L1 1 - Lösung zur 1. Übung TM1: Trigonometrie PDF

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Lösung zur 1. Übung TM1: Trigonometrie...

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Technische Mechanik 1

0-1

Prof. Dr. Wandinger

Trigonometrie Lösungen Aufgabe 1 Ein Winkel muss mit dem Kosinussatz berechnet werden. Die anderen Winkel können dann einfacher mit dem Sinussatz ermittelt werden.

C

c 2=a 2b 2−2a b c os   a 2+ b 2−c 2 → c os (γ)= 2a b

γ

b

Kosinussatz für den Winkel γ :

α A

a β

c

B

Sinussatz für den Winkel α: a s i n(α) s i n(γ) i n(γ) → s i n(α)= s = c c a Sinussatz für Winkel β: b s i n(β) s i n(γ) → s i n(β)= s = i n(γ) c b c Zahlenwerte 2 2 42+5 −6 5 1 c os (γ)= = = =0 , 1 25→ γ=82 , 8 2° 2 ⋅4 ⋅5 4 0 8

2 4 , 9 92 2=0 , 6 61 4 → α=41 , 41° i n(8 2, 8 2°)= ⋅0 s i n(α)= ⋅s 3 6 5 5 s i n(β)= s i n(8 2, 8 2°)= ⋅9 , 9 92 2=0, 8 26 8 → β= 55 , 77° 6 6 2, 8 2°+ 41 , 41°+55 , 77°=1 80° Probe: 8

Trigonometrie

20.02.17

Technische Mechanik 1

0-2

Prof. Dr. Wandinger

Aufgabe 2 Winkel α Für den Abstand LAB der Punkte A und B gilt: hB s i n 

Kosinussatz im Dreieck ACB: 2

2 AB

hB

2 AC

os   H =L L −2L AC L AB c

β

Daraus folgt für den Winkel γ :

γ

AC

B

L

L AB s i n =h B  L AB=

C H

α

A

2 2 2 L AB  L AC −H c os  = 2L AC L AB

Der Winkel αberechnet sich zu =1 80°−− . Länge LED Dreieck AEF ist ein rechtwinkliges Dreieck. Daher gilt L AE =  h E D AE 2

D

L ED

2

E hE

L

ε

AE

δ

=1 80°−−

α

A

F

Damit lässt sich der Winkel εberechnen:

AD

hE t a n = . D AE

L

und

DAE

Aus dem Kosinussatz im Dreieck ADE folgt: 2 2 os  L ED=  L AD L AE −2L AD L AE c

Zahlenwerte L AB =

Trigonometrie

0 , 8m =0 , 8 28 2m s i n(7 5°)

20.02.17

Technische Mechanik 1

0-3

Prof. Dr. Wandinger

2 2 0, 8 28 22m2+22m2−1 , 5m c os (γ)= =0 , 7 35 3 → γ= 42 , 67° 2 ⋅0 , 82 82m⋅2m

=1 80°−75°−4 2, 6 7°=62 , 33°

L AE = √ 2m +3m =3 , 60 6m 2

t a n(δ )=

2

2

2

2m =0, 6 66 7 → δ= 3 3, 6 9° 3m

=1 80°−33 , 69°−62 , 33°=83 , 98° 2 2 L ED= √ 5 3m2−2 ⋅5m⋅3 , 60 6m⋅c os (8 3, 9 8°)=5, 8 50m m +1

Trigonometrie

20.02.17...