Hilfreiche Formeln für Theoretische Mechanik PDF

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Sommersemester 2016...

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KoordinatensystemeZylinderkoordinaten-(bei-Polarkoordinaten:-z=0)• Umrechnung*in*kartesische*Koordinaten:* 𝑥 = 𝜌 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜑!! 𝑦 = 𝜌 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜑!! 𝑧 = 𝑧!! • Ort/Geschwindigkeit/Beschleunigung* 𝑟 = 𝜌 ∙ 𝑒/ + 𝑧 ∙ 𝑒1 !!

• •

𝑟 = 𝜌 ∙ 𝑒/ + 𝜌 ∙ 𝜑 ∙ 𝑒2 + 𝑧 ∙ 𝑒1 ** 𝑟 = 𝜌 − 𝜌𝜑 4 ∙ 𝑒/ + 𝜌𝜑 + 2𝜌𝜑 ∙ 𝑒2 + 𝑧 ∙ 𝑒1 ** Volumenelement** 𝑑𝑉 = 𝜌8𝑑𝜌8𝑑𝜑8𝑑𝑧 ** Nablaoperator* :

∇=

:/ ; : ∙ / :2 :

**

:1

*

bei*Lagrange-Gleichung*2.*Art*kommt*immer*mal*das*vor:* = 𝑇 = (𝑥 4 + 𝑦 4 + 𝑧²)!! 4

Dann!gilt!in!Zylinderkoordinaten:!𝑇 =

= 4

𝑥 4 + 𝑦4 + 𝑧 4 =

= 4

(𝜌 4 + 𝜌 4 𝜑² + 𝑧 4 )!!

Kugelkoordinaten• Umrechnung*in*kartesische*Koordinaten:* 𝑥 = 𝑟 ∙ sin 𝜗 ∙ cos 𝜑!! 𝑦 = 𝑟 ∙ sin 𝜗 ∙ sin 𝜑!! 𝑧 = 𝑟 ∙ cos 𝜗!! • Ort/Geschwindigkeit/Beschleunigung** 𝑟 = 𝑟 ∙ 𝑒G !! 𝑟 = 𝑟 ∙ 𝑒G + 𝑟 ∙ 𝜗 ∙ 𝑒H + 𝑟 ∙ sin 𝜗 ∙ 𝜑 ∙ 𝑒2 ** 𝑟 = 𝑟 − 𝑟𝜑 4 − 𝑟 sin4 𝜗 𝜑 4 ∙ 𝑒G + 𝑟𝜑 + 2𝑟𝜑 − 𝑟 sin 𝜗 cos 𝜗 𝜑 4 ∙ 𝑒H +** ********(𝑟 sin 𝜗 𝜑 + 2 sin 𝜗 𝑟𝜑 + 2𝑟 cos 𝜗 𝜗𝜑) ∙ 𝑒2 ** • Volumenelement** 𝑑𝑉 = 𝑟 4 𝑑𝑟 sin 𝜗 𝑑𝜗 8𝑑𝜑** • Nablaoperator* :

∇=

:G ; : ∙ G :H : ; ∙ G∙IJK H :2

**

*

koordinatenfrei-rechnen• ∇𝑟 = 𝑒G ! G

;

;

•

∇ G = − GL = −

• • •

∇× 𝑏 ∙ (𝑎 ∙ 𝑟) = 𝑏× ∇ ∙ (𝑟 ∙ 𝑎) ! ∇ 𝑟 ∙ 𝑎 = 𝑎! 𝑎×𝑏 ∙ 𝑐 = 𝑏×𝑐 ∙ 𝑎!

•

𝑎×𝑏

4

GM

∙ 𝑒G !

= 𝑎 4 𝑏 4 − (𝑎 ∙ 𝑏)²!

! rotierendes-BezugssystemEin!Bezugssystem!Σ′!rotiert!mir!𝜔,!ein!Körper!ist!im!IS!Σ.! Dann!gilt!aus!Sicht!von!Σ U !für!die!Geschwindigkeit!des!Körpers:!𝑣 = 𝑣 U + 𝜔×𝑟! Schwerpunkt𝑟W =

=XGXY=MGMY⋯ =XY=MY⋯

!!

3.-Keplersches-Gesetz[XM [MM

=

\XL \ML

!!

! Ellipsengleichung𝒌 --,-𝝆 𝝋 = !

𝟏Y𝜺∙𝐜𝐨𝐬 𝝋

𝜀 = 0 → 𝐾𝑟𝑒𝑖𝑠8!! 0 < 𝜀 < 1 → 𝐸𝑙𝑙𝑖𝑝𝑠𝑒!! 𝜀 = 1 → 𝑃𝑎𝑟𝑎𝑏𝑒𝑙!! 𝜀 > 18𝐻𝑦𝑝𝑒𝑟𝑏𝑒𝑙!! ! Effektives-Potential-(Zentralkraft)𝑈rss 𝑟 = 𝑉 𝑟 + *

tM !! 4=GM

D’Alembert-PrinzipBei!virtuellen!Verrückungen!𝛿𝑟!leistet!die!Zwangskraft!keine!Arbeit! à!also!gilt:! • für!N=1!Punktmasse:!𝑧 ∙ 𝛿𝑟 = 0!oder! 𝑚𝑟 − 𝐹 ∙ 𝛿𝑟 = 0! y • für!N!Punktmassen:! y z{; 𝑧x ∙ 𝛿𝑟x = 0!oder! z{; 𝑚𝑟x − 𝐹x ∙ 𝛿𝑟z = 0! Zwangsbedingungenholonom!à𝑔} 𝑟, 𝑡 = 0! • skleronom:!holonom,!aber!nicht!explizit!zeitabhängig! • rheonom:!holonom,!explizit!zeitabhängig! anholonom!à!𝑛𝑖𝑐ℎ𝑡8𝑔} 𝑟, 𝑡 = 0! ! Lagrange-Gleichungen!1.!Art!aufstellen! 1. Zwangsbedingungen!𝑔} 8formulieren! 2. Lagrange-Gleichung!1.!Art!aufstellen:! 𝑚€ ∙ 𝑥€ = 𝐹€ + 3. 4. 5. 6. 7.

† }{; 𝜆}

𝑡 ∙

:‚ƒ :„…

!!

Zwangsbedingungen!2!mal!nach!der!Zeit!ableiten! à!erhaltene!𝑥€ !in!die!Lagrangegleichungen!einsetzen! à!Gleichungen!nach!den!𝜆!auflösen! à!𝜆!in!die!Lagrangegleichungen!einsetzten!! à!DGL!lösen!

Euler-Lagrange-Gleichungen!2.!Art! ‡ :ℒ ‡ˆ :Š‹

:ℒ

− :Š = 0!! ‹

Hamiltonfunktion-aufstellen:1. Lagrange-Funktion!aufstellen!(ℒ = 𝑇 − 𝑈)! 2. verallgemeinerten!Impuls!berechnen:!𝑝z =

:ℒ !(𝑞!ist!verallgemeinerte!Koordinate)! :ŠŒ

3. verallgemeinerten!Impuls!𝑝z !nach!𝑞x !umstellen!! 4. Hamilton!Funktion!ist!ℋ = s 𝑝z ∙ 𝑞x− ℒ! 5. à!da!die!𝑞x !einsetzen! dann*gilt*z.B.:** 1. 2.

:ℋ :ˆ :ℋ :2

= 0 ⇒ 𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑒𝑒𝑟ℎ𝑎𝑙𝑡𝑢𝑛𝑔! = 0 ⇒ 𝜑8𝑖𝑠𝑡 8𝑧𝑦𝑘𝑙𝑖𝑠𝑐ℎ ⇒ 𝐷𝑟𝑒ℎ𝑖𝑚𝑝𝑢𝑙𝑠𝑒𝑟ℎ𝑎𝑙𝑡𝑢𝑛𝑔!

Für!die!Hamiltonschen!Bewegungsgleichungen!gilt:! :ℋ

𝑞“ = :” !! ‹

:ℋ

𝑝“ = − :Š !‹

!

Poissonklammer𝐹, 𝐺 ≔ à!

‡— ‡ˆ

:™ :— s “{; :Š ∙ :” ˜ ˜ :—

= 𝐹, ℋ +

:ˆ

−

:—

∙

:™

:”˜ :Š˜

!!

!

:—

à!F!ist!eine!Erhaltungsgröße!⇔ 𝐹, ℋ + = 0! :ˆ ! kanonische-Transformation1. Erzeugende!𝐺; 𝑞, 𝑄, 𝑡 ! à!𝑝 = à𝑃 =

:™X ! :Š :™X − :œ !

2. Erzeugende!𝐺4 𝑞, 𝑃, 𝑡 ! :™M ! :Š :™M

à!𝑝 = à𝑄 =

! 3. Erzeugende!𝐺ž 𝑄, 𝑝, 𝑡 ! :•

à!𝑞 = − à𝑃 =

:™L ! :”

:™L ! :œ

4. Erzeugende!𝐺Ÿ 𝑝, 𝑃, 𝑡 ! à!𝑄 = à𝑞 =

:™

!

:• :™ − :” !

! TrägheitstensorMassepunkte! 𝜃=€ = z 𝑚 z ∙ (𝑟¢z4 𝛿=€ − 𝑥=£ 𝑥€£ )!! kontinuierliche!Massenverteilung! 𝜃=€ = 𝑑𝑉 ∙ 𝜌 𝑟 ∙ (𝑟 4 𝛿=€ − 𝑥= 𝑥€ )!!und!𝑀 = à!Trägheitstensor!ist!symmetrisch!! Trägheitsmoment! 𝐽 = 𝑒¦ ∙ Θ ∙ 𝑒¦ !! Rotationsenergie! ; 𝑇G¢ˆ = ∙ 𝜔 ∙ Θ ∙ 𝜔!! 4 ! FormelnBahngeschwindigkeit:!𝑣 = 𝑟 = 𝜔×𝑟! Drehmoment:!𝑀 =

‡t ‡ˆ

𝑑𝑉 ∙ 𝜌(𝑟)!

= 𝑟×𝑝 = 𝑟×𝐹 = 𝑚𝑟×𝑟!

Drehimpuls:!𝐿 = 𝑟×𝑝 = 𝑚 ∙ 𝑟×𝑟! Federkraft!(Hooke):!𝐹 𝑟 = −𝑘 ∙ 𝑟!à!potentielle!Federenergie:!𝑉 𝑟 = Zentripetalkraft:!𝐹 𝑟 = 𝑚 ∙ 𝜔 4 ∙ 𝑟 = 𝑚 ∙ Corioliskraft:!𝐹 = −2𝑚𝜔×𝑣! Arbeit:!𝑑𝑊 = 𝐹𝑑𝑟! Leistung:!𝑃 =

« ˆ

= 𝐹 ∙ 𝑣!

©M G

= 𝑚𝜔×(𝜔×𝑟)!

“ 4

∙ 𝑟²!...