Kraftstoß und Impuls PDF

Preview

Summary

Zusammenfasssung zu Kraftstoß und Impuls...

Description

Kraftstoß und Impuls Bei vielen Vorgängen haben wir die zeitliche Dauer, die eine Kraft auf einen Körper einwirkt, nicht berücksichtigt. Nun gibt es aber viele Vorgänge, bei denen die Kraft nur zeitlich begrenzt auf einen Körper einwirkt. Wirkt eine Kraft auf einen Körper ein, so beschleunigt sie ihn F = m*a ; a = F/m Wirkt sie über eine Zeitspanne Δt, so verleiht sie dem Körper einen Geschwindigkeitszuwachs Δv = a*Δt = F/m*Δt Aus dem linken und dem rechten Teil der Gleichung ergibt sich bei Multiplikation mit der Masse m: F*Δt = Δv*m Die linke Seite der Gleichung gilt dabei als Kraftstoß und die rechte Seite als Impuls. Merke Der Kraftstoß F · Δt ist gleich der Änderung des Impulses des Körpers Δv · m Beispiel Mit welcher Kraft trifft ein Hammer mit einer Masse von 0,75 kg auf einen Nagel, wenn man annimmt, dass der Hammer aus einer Geschwindigkeit v  10 m/s in der Zeit t  0,01 s zur Ruhe kommt? F*Δt = Δv*m Gesucht ist die über die Dauer t wirkende Kraft F = Δv*m / Δt = 10m/s*0,75kg / 0,01s = 750N Erhaltung des Impulses Gegeben sind zwei Wagen verschiedener Masse, die mit einem Faden zusammengebunden sind, sodass sich die zwischen ihnen befindliche, gespannte Feder nicht entspannen kann. Brennt man den Faden durch, werden die Wagen mit den Massen m1 und m2 auseinandergetrieben. Dabei muss nach dem Prinzip der Kräftegleichheit auf jeden die gleiche Kraft wirken. Dabei ist auch leicht einzusehen, dass dies für beide Massen in derselben Zeitdauer geschieht. Da also der Kraftstoß bei beiden Massen derselbe ist, muss auch deren Impuls gleich sein; da deren Richtung jedoch entgegengesetzt ist, gilt m1v1 = -m2v2 oder m1v1+m2v2 = 0 Merke In einem geschlossenen System bleibt die Summe der Impulse aller Teile stets konstant. Zentral elastischer Stoß Beim zentralen Stoß liegen die Bewegungsbahnen beider Körperschwerpunkte auf einer Geraden. Wir können uns weiter vorstellen, dass sich zwei Körper im Moment der Berührung in der Berührungszone verformen. Geht diese Verformung nach dem Stoß wieder vollkommen zurück, so spricht man vom vollkommen elastischen Stoß, bleibt die Verformung vollständig erhalten, so spricht man von einem vollkommen unelastischen Stoß.

Merke Beim vollkommen elastischen Stoß gehen die Verformungen nach dem Aufprall vollständig zurück, beim vollständig unelastischen (plastischen) Stoß bleibt die Verformung des Zusammenpralls vollständig erhalten. 2 Stahlkugeln gleicher Masse sind an Pendelfäden an einem gemeinsamen Punkt aufgehängt. Hebt man eine Kugel hoch und lässt sie fallen, so stoßen beide Kugeln zentral und vollkommen elastisch zusammen. Was beobachten wir? Kugel 1 bewegt sich auf Kugel 2 zu und stößt sie mit der Geschwindigkeit u1 an (die Geschwindigkeit der Kugel 2 beträgt vor dem Stoß u2 = 0). Kugel 1 bleibt stehen (v1 = 0) und Kugel 2 bewegt sich mit der Geschwindigkeit v2 = u1 weiter. Da sich keine der Kugeln bleibend verformt, wird auch jegliche Verformungsenergie wieder abgegeben. Die kinetische Energie beider Kugeln ist vor und nach dem Stoß gleich. m1*u12 + m2*u22 = m1*v12 + m2*v22 außerdem gilt im geschlossenen System: m1*u1 + m2*u2 = m1*v1 + m2*v2 Merke Beim vollkommen elastischen Stoß ist die Summe der kinetischen Energien der Körper sowie die Summe der Impulse der am Stoß beteiligten Körper vor und nach dem Stoß gleich. Stellen wir mathematisch betrachtet die erste Formel um, so erhält man: m1 (u12-v12) = m2 (v22-u22) dasselbe können wir nun mit der zweiten Formel machen und erhalten: m1 (u1-v1) = m2 (v2-u2) Wenn wir nun diese beiden Formeln voneinander dividieren, m1 und m2 kürzen, darüber hinaus die Zähler etwas umschreiben, können wir die 3. Binomische Formel nutzen und erhalten daraus: u1+v1 = u2+v2 Merke Beim elastischen Stoß sind die Summen der Geschwindigkeiten jedes Körpers vor und nach dem Stoß einander gleich. Zentral unelastischer Stoß Nehmen wir an, die beiden Kugeln wären aus Blei, aus Plastilin oder es handelte sich um zwei mit Sand gefüllte Beutel, so hätten alle Körper eine gemeinsame Eigenschaft: Sie sind nicht elastisch. Wenn sie sich beim Aufprall verformen, geht die Formänderung nicht wieder zurück, ein Teil der Bewegungsenergie wandelt sich in Formänderungsarbeit um. Merke Beim vollkommen unelastischen Stoß wandelt sich ein Teil der Bewegungsenergie in Formänderungsenergie um.

Wir können verstehen, dass der bei elastischen Körpern vorhandene Antrieb fehlt, um die beiden Kugeln nach dem Stoß wieder auseinander zu treiben. Nach einem vollkommen unelastischen Stoß bewegen sich beide Körper vereint mit der gemeinsamen Geschwindigkeit weiter. Mathematisch lässt sich der vollkommen unelastische Stoß wie folgt berechnen: die Summe der Impulse vor und nach dem Stoß bleibt konstant, vor dem Stoß ist sie m1*v1 +m2*v2 und nach dem Stoß (m1+m2)*v Damit erhalten wir die Geschwindigkeit nach dem unelastischen Stoß, nach Gleichsetzen und Umformen zu: v = m1*v1 + m2*v2 / m1+m2 Zusammenfassung Für Vorgänge, bei denen die zeitliche Dauer maßgebend ist, die eine Kraft auf einen Körper einwirkt, hat man zwei besondere Größen definiert: Der Kraftstoß ist das Produkt aus der Kraft und der Einwirkungsdauer. Dieser Kraftstoß ruft einen Impuls hervor, dieser ist das Produkt aus der Masse eines Körpers und der Geschwindigkeitsänderung. Es gilt also der Merksatz „Kraftstoß gleich Impuls“. In einem geschlossenen System ist die Summe der Impulse aller darin enthaltenen Körper stets konstant. Mithilfe des Impulssatzes lassen sich Stoßvorgänge berechnen. Beim vollkommen elastischen Stoß ist die Summe der Impulse vor und nach dem Stoß konstant, ebenso ist die Summe der Bewegungsenergien vor und nach dem Stoß gleich. Beim vollkommen unelastischen Stoß ist zwar auch die Summe der Impulse vor und nach dem Stoß gleich, ein Teil der Bewegungsenergie wird jedoch in Formänderungsarbeit umgewandelt, sodass die Bewegungsenergie nach dem Stoß um eben diesen Betrag geringer geworden ist....