Ketaksamaan AM – GM dan QM – AM – GM – HM DOCX

Title	Ketaksamaan AM – GM dan QM – AM – GM – HM
Author	Dzakaria Iman
Pages	2
File Size	29.5 KB
File Type	DOCX
Total Downloads	20
Total Views	157

Summary

Description

Ketaksamaan AM – GM dan QM – AM – GM – HM Ketaksamaan AM – GM merupakan ketaksamaan yang paling sering digunakan dalam olimpiade matematika SMA. AM merupakan singkatan dari Arithmetic Means atau rata-rata aritmatika, dan GM merupakan singkatan dari Geometric Means atau rata-rata geometris. Sifat ketaksamaan: Jika dan merupakan bilangan real positif, maka berlaku ketaksamaan: Kesamaan didapat saat Ruas kiri merupakan AM dan ruas kanan merupakan GM. Kesamaan ini didapat dari sifat bahwa kuadrat dari suatu bilangan selalu positif. Berikut ini bukti ketaksamaan tersebut untuk 2 bilangan, misal p dan q yang keduanya merupakan bilangan real positif. Karena kuadrat suatu bilangan selalu positif, maka kita dapat: Terbukti. Selain ketaksamaan AM – GM, ada juga sifat ketaksamaan yang lebih luas, yaitu ketaksamaan QM – AM – GM – HM. QM merupakan quadratic means atau rata-rata kuadrat, dan HM merupakan harmonic means atau rata-rata harmonis. Sifat ketaksamaan: Kesamaan dicapai saat Contoh soal: Tentukan semua bilangan real yang memenuhi Jawaban: Karena pangkat variabel genap, maka pasti positif, sehingga berlaku ketaksamaan AM – GM: Karena pada soal dinyatakan bahwa , sedangkan berdasarkan ketaksamaan AM – GM didapat , maka ketaksamaan tersebut hanya dipenuhi jika . Jadi, memenuhi ketaksamaan saat atau sehingga yang memenuhi adalah atau Soal latihan: 1. Jika jumlah dua bilangan bulat positif adalah 24, maka nilai terkecil dari jumlah kebalikan bilangan-bilangan tersebut adalah …. (Soal OSK SMP 2013) 2. Diberikan dua bilangan real positif dan sehingga . Tentukan nilai minimum (Soal OSN SMP 2004)...