Kreisbewegung/ Zentripetalkraft Mechanik PDF

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Arbeitsblatt mit Aufgaben und Übungen und Erklärung über die Kreisbewegung und der Zentripetalkraft...

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Kreisbewegung und Zentripetalkraft In der letzten Stunde haben wir die Bahngeschwindigkeit bei einer gleichförmigen Kreisbewegung wiederholt und die Winkelgeschwindigkeit eingeführt. Wiederholungsfragen: a) Was ist eine gleichförmige Kreisbewegung? Warum ist die Beschleunigung nicht null? b) Wie berechnet man den Betrag der Bahngeschwindigkeit? In welche Richtung zeigt sie? c) Wie ist der Winkel im Bogenmaß definiert, wie die Winkelgeschwindigkeit? d) Stell dir vor, du sitzt auf einer rotierenden Scheibe, die alle 5,0 Sekunden eine Umdrehung macht. Berechne die Bahn- und Winkelgeschwindigkeit, wenn du 1,0 m (bzw. 2,0 m) vom Drehpunkt entfernt sitzt. Welchen Winkel überstreicht der Radiusvektor in 2,0 s? Bearbeite noch S. 111/8 (Bei a kennst du die Daten, für den Mond gilt 𝑟 = 384 ⋅ 106 m; 𝑇 = 27,3 d.) 9 (Die Drehzahl gibt an, wie viele Umdrehungen pro Sekunde erfolgen.) Sieh dir folgenden Ausschnitt aus James Bond „Moonraker“ an: https://www.youtube.com/watch?v=2PtGwUZ_POM Hier wird eindrucksvoll demonstriert, dass eine Kreisbewegung eine beschleunigte Bewegung ist, bei der Kräfte wirken. Fragen zum Film: a) Wozu dient die „Human-Zentrifuge“? (siehe auch https://de.wikipedia.org/wiki/Humanzentrifuge) b) Welche Antwort erhält Bond auf die Frage „Wie schnell geht es?“ Was bedeutet diese Antwort? c) In welche Richtung zeigt die Beschleunigung und damit auch die Kraft auf Bond? (Denke an den Trägheitssatz! Die Antwort ist zunächst vielleicht nicht leicht verständlich, du musst die Lösung genau nachvollziehen!) Die Zentripetalkraft Bei der Kreisbewegung wirkt also auf den Körper immer eine Kraft in Richtung Kreismittelpunkt. Diese Kraft heißt Zentripetalkraft (von lat. centrum und petere = nach etwas streben). Sie ist die Ursache für die Zentripetalbeschleunigung, die in jedem Punkt die Richtung der Bahngeschwindigkeit verändert. Die Herleitung der Formeln findest du im Buch auf S. 97. Wenn du lieber zuhörst statt nur zu lesen, sieh dir folgende Erklärung an (in schönem Schweizer Akzent, „das kleine Wägeli“): https://www.youtube.com/watch?v=8dLvpNHKU0w (Auch das darauf folgende Video zur Unterscheidung von Zentripetal- und Zentrifugalkraft ist lehrreich.)

Die Herleitung ist nicht einfach. Wichtig ist, dass du mit den folgenden Formeln umgehen kannst: Zentripetalbeschleunigung: 𝑎𝑍 = 𝜔2 𝑟 =

𝑣2 𝑟

; Zentripetalkraft: 𝐹𝑍 = 𝑚 ⋅ 𝑎𝑍 = 𝑚𝜔 2 𝑟 =

𝑚𝑣 2 𝑟

Schreibe folgenden Hefteintrag ab: Damit ein Körper auf einer Kreisbahn gehalten wird, muss auf ihn eine Kraft in Richtung Kreismittelpunkt wirken. Diese Zentripetalkraft 𝐹𝑍 steht senkrecht auf 𝑣 und ändert deshalb nicht den Betrag, sondern nur die Richtung von 𝑣. Es gilt für die 𝑣2

•

Zentripetalbeschleunigung: 𝑎𝑍 = 𝜔2 𝑟 =

•

Zentripetalkraft: 𝐹𝑍 = 𝑚 ⋅ 𝑎𝑍 = 𝑚𝜔 2 𝑟 =

𝑟 𝑚𝑣 2 𝑟

Löse die folgende Aufgabe: S. 111/12 1

Lösungen Wiederholungsfragen a) Bei einer gleichförmigen Kreisbewegung bewegt sich ein Körper auf einer Kreisbahn, wobei der Betrag 𝑣 = |𝑣| seiner Bahngeschwindigkeit konstant bleibt. Der Vektor 𝑣 ändert aber ständig seine Richtung, d. h. der Vektor der Bahngeschwindigkeit ändert sich. Dazu ist eine Beschleunigung nötig (und somit eine beschleunigende Kraft, s. später). 2𝜋𝑟 b) 𝑣 = 𝑇 (wobei 𝑇 die Umlaufzeit ist), 𝑣 ist tangential zur Kreisbahn und somit senkrecht zum Radius. c) Winkel = Bogenlänge/Radius, also 𝜑 =

𝑠 𝑟

Winkelgeschwindigkeit = zeitliche Änderung des Winkels, also 𝜔 = d) 1 m vom Drehpunkt entfernt: 𝑣 = 2 m vom Drehpunkt entfernt: 𝑣 =

2𝜋𝑟

=

𝑇 2𝜋⋅2 m 5s

2𝜋⋅1 m 5s

≈ 2,5

m

≈ 1,3 s ; 𝜔 =

m s

1

2𝜋 𝑇

Δ𝜑 Δ𝑡

1

≈ 1,3 s

; 𝜔 ≈ 1,3 s ist unabhängig vom Radius

In beiden Fällen wird in 2 s der Winkel Δ𝜑 = 𝜔 ⋅ Δ𝑡 =

2𝜋

5s

4

⋅ 2 s ≈ 5 𝜋 überstrichen (= 144°).

S. 111/8 Wir nehmen an, dass es sich um Kreisbahnen handelt (eigentlich Ellipsen, aber mit geringer Exzentrizität). a) 𝑣 = b) 𝑣 =

2𝜋𝑟

2𝜋⋅1 𝐴𝐸 1𝑎 𝑇 2𝜋⋅384⋅106 m

=

27,3⋅24⋅3600 s

=

2𝜋⋅1,496⋅1011 m 365⋅24⋅3600 s km

≈ 1,02

≈ 29,8

km

s

S. 111/9 1000 Umdrehungen pro Sekunde bedeutet 𝑇 = 𝑣3 ≈ 189

m s

;

𝑣6 ≈ 377

m s

s

;

𝑣9 ≈ 566

m

1 1000

s. Mit 𝑣 =

2𝜋𝑟 𝑇

erhält man:

s

Fragen zum Film a) Die Humanzentrifuge dient zum Training von Astronauten oder Kampfpiloten. Es wird getestet, wie gut sie mit hohen Beschleunigungen umgehen können. b) Er erhält die Antwort: bis zu 20g (was tödlich wäre), beim Start einer Rakete wirken ca. 3g. Das ist eigentlich keine Antwort auf die Frage „wie schnell…?“, da es keine Geschwindigkeits-, sondern Beschleunigungswerte sind. 3g bedeutet, dass die Beschleunigung dreimal so groß ist wie beim freien Fall. Allerdings hängt die momentane Geschwindigkeit bei der Kreisbewegung mit der momentanen Beschleunigung zusammen (s. später), was bei der geradlinigen Bewegung ja nicht der Fall ist (dort kann man sich mit sehr großer Geschwindigkeit ohne Beschleunigung bewegen). c) Die Beschleunigung und die Kraft zeigen immer in Richtung Kreismittelpunkt! Nach dem Trägheitssatz würde sich der Körper ohne Krafteinwirkung geradlinig bewegen. Wenn er eine Rechtskurve machen soll, muss eine Kraft nach rechts wirken. Bei der Kreisbewegung zieht ihn die Kraft immer nach innen, sonst würde er geradeaus (tangential) weiter fliegen. Wenn du eine Kugel an einer Schnur im Kreis schleuderst (wie ein Hammerwerfer), musst du die Schnur ja zu dir (also zum Kreismittelpunkt) hin ziehen! Auf die Kugel wirkt also eine Kraft nach innen. Vielleicht hast du gedacht, dass die Kraft nach außen wirkt, weil du im Karussell nach außen gedrückt wirst. Diese Kraft spürst du aber nur, weil du dich in einem rotierenden (also beschleunigten) Bezugssystem befindest. Wenn du in einem nach vorne beschleunigenden Auto sitzt, wirst du auch nach hinten in den Sitz gedrückt, aber von außen betrachtet wirkt die Kraft auf dich nach vorne, weil du ja nach vorne beschleunigst. Bei der Kreisbewegung ist es genauso: Von außen betrachtet muss eine Kraft zum Kreismittelpunkt wirken (Zentripetalkraft, s. u.), und auch die Beschleunigung zeigt dorthin. Die Richtungsänderung von Bond erfolgt immer nach innen, und die Ursache dafür ist die Kraft, mit der ihn die Gondel nach innen drückt.

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