abierto (0,-1 y -2) con K = 0 (estos valores se obtienen al buscar los números que anulen el denominador de la función: s(s + 1) (s + 2)), termina una en (-5) y 2 en el infinito con K =∞. (Este valor se obtiene al buscar un número que anule el numerador de la función: s + 5).

B.- Trayectoria sobre el eje real: Las trayectoria del LGR sobre el eje real existen entre los polos (0y -1) y de (-2 a -5).

C.- Ubicación de los ceros infinitos: La cantidad de trayectorias del LGR que tienden a infinito son 2, ya que solo existe un cero infinito.  Numero de asíntotas: #As

 Centroide o intersección de las asíntotas: σ0

 Angulo de las asíntotas: < AS

D.- Puntos de quiebre o de ruptura (sq): Como existe lugar de las raíces entre dos polos (0 y -1) Entonces existe un punto de quiebre. De la ecuación característica despejamos K: K=

−s (s +1)( s +2) (s+5)2

Derivando K respecto a S e igualando a 0 tenemos: dk ds

=

2(s 3+ 9 s 2+15 s+5) (s+5)2

=0

s 3 + 9 s 2 +15s+5=0 Resolviendo la ecuación cubica se obtienen 3 resultados:

Como en el punto de ruptura debe estar entre (0 y -1) entonces usamos la solución: s q = -0.447

E.- Ganancia de quiebre (Kq): Utilizando el punto Sq calculamos la ganancia de quiebre con la condición de magnitud K=¿

s (s +1)(s+2) ¿ v ¿= │s││s+1│Vs + 2v ¿ s+5 v ¿ ¿ (s +5)

(0.447 )(0.553 )(1.553) 4.553

¿

con s = -0.447

K = 0.084 F.- Ganancia crítica (Kc): Se obtiene aplicando el criterio de ROUTH-HURWITZ en la ecuación Características. La ecuación característica es: s 3 + 3 s 2 + (2+K) +5K=0 La tabla de ROUTH es: s3 s2 s1

1 3

2+K 5K 0

6−2 K 3

s0

Polinomio auxiliar P(s)

5K

Por lo tanto, la ganancia crítica se obtiene: 6−2 k c 3

=0 K c

G.- El punto crítico se obtiene del polinomio auxiliar: 2 3 s c +5 K c = 0

2

3 s c +15= 0

S c = ¿ ± 2.236j

Para determinar la ganancia K que permite tener una respuesta con la relación de Amortiguamiento ꞔ = 0.6 Primero se determina el punto s, que este sobre el LGR y que este sobre la recta de La relación de amortiguamiento ç = 0.6 Se determina los puntos que estén sobre la recta de ç = 0.6 ẞ=

cos−1 ç = cos−1 (0.6) = 53.13º Y= x tan (126.87º) = -1.333x

Con esta ecuación de la recta se propone un valor en X y se determina el valor en Y, el punto debe cumplir la condición del ángulo para que este sobre el LGR S=x+jy...