Krasota v kvadrate - N/a PDF

Preview

Summary

N/a...

Description

Alex Bellos

Alex Through the Looking-Glass: How Life Reflects Numbers and Numbers Reflect Life

Three Rivers Press

Алекс Беллос

Красота в квадрате К а к циф р ы о т р а ж а ют ж из н ь и ж из н ь о т р а ж а е т циф р ы

Перевод с английского Натальи Яцюк

Москва Издательство «Манн, Иванов и Фербер»

2015

УДК 512 ББК 22.1я9 Б43 Н а у ч н ы й р е д а к т о р Александр Минько Издано с разрешения Janklow & Nesbit (uk) Ltd и литературного агентства Prava i pеrevodi На русском языке публикуется впервые

Беллос, Алекс Б43

Красота в квадрате. Как цифры отражают жизнь и жизнь отражает цифры / Алекс Беллос ; пер. с англ. Н. Яцюк. — М. : Манн, Иванов иФербер, 2015. — 368 с. ISBN 978-5-00057-605-2 Читая эту книгу, вы не сразу сможете осознать, что изучаете и понимаете сложные идеи и концепции, которые прежде казались доступными только ученым испециалистам. Вы с удивлением обнаружите, насколько интересным и веселым может быть мир математики. Книга будет полезной для всех, кто любит математику и науку вообще. И для тех, кто получил «удовольствие от x».

УДК 512 ББК 22.1я9

Все права защищены. Никакая часть данной книги не может быть воспроизведена в какой бы то ни было форме без письменного разрешения владельцев авторских прав. Правовую поддержку издательства обеспечивает юридическая фирма «Вегас-Лекс»

ISBN 978-5-00057-605-2

© ©

Alex Bellos, 2014 Перевод на русский язык, издание на русском языке, оформление. ООО «Манн, Иванов и Фербер», 2015

Содержание

П Р Е Д И С Л О В И Е ................................................................... 9 ГЛ А ВА 1 ............................................................................. 1 3

Укаждого числа своя история Автор анализирует, какие чувства мы испытываем по отношению кчислам, иобъясняет, почему 11— более интересное число, чем 10, а24 гигиеничнее 31 ипочему семерка приносит удачу. ГЛ А ВА 2 ..............................................................................

41

Длинный хвост закона Автор изучает универсальные законы чисел иобнаруживает числовые закономерности повсюду, включая истраницы этой книги. ГЛ А ВА 3 ..............................................................................

73

Любовные треугольники Автор исследует треугольники. Призрачный мир древнегреческой геометрии приводит его сначала кколодцу, азатем навершину самой высокой горы мира. ГЛ А ВА 4 ..............................................................................

97

Конусоголовые Автор направляет свет своего факела наконус ивидит его отражение вракетах, планетах ибашнях. Он познаёт радость катания шаров— как погруженных вчернила вИталии эпохи Возрождения, так иотскакивающих от бортика бильярдного стола вНью-Йорке.

6

С О Д Е РЖ А Н И Е

ГЛ А ВА 5 ............................................................................

129

Движение по замкнутому кругу Автор исследует вращение: крутит колесо, качает маятник, приводит вдвижение пружину иударяет по камертону. ГЛ А ВА 6 ............................................................................

157

Все очисле е Автор изучает пропорциональный рост. Он беседует сученым изКолорадо, ставшим звездой YouTube, ирассказывает биографию числа, лежащего воснове капитализма, каталонской архитектуры ипоисков спутника жизни. ГЛ А ВА 7 ............................................................................

193

Позитивная сила негативного мышления Автор отправляется в путешествие по другую сторону ноля. Он должен объяснить, почему минус, умноженный наминус, дает плюс. Ему неудается сохранить связь среальностью, ион погружается вДолину морского конька. ГЛ А ВА 8 ............................................................................

229

Профессор Калькулус Автор принимается за исчисление, катается наамериканских горках сАрхимедом иНьютоном, атакже пытается выяснить, почему среди французов так много талантливых математиков. ГЛ А ВА 9 ............................................................................

Назвние етой главы содержит три ошбки Автор исследует математическое доказательство. Он высмеивает логическую дедукцию ивстречается санонимным членом тайной математической секты.

261

7

С О Д Е РЖ А Н И Е

ГЛ А ВА 1 0 ..........................................................................

285

Соседи по клетке Автор совершает путешествие вмир клеточных автоматов. Онпытается понять смысл «Жизни» ибеседует счеловеком, который ищет вселенные усебя вподвале. ГЛ О С С А Р И Й ....................................................................3 1 5 Б Л А Г О Д А Р Н О С Т И ...........................................................3 3 4 П Р Е Д П ОЛ ОЖ Е Н И Я , У Т О Ч Н Е Н И Я , С С Ы Л К И И  П Р И М Е Ч А Н И Я .............................................3 3 6 И С Т О Ч Н И К И Ф О Т О Г РАФ И Й И  Р И С У Н КО В ..................3 5 4 П Р Е Д М Е Т Н О - И М Е Н Н О Й У К А З АТ Е Л Ь ...........................3 5 5 О Б А В Т О Р Е ......................................................................3 5 9

Посвящается Нэт

Предисловие Математика — это шутка. Поверьте, я говорю совершенно серьезно. Понять математику — это то же самое, что уловить смысл шутки. Мыслительный процесс вобоих случаях один итот же. Подумайте вот очем. Шутка— это небольшой рассказ со своим построением икульминацией. Вы внимательно следите за развитием сюжета до самой развязки, которая вызывает увас улыбку. Любая математическая концепция — тоже своего рода короткий рассказ спостроением икульминацией. Безусловно, это совсем другая история, где главные действующие лица — числа, фигуры, символы и закономерности. Как правило, вматематике такую историю называют доказательством, аее кульминацию— теоремой. Вы следите за доказательством, пока ненаступит развязка. Ивдруг все становится понятным! Нейроны начинают буйствовать! Внезапный прилив интеллектуальной удовлетворенности оправдывает ваше первоначальное замешательство— ивы улыбаетесь. Удовольствие от хорошей шутки иозарение вматематике— эмоции одного порядка. Именно поэтому понимание математики может быть настолько приятным изахватывающим. Подобно шуткам с очень смешной кульминацией, самые красивые теоремы проливают свет на нечто совершенно неожиданное. Они раскрывают новую идею, перспективу. Хорошая шутка вызывает смех. Математика приводит вблагоговейный трепет. Именно из-за этого элемента неожиданности явлюбился вматематику смалых лет. Она— единственный предмет, систематически подвергающий сомнению те выводы, ккоторым я когда-то пришел. Цель данной книги — удивить вас. Вней я расскажу освоих любимых математических концепциях ипопытаюсь обнаружить следы их присутствия внашей повседневной жизни. Я хочу, чтобы вы по достоинству оценили красоту, функциональность иувлекательность логического мышления.

10

ПРЕДИСЛОВИЕ

В моей предыдущей книге «Алекс встране чисел. Необычайное путешествие вмир математики»* я совершаю странствие вмир математической абстракции. Вэтой возвращаюсь креальности: меня вравной мере интересует как реальный мир, отраженный взеркале математики, так иабстрактный, возникший под влиянием физического опыта. Сначала я подвергаю психоанализу людей (какие чувства они испытывают по отношению кчислам ичто вызывает эти чувства), затем— числа, каждое вотдельности ивсе вместе. Укаждого числа есть свои свойства, ноесли взять множество чисел, то можно заметить нечто удивительное: они ведут себя как хорошо организованная группа. Числа помогают нам постичь смысл бытия, что мы ипытаемся сделать с того самого момента, как научились считать. Пожалуй, наиболее удивительное свойство математики состоит в том, что она позволяет нам четче понять мир, вкотором мы живем. Цивилизация обязана своим развитием открытию таких простых фигур, как окружность и треугольник,— сперва вграфическом виде, азатем иввиде уравнений. Я бы сказал, что математика — это самое впечатляющее и продолжительное коллективное начинание вистории человечества. Вэтой книге мы, ведомые путеводной звездой открытий, проследуем от египетских пирамид доЭвереста, изПраги вГуанчжоу, извикторианской гостиной вцифровую вселенную самовоспроизводящихся сущностей. Мы встретимся с самыми дерзкими мыслителями, среди которых будут как хорошо известные мудрецы античного мира, так именее известные представители современности. Вэтом списке есть знаменитость изИндии, частный детектив изСоединенных Штатов Америки, член тайного общества изФранции исоздатель космических кораблей, проживающий со мной по соседству вЛондоне. Во время странствий по физическому иабстрактному мирам мы исследуем привычные для нас математические понятия, такие как числоπ иотрицательные числа, атакже познакомимся сболее загадочными концепциями, которые станут нашими близкими друзьями. Мы рассмотрим конкретные примеры практического применения математических идей— иобещаю: это приведет вас ввосторг!

* Беллос А. Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие вмир математики. — М.:КоЛибри, Азбука-Аттикус, 2012.

ПРЕДИСЛОВИЕ

11

Для понимания содержания этой книги ненужно быть выдающимся математиком, поскольку она предназначена для обычного читателя. Вкаждой главе представлена отдельная математическая концепция, для усвоения которой не понадобятся предварительные знания. Хотя, несомненно, одни концепции неизбежно окажутся сложнее, чем другие. Иногда изложенный материал соответствует уровню бакалавра, поэтому внем трудно будет разобраться без должной математической подготовки. В таких случаях просто переходите кначалу следующей главы, где я снова возвращаюсь кэлементарному уровню. Поначалу текст книги может вызвать увас замешательство, особенно если вы впервые знакомитесь сданной темой, однако именно вэтом исостоит мой замысел. Яхочу, чтобы вы взглянули нажизнь по-другому. Апрозрение порой требует времени. Возможно, это кажется вам слишком серьезным, нонасамом деле все вовсе нетак. Способность математики удивлять сделала ее самой занимательной извсех интеллектуальных дисциплин. Числа всегда были для человека развлечением невменьшей степени, чем математическим инструментом. Математика поможет вам не только лучше понять мир, но и получать отнего больше удовольствия.

У каждого числа своя история

1

14

К Р А С О ТА В К В А Д Р А Т Е

Джерри Ньюпорт попросил меня выбрать четырехзначное число. — 2761, — сказал я. — Это 11 × 251, — ответил он, назвав числа без запинки иколебаний. — 2762. — Это 2 × 1381. — 2763. — 3 × 3 × 307. — 2764. — 2 × 2 × 691. Джерри — бывший таксист из города Тусон, страдающий синдромом Аспергера. Унего румяное лицо, маленькие голубые глаза ирусые волосы, прядь которых спадает набольшой лоб. Джерри очень любит птиц ичисла. Когда мы встретились, он был одет вкрасную рубашку сцветочным узором иизображением попугая. Мы сидели вгостиной в компании какаду, голубя, трех длиннохвостых попугаев идвух корелл, которые тоже слушали наш разговор ипорой даже повторяли некоторые фразы. Когда Джерри видит большое число, он сразу же делит его на простые числа — 2, 3, 5, 7, 11… то есть числа, которые делятся только насебя иединицу[1]*. Благодаря этой привычке Джерри получал особое удовольствие от работы таксиста, поскольку у него перед глазами постоянно мельками номерные знаки автомобилей. Когда Джерри жил в Санта-Монике, где номерные знаки состоят из четырех-пяти цифр, он часто посещал четырехэтажную парковку возле местного торгового центра и неуходил оттуда до тех пор, пока непрорабатывал все номера. Однако в Тусоне в номерах автомобилей всего три цифры, поэтому теперь Джерри почти несмотрит наних. — Я обращаю внимание только на числа, в которых больше четырех цифр. Если же их меньше, это как раздавленное на дороге животное. Да, именно так!— возмущенно заявил он.— Ну же, покажите мне что-нибудь новенькое! Синдром Аспергера — это психическое расстройство, при котором человек испытывает трудности в межличностном общении, но обладает уникальными талантами. В случае Джерри это невероятные способности * Числа вквадратных скобках соответствуют номерам примечаний ккаждой главе, помещенным вконце книги.

У КажДОгО чИСЛа СВОя ИСтОРИя

15

карифметическим вычислениям вуме. В2010году Джерри безо всякой подготовки принял участие вчемпионате мира по устному счету, проходившем вГермании, иполучил титул «Самый универсальный вычислитель». Он стал единственным участником конкурса, набравшим максимальное количество баллов за выполнение задания, по условиям которого 19пятизначных чисел задесять минут следовало разложить напростые множители. Больше никто даже неприблизился кэтому результату. Джерри выработал свою систему разбиения больших чисел на простые множители: перебирать простые числа впорядке возрастания, отсеивая сначала все четные числа, которые делятся на2, потом все числа, которые делятся на3, затем на5 ит.д. Джерри повысил голос: — Ода, мы просеиваем числа, детка! — Он начал вертеться.— Мы насцене. Люди, давайте свои числа— мы просеем их для вас! Да! Джерри ирешето! — Уменя есть два решета, — прервала его жена Мэри, сидевшая надиване рядом снами. Мэри, музыкант ибывшая актриса массовок всериале «Звездный путь», тоже страдает синдромом Аспергера, хотя у женщин он встречается гораздо реже, чем умужчин. Пары стаким синдромом крайне редко вступают в брак; в 2005 году был снят фильм Mozart and the Whale («Моцарт иКит»)*, воснову которого лег их необычный роман. Иногда Джерри неудается разложить большое число напростые множители, аэто означает, что данное число само является простым. Такие случаи вызывают уДжерри непередаваемые ощущения: — Когда встречаешь новое простое число, это как будто смотришь накамни инаходишь среди них что-то необычное. Нечто вроде бриллианта, который можно взять домой иположить наполку,— объясняет Джерри. И, сделав паузу, добавляет: — Новое простое число— это как новый друг[2]. Первые слова исимволы для обозначения чисел появились около 5000 лет назад вШумере, исторической области вЮжном Двуречье, расположенной натерритории современного Ирака. Шумеры придумывали для чисел названия, пользуясь имеющимися вих языке словами. Например, для обозначения единицы употреблялось слово ges («геш»), второе значение которого— мужчина * Врусском прокате — «Без ума от любви». Прим. пер.

16

К Р А С О ТА В К В А Д Р А Т Е

или фаллос. Двойка обозначалась словом min («мин»), также символизирующим женское начало. Возможно, это подчеркивало то, что мужчина занимает доминирующее положение, аженщина— лишь дополнение кнему, или характеризовало мужской половой член иженскую грудь[3]. Изначально числа использовались для практических целей, таких как подсчет овец или расчет налогов, но при этом отображали иабстрактные закономерности, что делало их предметом глубоких размышлений. Одним изпервых математических открытий было, пожалуй, разделение чисел надве категории: четные— целые числа, которые делятся на2 без остатка (например, числа2, 4 и6); инечетные— которые неделятся на2 без остатка (например,1, 3 и 5). Греческий мыслитель Пифагор, живший в VI веке до нашей эры, провозгласил нечетные числа мужскими, ачетные— женскими, тем самым подтвердив отмеченную шумерами ассоциативную связь между единицей имужчиной, атакже двойкой иженщиной. Он утверждал, что нежелание делиться надва— это признак силы, тогда как склонность ктакому делению— признак слабости. Пифагор дал следующее арифметическое обос нование своих выводов: нечетные числа главенствуют над четными точно так же, как мужчина главенствует над женщиной, поскольку сложение нечетного ичетного чисел всегда дает врезультате нечетное число. Пифагор больше всего известен теоремой отреугольниках, окоторой мы поговорим позже. Тем не менее его утверждение о гендерной принадлежности чисел доминировало взападной философской традиции более двух тысяч лет. Вхристианстве это нашло отражение вмифе осотворении мира: Адама Бог создал первым, а Еву — второй. Единица символизирует единство, тогда как двойка— «грех как отклонение от изначального добра»[4]. Средневековая церковь считала нечетные числа, вотличие от четных, более сильными, добродетельными, праведными иприносящими удачу. Во времена Шекспира были широко распространены метафизические представления онечетных числах. Вкомедии The Merry Wives of Windsor («Виндзорские насмешницы») Фальстаф заявляет: «Я верю внечет ивсегда ставлю нанечетные числа— говорят, счастье их любит»*. Иэти предрассудки сохранились до наших дней. Мистическими по-прежнему считаются только нечетные числа, вчастности магическое число три, приносящее удачу, число семь инесчастливое число тринадцать. * Перевод М.М. Морозова. Прим. пер.

У КажДОгО чИСЛа СВОя ИСтОРИя

17

Кроме того, именно Шекспиру приписывают употребление слова odd («нечетный») в новом значении [5]. Первоначально это слово ассоциировалось исключительно счислами ииспользовалось втаких фразах, как odd man out («третий лишний»)— член группы изтрех человек, оставшийся без пары[6]. Однако вкомедии Love’s Labour’s Lost («Бесплодные усилия любви») чудаковатый испанец Дон Адриано деАрмадо описывается как «человек характера крайне причудливого ислишком, слишком тщеславного»*. Стех пор словом, которое ассоциировалось раньше только сединицей востатке отделения надва, начали обозначать инечто необычное, причудливое. Человеку свойственна чувствительность кчисловым закономерностям. Они вызывают унего субъективную реакцию, порой чрезмерную— как вслучае Джерри Ньюпорта, новосновном пробуждают глубокие культурные ассоциации. Восточная философия построена на признании дуальности мира, отраженной втаких символах, как инь иян, «тьма» и«свет». Инь ассоциируется спассивностью, женским началом, Луной, невезением ичетными числами, а ян— сих противоположностями: агрессивностью, мужским началом, Солнцем, удачей и нечетными числами. Здесь снова можно увидеть историческую связь между удачей инечетными числами. Особенно она сильна вЯпонии, где, например, принято дарить по три, пять или семь предметов, ноникогда четыре или шесть[7]. Когда японцы дарят деньги молодоженам, они предпочитают суммы 30000, 50 000 и100 000 иен. Сумма 20000 тоже приемлема, но в этом случае следует дарить одну банкноту достоинством 10000 иен идве банкноты по5000 иен. Эстетика нечетных чисел лежит также воснове икебаны — традиционного японского искусства создания цветочных композиций, в котором используется только нечетное количество цветов (это связано свлиянием буддийских представлений об асимметричности природы). Кайсэки — обед японской высокой кухни — состоит исключительно изнечетного числа блюд. Японские дети получают этот сигнал враннем возрасте, во время праздника под названием Shichi-Go-San (буквально «семь, пять, три») — фестиваля, в котором участвуют дети только семи, пяти итрех лет. Профессор Осакского университета экономики Ютака Нишияма писал, что пристрастие японцев кнечетным числам до того укоренилось, что когда в2000 году правительство выпустило банкноту достоинством 2000 иен, никто нестал ее использовать[8]. *

Перевод Ю. Корнеева. Прим. пер.

18

К Р А С О ТА В К В А Д Р А Т Е

В странах Восточной Азии предрассудки вотношении чисел более распространены, чем наЗападе. Результаты их жителей по международным тестам наматематические способности гораздо выше, аэто говорит отом, что мистические предубеждения немешают освоению математических навыков. На самом деле такие предрассудки могут даже усиливать интерес кчислам, желание ближе с ними познакомиться инаходить вних нечто заним...