KT1 Lösung Hörsaalübung 02 Querpressverband 2017 11 03 PDF

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Fakultät für Maschinenbau Institut: Product and Service Engineering Lehrstuhl für Produktentwicklung Prof. Dr.-Ing. B. Bender

Konstruktionstechnik 1 für MB - WS 2017/18 Lösung Hörsaalübung 2 - Elastisch beanspruchter Querpressverband Bei der Auslegung eines Querpressverbandes ist es das Ziel eine Passung zu nden, die einerseits die Übertragung der Kräfte und Momente ermöglicht und andererseits nicht zu eng ist, sodass die zulässigen Werkstoffkennwerte überschritten werden. Somit gibt es ein Mindestübermaÿ, welches die Passung hergeben muss, um die Kräfte und Momente zu übertragen. Andererseits gibt es ein maximales Übermaÿ, das die Passung nicht überschreiten darf, da sonst der Werkstoff versagt. Die Geometriegröÿen, die einen Querpressverband beschreiben, sind in Abbildung 1 (aus dem Lehrbuch Abb. 9.25) dargestellt. Die Berechnung erfolgt nach DIN 7190. Die passenden Formeln nden sich zudem im Lehrbuch in Kapitel 9.

Abbildung 1: Zylindrischer Pressverband (Steinhilper/Sauer: S. 554, Abb. 9.25)

Aus der Aufgabenstellung sind folgende Maße bekannt: - Auÿendurchmesser Innenteil (Welle) DaI = 40 mm - Innendurchmesser Innenteil (Welle) DiI = 0 mm - Auÿendurchmesser Auÿenteil (Nabe) DaA = 140 mm - Innendurchmesser Auÿenteil (Nabe) DiA = 40 mm - Fügelänge lF = 40 mm - Fügedurchmesser DF = 40 mm Sonstige Randbedingungen: - Werkstoff: Stahl (E-Modul E = 210 000 MPa, Querkontraktionszahl ν = 0, 3) - Gleitreibungskoefzient der Werkstoffpaarung: µ = 0, 14 (DIN 7190 Tabelle 4) - Rauheit der Bauteile: RzI = RzA = 16 µm (Innen- und Auÿenteil)

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Für die Berechnung werden folgende Hilfsgröÿen benötigt (Denitionen unter 9.3.1.1 Seite 554 im Lehrbuch sowie Formel (10) und (11) in der Norm): Auÿenteil: QA = Innenteil: QI =

DF DaA

DiI DF

=

=

40 mm 140 mm

0 mm 40 mm

= 0, 286

=0

a) Übertragung des Antriebsmoments Zunächst muss ein minimales Übermaÿ gefunden werden, das notwendig ist um das Drehmoment von Mt = 300 N m zu übertragen. Dies erfolgt dadurch, dass der Fugendruck bestimmt wird, der einen ausreichenden Reibschluss erzeugt, sodass die Verbindung bei der gegebenen Belastung nicht durchrutscht. Die Sicherheit gegen Rutschen sollte im Bereich SR = 1, 5. . . 3 liegen. Gewählt wird eine Sicherheit von SR = 1, 5 (Seite 564 im Lehrbuch). Minimaler (notwendiger) Fugendruck: Formel (9.91) und (9.92) im Lehrbuch sowie (1) und (2) in der Norm (im Lehrbuch ist ein Fehler bei der Formel für Fu , dort steht DF 2 anstatt DF ): s s 2 4 · M SR 1, 5 4 · (300 N m)2 t 2 · Fax 2 + pmin = = = 31,97 MPa · (0 N) + 0, 14 · π · 40 mm · 40 mm µ · π · DF · lF DF 2 0,04 m2 Wirksames Übermaß: Mithilfe des Fugendrucks lässt sich das Übermaÿ bestimmen, welches notwendig ist um bei gegebener Geometrie diesen Druck zu erzeugen (Formel (9.96) im Lehrbuch, Kombination der Formeln (11), (13) und (18) aus der Norm):    EI 1 + Q2A 1 + Q2I pmin · DF − νI + · · UW,min = + νA EA EI 1 − Q2A 1 − QI2 Bei gleichen Werkstoffen und vollem Innenteil vereinfacht sich die Formel, da EI = EA = E (gleicher E-Modul) und νI = νA (gleiche Querkontraktionszahl) sowie QI = 0 (vgl. Formel (19) in Norm):   pmin · DF pmin · DF 1 + QA 2 31,97 MPa · 40 mm 2 2 = 13,263 µm UW,min = = · · · 2 +1 = 2 1 − 0, 2862 E 210 000 MPa 1 − QA E 1 − QA Glättung der Rauheit: Da beim Fügen ein Teil der Rauheit abgeplattet wird, muss dieser Betrag bei dem vorhandenen Übermaÿ dazu addiert werden (Formel (9.97) im Lehrbuch (wobei dort anstelle von 0,8 eine 0,4 steht. Im Übungsbuch wird richtig gerechnet, da sich beide Seiten vom Durchmesser angleichen und somit 2 · 0, 4 = 0, 8 ergibt. Siehe auch Vorlesungsfolien oder Anmerkungen aus der Hörsaalübung, in Norm Formel (7))): Umin = UW,min + G = UW,min + 0, 8 · (RzA + RzI ) = 13,263 µm + 0, 8 · (16 µm + 16 µm) ≈ 39 µm Das ist das minimale Übermaÿ welches notwendig ist um das Drehmoment mit der gewählten Verbindung zu übertragen.

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b) Werkstoffgrenze: Das zu wählende Übermaÿ muss mindestens Umin groÿ sein, damit das Drehmoment übertragen werden kann. Wiederum darf es nicht zu groÿ sein, da der Fugendruck sonst gröÿer wird als der Werkstoff es zulässt. Aus diesem Grund muss eine Obergrenze für das Übermaÿ bestimmt werden. (Es kann auch vorkommen, dass die Obergrenze geringer liegt als das minimale Übermaÿ. Dann kann ohne Anpassungen keine Passung gewählt werden, ohne dass die Verbindung versagt). Die Auslegung erfolgt mit dem Nabenwerkstoff, da die gröÿte Beanspruchung der Welle-Nabe-Verbindung am Innendurchmesser der Nabe vorliegt (Abbildung 2). Zudem treten die Tangentialspannungen als Zugspannungen auf, die die Entstehung und das Wachstum von Rissen begünstigen.

Abbildung 2: Tangential- und Radialspannungsverlauf einer Welle-Nabe-Verbindung mit Hohl- und Vollwelle (Steinhilper/Sauer: S. 562, Abb. 9.27) Bei Werkstoffen mit keiner ausgeprägten Streckgrenze, wie etwa dem 16MnCr5, wird ein Sicherheitsfaktor gegen Flieÿen gemäÿ Formel 9.89 nach dem Lehrbuch gewählt (bei ausgeprägter Streckgrenze Re Formel 9.88 und bei Gusseisen Rm Formel 9.90): SF = 1, 1. . . 1, 3 (Formel 9.89) bei keiner ausgeprägten Streckgrenze, es wird gewählt: SF = 1, 3 Somit ergibt sich die zulässige Spannung zu: σzul =

Rp0,2 630 MPa = 484,62 MPa = SF 1, 3

Der maximal zulässige Fugendruck bestimmt sich mithilfe der zulässigen Spannung und der Geometrie. Maximal zulässiger Fugendruck: Formel (9.87) im Lehrbuch, in der Norm Formel (15):     σzul · 1 − QA 2 484,62 MPa · 1 − 0, 2862 p = 256,67 MPa pmax = p = 3 + 0, 2864 3 + QA 4

(In manchen Lehrbüchern und auch in der DIN 7190 wird auf die QA 4 verzichtet, da dieser Term vernachlässigbar klein wird) Das Übermaÿ sowie die Anpassung durch die Rauheit lassen sich ähnlich zu Aufgabenteil a) bestimmen.

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Wirksames Übermaß: Formel (9.96) UW,max =

pmax · DF 256,67 MPa · 40 mm 2 2 = · · = 106,47 µm 2 E 210 000 MPa 1 − QA 1 − 0, 2862

Glättung der Rauheit: Formel (9.97) im Lehrbuch, Formel (9) in der Norm. Umax = UW,max + G = UW,max + 0, 8 · (RzA + RzI ) = 106,47 µm + 0, 8 · (16 µm + 16 µm) ≈ 132 µm Dieses Übermaÿ stellt eine obere Grenze dar, die die Passung nicht überschreiten darf, da sonst der Werkstoff versagt.

c) Wahl der Passung: Nachdem die obere und untere Grenze des Übermaÿes bestimmt wurden, gilt es eine Passung zu wählen, bei der die vorhandenen Übermaÿe innerhalb dieser Grenzen liegen. Dazu muss folgende Bedingung erfüllt sein: Umin < Umin,ist < Umax,ist < Umax Prinzipielle könnte jetzt eine Passung durch ausprobieren ermittelt werden, die diese Bedingung erfüllt. Die DIN 7190 steckt einige Randbedingungen ab, mit der eine einfachere Auswahl der Passung getroffen werden kann. In Absatz 7 der DIN 7190 ndet sich folgendes:

Abbildung 3: Vorschlag des Passsystems für Pressverbände nach DIN 7190 Mit dem Fügedurchmesser DF = 40 mm gilt: - das Toleranzfeld der Nabe ist H7 - das Toleranzfeld der Welle erhält die Toleranzklasse IT6

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Folgende Begrifichkeiten werden verwendet (vergleiche dazu Skript Kapitel 4 aus GKT1): AoW (obere Abmaÿ der Welle), AuW (unteres Abmaÿ der Welle), AoN (oberes Abmaÿ der Nabe), AuN (unteres Abmaÿ der Nabe). Nach DIN EN ISO 286-1 bedeutet das für die Nabe: - AuN = 0 µm (Einheitsbohrung) und Toleranzfeld 25 µm - AoN = AuN + 25 µm = 25 µm → H7 bei 40 mm heiÿt 400+25 Für die Welle gilt: Mit der Toleranzklasse IT6 bei 40 mm beträgt die Maÿtoleranz 16 µm (AoW − AuW ). Nun weiÿ man, dass die Differenz von AoW − AuW = 16 µm sein muss, jedoch nicht wo dieses Toleranzfeld angesetzt werden muss, um das Übermaÿ zu erzeugen. Es gibt zwei Extremfälle: - Die Welle ist am unteren Abmaÿ, die Nabe am oberen → lockerster Fall (AoN − AuW ), für Umin - Die Welle ist am oberen Abmaÿ, die Nabe am unteren → engster Fall (AuN − AoW ) für Umax Jetzt hilft ein einfacher Trick, in dem der lockerste Fall betrachtet wird. Das minimal notwendige Übermaÿ ist laut Aufgabenteil a) Umin = 39 µm. Um dieses Übermaÿ zu erzeugen, muss das untere Abmaÿ der Welle (AuW ) mindestens so groÿ wie dieser Wert sein, im Fall dass die Nabe an ihrem untere Abmaÿ (AuN ) von 0 µm. Ist die Nabe jedoch an ihrem oberen Abmaÿ (AoN ) von 25 µm müssen diese 25 µm noch dazu addiert werden. Daraus folgt: AuW,min > Umin + AoN = 39 µm + 25 µm = 64 µm Nun lässt sich mithilfe der DIN ISO EN 286-1 in Tabelle 4 ein unteres Abmaÿ bestimmen, was mindestens so groÿ ist wie AuW,min . Bei dem Wellendurchmesser von 40 mm ist dies beim Grundtoleranzgrad v6 gegeben (AuW = 68 µm). Das obere Abmaÿ der Welle lässt sich mithilfe der Toleranzfeldgröÿe IT6 zu AoW = 68 µm + 16 µm = 84 µm bestimmen. Zusammenfassend heiÿt das für die gewählte Passung 40 H7/v6: +84 - Welle: 40v6 → 40+68

- Nabe: 40H7 → 400+25 Nun muss noch geprüft werden, ob das maximale und minimale Übermaÿ dieser Passung im Intervall der minimal und maximal errechneten Übermaÿe liegen. Umin,ist = |AoN − AuW | = |25 µm − 68 µm| = 43 µm Umax,ist = |AuN − AoW | = |0 µm − 84 µm| = 84 µm Somit ist die Bedingung Umin < Umin,ist < Umax,ist < Umax erfüllt.

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d) Temperatur: Nachdem die Passung bekannt ist, muss bestimmt werden, wie die beiden Teile zusammen gefügt werden können. Die Nabe kann erwärmt oder auch die Welle abgekühlt werden. In der vorliegenden Aufgabe soll nur die Nabe erwärmt werden und die Welle bleibt bei Raumtemperatur. Die Rechenvorschriften nden sich nicht im Lehrbuch, sondern sind der DIN 7190 bzw. auch dem Übungsbuch in Kapitel 9.4 zu entnehmen. Zunächst muss das Fügespiel Usϑ bestimmt werden, welches wie folgt berechnet wird: Fügespiel (Gleichung 50 in der Norm): Usϑ = 0, 001 · DF = 0, 001 · 40 mm = 0,04 mm Das Übermaÿ UF , welches es zu fügen gilt, setzt sich aus dem Fügespiel und dem maximal vorhandenen Übermaÿ Umax,ist = Ug = 84 µm zusammen (Gleichung 51 in der Norm): UF = Ug + Usϑ = 0,084 mm + 0,04 mm = 0,124 mm Die Fügetemperatur ermittelt sich wie folgt (Formel 52 in der Norm): ϑA,erf = ϑR +

UF αI · (ϑI − ϑR ) + αA αA · DF

Wobei αA den Wärmeausdehnungskoefzient des Auÿenteils sowie αI den Wärmeausdehnungskoefzient des Innenteils bezeichnet und ϑI die Temperatur des Innenteils sowie ϑR die Raumtemperatur. Da die Welle weder erwärmt noch abgekühlt wird, gilt ϑI = ϑR und es ergibt sich für die notwendige Fügetemperatur: ϑA,erf = ϑR +

0,124 mm UF = 20 ◦C + = 20 ◦C + 281,81 K = 301,81 ◦C 11 · 10−6 K −1 · 40 mm αA · DF

Nach DIN 7190 Tabelle 7 soll die Temperatur für randschichtgehärtete Stähle nicht über 250 ◦C liegen. Für vergütete Stähle nicht über 300 ◦C. Die erforderliche Temperatur liegt knapp über den Richtwerten, so dass geprüft werden sollte welche Wärmebehandlung die Nabe erfahren hat und ob sie in diesen Temperaturbereich erwärmt werden darf.

e) Axialkraft: Nun gilt es zu prüfen, wie groÿ das Übermaÿ mindestens sein muss, wenn neben dem Drehmoment eine zusätzliche Axialkraft die Verbindung belastet. Dies erfolgt ähnlich zu Aufgabenteil a) indem der Umfangskraft, erzeugt durch das Drehmoment, eine Axialkraft vektoriell dazu addiert wird. Somit lässt sich ein neuer Mindestfugendruck ermitteln, der notwendig ist damit die Verbindung nicht durchrutscht. Dieser muss wiederrum unter dem maximal zulässigen Fugendruck liegen. Das ermittelte neue notwendige Mindestübermaÿ sollte von der bereits gewählten Passung erfüllt werden. Ist dieses nicht der Fall, müsste eine neue Passung gewählt werden. Somit gilt es zu prüfen, ob pmin,ax < pmax und ob Umin,ax in der Passungstoleranz liegt:

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pmin

SR · = µ · π · DF · lF =

s

Fax 2 +

4 · Mt 2 DF 2 s

1, 5 · 0, 14 · π · 40 mm · 40 mm

(8660 N)2 +

4 · (300 N m)2 = 36,92 MPa 0,04 m2

Somit sind UW,min = 15,3 µm und Umin,ax ≈ 41 µm (Berechnung analog zu a) und b) ) Das passt, da Umin,ist > Umin,ax und pmin,ax = 36, 92M P a < pmax . Somit ist die gewählte Verbindung geeignet auch die Axialkraft zu übertragen.

Anmerkungen: In dieser Aufgabe sind die Rauheit, Haftreibungskoefzienten, etc. vorgegeben. Dies sind spezielle vorgegebene Werte für diese Aufgabenstellung. Im Allgemeinen nden sich diese Informationen z.B. in der DIN 7190 (Reibungsbeiwerte für verschiedene Paarungen Tabelle 3 und 4, Ausdehnungsgröÿen Tabelle 6, Rauheit. . . ). In dieser Aufgabe ist der Koefzient für die Haftreibung relativ groÿ (trockene Reibung), die Sicherheit gegen Rutschen relativ gering. Diese und andere Gröÿen sind Stellschrauben um eine optimale Verbindung zu gestalten.

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