Kurs Prawdopodobieństwo - wzory PDF

Preview

Summary

Przydatne materiały...

Description

Kurs Prawdopodobieństwo Wzory Elementy kombinatoryki

„Klasyczna” definicja prawdopodobieństwa P  A  gdzie:

A - liczba zdarzeń sprzyjających A

 - liczba wszystkich zdarzeń

eTrapez Usługi Edukacyjne E-learning Krystian Karczyński www.etrapez.pl Tel. 603 088 274

 

Prawdopodobieństwo – definicja Kołmogorowa  - zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych

S – „sigma-ciało” na zbiorze  , czyli zbiór jego podzbiorów spełniający warunki: 1)   S 2)  S    S 

3) 1 , 2 , 3 ,...  S  1  2  3 ...  U n  S n 1

P – funkcja o argumentach ze zbioru S i wartościach będących liczbami rzeczywistymi, spełniająca warunki („aksjomaty”): 1.

 P    0

S

2. P    1 3. P  1   2   3 ...  P  1   P   2   P  3   ... - dla zdarzeń parami rozłącznych, tzn.

   i

j

  dla i  j 

Wartości funkcji P  A możemy nazywać „prawdopodobieństwem”

Własności prawdopodobieństwa 1. P    0,1  2. P    0 3.     P    P   4. P    1 P   5.     P   \   P    P   6. P      P     P    P    

Niezależność zdarzeń Zdarzenia A i B są niezależne, gdy:

P      P    P  

Prawdopodobieństwo warunkowe Prawdopodobieństwo warunkowe zajścia zdarzenia A pod warunkiem zajścia zdarzenia B oznaczamy jako P   |   i liczymy ze wzoru:

eTrapez Usługi Edukacyjne E-learning Krystian Karczyński www.etrapez.pl Tel. 603 088 274

P  |   

P    P  

Prawdopodobieństwo całkowite i wzór Bayesa Zakładając, że i  j    dla i  j  i P  1   P   2   ...  P  n   1: Prawdopodobieństwo całkowite P    P  1  P   1   P  2  P  2  ...  P n  P  n 

Wzór Bayesa

P  i   

P  i  P   i  P  

Schemat Bernoulliego Prawdopodobieństwo zajścia k „sukcesów” w n niezależnych i identycznych doświadczeniach, z których każde może zakończyć się tylko na dwa sposoby (z prawdopodobieństwami p dla „sukcesu” i q dla „porażki”) wynosi: n  P  S  k     pk qn k k 

eTrapez Usługi Edukacyjne E-learning Krystian Karczyński www.etrapez.pl Tel. 603 088 274

Zmienne losowe Dyskretne zmienne losowe Rozkład

p

i

1

Dystrybuanta

F  x  P  X  x Wartość oczekiwana

EX   xi pi Mediana x0,5 , Me Wartość zmiennej losowej, dla której skumulowane prawdopodobieństwa „przekraczają”

1 2

Dominanta, moda D Wartość zmiennej losowej osiągana z największym prawdopodobieństwem Kwantyl rzędu p x p Wartość zmiennej losowej, dla której skumulowane prawdopodobieństwa „przekraczają” p Wariancja D2  X  , 2 D2  X     xi  EX  pi , D2  X   EX n   EX  2

n

Odchylenie standardowe D  X  ,

D  X   D2  X  Współczynnik zmienności V V

D X  E X 

eTrapez Usługi Edukacyjne E-learning Krystian Karczyński www.etrapez.pl Tel. 603 088 274

Moment zwykły n-tego rzędu EX n,  n

EX n   xin pi Moment centralny n-tego rzędu n

n    xi  EX  pi n

Współczynnik asymetrii

1 

3

 D  X 

3

Współczynnik koncentracji

K

4

 D  X 

4

Przykłady rozkładów dyskretnych zmiennych losowych Rozkład Bernoulliego W rozkładzie Bernoulliego prawdopodobieństwa określane są ze wzoru: n P  X  k     p kq n k k  EX  np

D  X   npq 2

Rozkład Poissona W rozkładzie Poissona prawdopodobieństwa określane są ze wzoru:

P X k  

k k!

e 

EX   D2  X    Dla dużych n i małych p rozkład Bernoulliego można zastępować rozkładem Poissona

eTrapez Usługi Edukacyjne E-learning Krystian Karczyński www.etrapez.pl Tel. 603 088 274

Rozkład hipergeometryczny W rozkładzie hipergeometrycznym prawdopodobieństwa określane są ze wzoru:

 M  N  M      k n k  P  X  k     N    n Gdzie N to ilość wszystkich elementów w populacji, M to ilość wszystkich elementów w populacji o określonej cesze, n to ilość elementów w próbce, k to ilość elementów w próbce o określonej cesze EX 

M n N

D2 X  n 

M M Nn 1  N  N  N 1

Dla dużych N i M, oraz

M  p rozkład Bernoulliego można zastępować rozkładem N

hipergeometrycznym.

eTrapez Usługi Edukacyjne E-learning Krystian Karczyński www.etrapez.pl Tel. 603 088 274

Ciągłe zmienne losowe Funkcja gęstości

f x b

P  a  X  b    f  x  dx a



 f  x  dx  1



Dystrybuanta F  x  P  X  x 

x

 f  t  dt



Wartość oczekiwana 

EX 

 xf  x  dx



Mediana x0,5 , Me Wartość x0,5 , dla której F  x0,5   0,5 Dominanta, moda D Maksimum globalne funkcji gęstości f  x  Kwantyl rzędu p x p Wartość x p , dla której F  x p   p Wariancja D2  X  , 2 

D

2

 X     x  EX 2 f  x dx , D2  X   EX n   EX 

n



Odchylenie standardowe D  X  ,

D  X   D2  X 

eTrapez Usługi Edukacyjne E-learning Krystian Karczyński www.etrapez.pl Tel. 603 088 274

Współczynnik zmienności V V

D X  E X 

Moment zwykły n-tego rzędu EX n,  n 

 x f  x  dx

EX n  EX 

n



Moment centralny n-tego rzędu n 

n    x EX  f  x dx n



Współczynnik asymetrii

1 

3

 D  X 

3

Współczynnik koncentracji

K

4

 D  X 

4

Przykłady rozkładów ciągłych zmiennych losowych Rozkład normalny W rozkładzie normalnym prawdopodobieństwa określane są z funkcji gęstości o wzorze:

1 e f x    2

 x  m  2

2

2

EX  m D2  X    2 Standaryzacja rozkładu normalnego: Z

X m



eTrapez Usługi Edukacyjne E-learning Krystian Karczyński www.etrapez.pl Tel. 603 088 274

Rozkład jednostajny W rozkładzie jednostajnym prawdopodobieństwa określane są z funkcji gęstości o wzorze:  1 w przedziale x  a, b  f  x   b  a 0 dla pozostalych x 

Rozkład wykładniczy W rozkładzie wykładniczym prawdopodobieństwa określane są z funkcji gęstości o wzorze:  1 x  e dla x  0 f  x     0 dla x  0

EX   D2  X   

eTrapez Usługi Edukacyjne E-learning Krystian Karczyński www.etrapez.pl Tel. 603 088 274

Zmienne losowe dwuwymiarowe Dyskretne zmienne losowe dwuwymiarowe Rozkład

Rozkłady brzegowe

 p , p i.

.j

j

i

Prawdopodobieństwo warunkowe





P X  xi Y  y j 

p ij p. j

, P Y  yj X  xi  

pij pi.

Niezależność zmiennych losowych Dwie zmienne losowe X i Y nazywamy niezależnymi, gdy:  P  X  xi , Y  y j   P  X  xi   P Y  y j

i, j



Dystrybuanta F  x, y   P  X  x, Y  y     p ij xi  x y j  y

Wartości oczekiwane Wartości oczekiwane EX , EY liczymy z rozkładów brzegowych Wariancje Wariancje D2  X  D2  Y  , liczymy z rozkładów brzegowych.

eTrapez Usługi Edukacyjne E-learning Krystian Karczyński www.etrapez.pl Tel. 603 088 274

Kowariancja

C  X , Y     xi  E  X    y j  E Y  pij i

j

Współczynnik korelacji



C X ,Y  D  X   D Y 

Jeśli   0 zmienne losowe nazywamy „nieskorelowanymi”. Nie oznacza to jednak, że są niezależne. Jeśli jednak zmienne losowe są niezależne, to na pewno   0 .

eTrapez Usługi Edukacyjne E-learning Krystian Karczyński www.etrapez.pl Tel. 603 088 274

Ciągłe zmienne losowe dwuwymiarowe Funkcja gęstości

f  x, y  b d

P  a  X  b, c  Y  d     f  x, y  dydx a c

 

  f  x, y  dydx  1

 

Rozkłady brzegowe f1  x  





 f  x, y  dy , f  y    f  x, y  dx 2





Rozkłady warunkowe f X Y  

f  x, y  f  x, y  , f Y X   f 2y f 1 x 

Niezależność zmiennych losowych Dwie zmienne losowe X i Y nazywamy niezależnymi, gdy dla dowolnych x i y:

f  x, y   f1  x  f 2  y Dystrybuanta F  x, y  P  X  x, Y  y  

x

y

  f  u, v dudv

 

Wartości oczekiwane E X  



 xf  x  dx 1



E Y  



 yf  y  dy 2



eTrapez Usługi Edukacyjne E-learning Krystian Karczyński www.etrapez.pl Tel. 603 088 274

Wariancje D2  X  



  x  EX  f x dx 2

1



D2 Y  



  y  EY 

2

f 2 y dx



Kowariancja C  X ,Y  

 

   x  E  X    y  E Y  f  x , y  dxdy

 

Współczynnik korelacji



C X ,Y  D  X   D Y 

Jeśli   0 zmienne losowe nazywamy „nieskorelowanymi”. Nie oznacza to jednak, że są niezależne. Jeśli jednak zmienne losowe są niezależne, to na pewno   0 .

eTrapez Usługi Edukacyjne E-learning Krystian Karczyński www.etrapez.pl Tel. 603 088 274...