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Aufgabenstellung 3: Knabber-Technik

1.Aufgabe:

2.Aufgabe:

3.Aufgabe:

Seite wieder angesetzt. Jedoch hat Escher in seiner Abbildung das „abgeknabberte“ Stück nicht um den Seitenmittelpunkt gedreht, sondern nur um die Ecke. Ersichtlich in oberen Abbildung unter 3b bei a, d und f.

4. und 5.Aufgabe:

a) Mathematische Inhalte, die in der Aufgabenstellung angesprochen werden, finden sich in der Fachthematik Geometrie wieder. Daher sind Kenntnisse über folgende Fachbegriffe nötig, um die Aufgabenstellung zu lösen: „Polygon“, „Knabber-Technik“, „ebene Figur“, „geometrische Figuren“, „Parallelität“, „Gerade“, „Viereck“ und „Dreieck“.

b) Die Prozessbezogenen Kompetenzen, die das „Parkettieren“ fördert, sind das Problemlösen, Argumentieren sowie das Darstellen. Dabei ist es grundlegend, dass die SuS die Aufgabenstellung nachvollziehen können und Herausarbeiten, was „Parkettieren“ beinhaltet und in welchem Zusammenhang es mit den Geradenscharen steht. Dabei ist es wichtig, dass die SuS Parallelen in ihrer Umwelt finden, wie zum Beispiel Ziegel beim Hausbau oder die Bepflasterungen der Gehwege. Somit haben sie Visualisierungen vor Augen, mit denen sie die Thematik besser durchdringen können. (Förderung der Vorstellungskraft) Bei der 1.Aufgabenstellung sollen die SuS eine Parkettierung entwickeln und anhand dieser argumentieren, durch welche Polygone eine Parkettierung möglich ist. Somit wird mit dem eigenen Lösungsweg eine Erklärung gefunden.

Anhand der zweiten Aufgabe werden die drei Regeln der „Knabber-Technik“ beschrieben, die SuS sollen diese visuell darstellen und sich somit die Regeln aneignen. Nachfolgend unter Aufgabe 3 sollen, die in der 1. und 2.Aufgabe erlangten Erkenntnisse, angewendet und im Zusammenhang gebracht werden. Anhand einer Abbildung des niederländischen Künstlers M.C. Escher müssen die SuS herausfinden, welches Polygon dieser zugrunde liegt. Des Weiteren muss unter 3.b. herausgefunden werden, welche Regeln Escher für sein Bild genutzt hat. Das Problemlösen und Argumentieren finden auch unter 3.a. und 3.b. ihre Anwendung.

Wie sollte der Unterricht dazu gestaltet sein? Der Unterricht sollte so gestaltet sein, dass die Lehrkraft die benötigten Fachbegriffe gemeinsam mit den Kindern erarbeitet und die Visualisierung der Thematik von großer Bedeutung sein muss. Daher eignen sich zum Einstieg in die Thematik das Bereitstellen von Bildern aus der Umwelt, die Parkettierungen zeigen. Dadurch können sich SuS etwas unter dem Begriff „Parkett“ vorstellen. Weiterhin sollten die Begriffe wie „Ebene“, „Gerade“, „Geradenscharen“ und „Parallelität“ sowie verschiedene geometrische Formen erklärt werden. Die Kinder sollten die Charakteristika von Dreieck und Viereck bzw. deren Unterschiede kennen.

c) Das Vorwissen, dass die SuS benötigen, beginnt mit der Klärung der Fachbegriffe „Polygon“, „Geradenscharen“. „Viereck“, „Dreieck“, „Parkettierung“ u.s.w., diese Begriffe der Geometrie müssen zuvor besprochen und eingehend geklärt worden sein. Ein sicheres Beherrschen der Begriffe und ihre Anwendung in der Mathematik sind notwendig, um die Aufgabenstellungen zu lösen. Des Weiteren sollte die Lehrkraft sicherstellen, dass alle SuS die Aufgabenstellung verstanden haben und deshalb vor der Bearbeitung auf Rückfragen eingehen.

d) Wo sehen Sie mögliche Fehlerquellen bei der Bearbeitung der Aufgabenstellung? Ich sehe gerade in der Aufgabe 3a eine mögliche Fehlerquelle, denn auch für mich stellte sich erst nach mehrmaligem Probieren heraus, dass es sich bei dem verwendeten Polygon, um das Sechseck handelte. Ich probierte es zuerst mit einem Fünfeck und merkte dann, dass es mit diesem Polygon nicht funktionierte. Allerdings erwies sich auch das Sechseck zu Beginn als nicht so einfach anzulegen, erst durch Probieren fand ich die Positionierung des Sechseckes heraus.

Deshalb sehe ich auch hier die Schwierigkeit für die SuS eventuell schnell die Motivation am Ausprobieren und Entdecken zu verlieren, da diese Aufgabe ein wenig anspruchsvoller ist.

e) Welche Differenzierungsmöglichkeiten bietet die Aufgabenstellung? Die natürliche Differenzierung, d.h. alle SuS erhalten das gleiche Lernangebot und es wird nach Leistungsniveau der SuS differenziert, findet sich in der Aufgabenstellung wieder. Das Anfangsniveau der ersten Aufgabe ist so gewählt, dass es jedem Kind einen Zugang zur Problematik bietet. So werden in Aufgabe 1 und 2 zum Beispiel die Grundlagen für die Aufgaben 3 und 5 gelegt. Fortlaufend werden die Aufgaben differenzierter und sprechen somit unterschiedliche Leistungsniveaus an. So müssen die SuS unter 3b, die in Aufgabe 2 erlernten Regeln anwenden können, das ist allerdings nur möglich, wenn sie die Regeln auch verstanden haben. Des Weiteren findet sich auch in Ansätzen eine mediale Differenzierung statt, denn aus der Aufgabenstellung heraus ist es möglich Bilder, die Parkettierungen aus der Umwelt abbilden zur Veranschaulichung der Thematik mit einzubinden. Dies wurde in ähnlicher Weise getan, indem man unter der Aufgabe 3 die künstlerische Gestaltung Eschers mit Polygonen als visuelle Darstellung verwendet hat bzw. auch unter Aufgabe 4 wurden Beispielbilder für Aufgabe 5 abgebildet, sodass die SuS sich unter der Aufgabenstellung etwas vorstellen konnten. Eine dritte Differenzierungsmöglichkeit, die der sozialen Differenzierung, liegt den Aufgaben ebenfalls inne, wenn die Lehrkraft anhand der Aufgabenstellungen die SuS diese Aufgabe in Einzel-, Partner- oder Gruppenarbeit lösen lässt. In der Auseinandersetzung innerhalb einer Kleingruppe bzw. gemeinsam werden mathematische Kompetenzen wie das „Argumentieren“ und „Kommunizieren“ laut KMKBildungsstandards gefördert (vgl. Brigitte Hölzel, Differenzierung - Möglichkeiten im Unterrichtsalltag, S.15). Des Weiteren unterstützt die soziale Differenzierung die natürliche Differenzierung, indem die Lerngruppen so gewählt werden, dass leistungsschwächere mit leistungsstärkeren Schülerinnen und Schülern die Aufgabenstellungen bearbeiten. Es wäre daher möglich die differenzierteren Aufgaben wie 3 und 5 in Gruppen- bzw. Partnerarbeit zu lösen.

f) Mit welchen didaktischen Prinzipien kann die Aufgabenstellung in Verbindung gebracht werden? 

Veranschaulichung

Die mathematischen Inhalte sollten so aufbereitet werden, dass diese den SuS auch veranschaulicht werden, sodass die Vorstellungskraft gefördert wird und es zu einem besseren Verständnis der Thematik führt. Des Weiteren ist auch der Bezug zur Umwelt, dem Alltag notwendig, denn damit können zum Beispiel die Aufgaben 1 und 2 besser bewältigt werden. Deshalb sollte zuvor geklärt werden, was ein Parkett ist und wo man diese in unserer Umwelt wiederfinden kann. Die SuS können dadurch aus ihrer eigenen Lebenswelt berichten, wo sie bereits Parkette gesehen haben (z.B. bei der Bepflasterung der Straße).

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Operatives Prinzip Das Prinzip basiert hauptsächlich auf drei Aspekten: 1) Das erkennende Subjekt wirkt durch seine Handlungen auf Gegenstände ein und beobachtet die Wirkungen seiner Handlungen. 2) Bekannte Wirkungen werden antizipierend zur Erreichung bestimmter Ziele eingesetzt. 3) Wissen ist keine vorgefertigte Sache, sondern wird vom erkennenden Subjekt in Wechselwirkung mit der Realität konstruiert. (vgl. Wittmann 1985, S. 7) Der Kerngedanke besteht darin, dass die SuS durch ihr Handeln mit entsprechenden Materialien die Thematik verinnerlichen. So müssen sie zum Beispiel die unter Aufgabe 2 genannten Regeln sich durch die Beschreibung selbst veranschaulichen, womit sie diese sich auch besser merken können, bevor sie diese dann in den darauffolgenden Aufgaben anwenden müssen. In der Aufgabe 3 müssen die SuS auf die erlernten Regeln zurückgreifen, um diese auf Eschers Abbildung zurückzuführen und im Anschluss auch selbstständig Figuren nach diesen Regeln zu konstruieren (siehe Aufgabe 5). Dementsprechend gehören das Erarbeiten von Operationen wie z.B. „Wie erstelle ich eine Gerade und Geradenschar, die parallel sein muss?“ ebenso dazu wie das zeichnerische Handeln. Durch die darstellende Auseinandersetzung (Zeichnen) mit der Problematik können sich die SuS die geometrischen Formen, die in einer parkettierten Ebene vorkommen, besser vorstellen. Insgesamt findet durch die unterschiedlichen Operationen eine Festigung des Wissens über die Thematik und deren mögliche Darstellungsformen statt.

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Spiralprinzip Das wiederholende Aufgreifen von Inhalten und deren Anreichern mit neuen Vorstellungen beinhaltet das Spiralprinzip. Bei den vorliegenden Aufgabenstellungen wird die Geometrie thematisiert, geometrische Inhalte aufgegriffen und durch das spezielle Thema des Parkettierens vertieft. Die geometrischen Formen wie Dreieck, Viereck u.s.w. werden wiederholend angesprochen. Des Weiteren bauen die Inhalte der einzelnen Aufgabenstellungen aufeinander auf, denn man kann ohne die Aufgaben 1 und 2 nicht die darauffolgenden Aufgaben bearbeiten. So werden in Aufgabe 2 zum Beispiel die Regeln erarbeitet, die in Aufgabe 3 und 5 ihre Anwendung finden. Das verdeutlicht, dass durch die Wiederholung zentraler Begriffe aus der Geometrie, die Thematik des Parkettierens bzw. die „KnabberTechnik“ zu einem besseren Verständnis führt und die Merkfähigkeit dadurch auch gewährleistet wird.

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Entdeckendes Lernen Unter dem entdeckenden Lernen versteht man das selbstständige Auseinandersetzen mit einer Problematik. Die SuS sind dazu aufgefordert, sich eigene Gedanken über die Problemlösung zu machen und eigene Strategien zu finden. Sie müssen auf ihr erworbenes Wissen zurückgreifen und dieses auf die Aufgabenstellung anwenden. Demzufolge ist es wichtig, dass die SuS in der Lage sind, Zusammenhänge zu erkennen und diese in Verbindung zu bringen. In den vorliegenden Aufgabenstellungen finden wir ebenfalls dieses Prinzip wieder, denn gerade in Aufgabe 3 und 5 wird vorausgesetzt, dass die SuS sich selbstständig mit der Problemlösung auseinandersetzen und das in Aufgabe 1 und 2 gewonnene Wissen anwenden können. Herauszufinden wie Herr Escher die Regeln in seinem Werk mit den Echsen angewendet hat und welche Grundform (Sechseck) diesem zugrunde liegt, lässt die SuS durch Erproben zum Lösungsweg gelangen. In Aufgabe 5 dürfen die SuS wie unter Aufgabe 4 visualisiert, eigene Figuren mit Hilfe der „Knapper-Technik“ erstellen und diese auf verschiedene Weise deuten (z.B. Darstellung einer Katze, eines Fuches oder einer Eule)....