TM1 LV 3 Kraeftegleichgewicht PDF

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Kräftegleichgewicht...

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Technische Mechanik I - Statik

Inhalt LV 3: Lösung LGS – Kräftegleichgewicht .................................................................................................. 1 Einschub: Lösung linearer Gleichungssysteme (LGS) - Gauß............................................................... 1 1.4.

Gleichgewicht von Kräften mit gemeinsamen Angriffspunkt ................................................. 6

LV 3: Lösung LGS – Kräftegleichgewicht

Einschub: Lösung linearer Gleichungssysteme (LGS) - Gauß Bsp: Bestimmungsgleichung 1:

    

Bestimmungsgleichung 2:

    

Ges: Kräfte F1 und F2

Erlaubte Äquivalenzumfomungen eines Gleichungssystems: Die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems ändert sich nicht, wenn (1) 2 Gleichungen vertauscht werden (2) Eine Gleichung mit einer reellen Zahl k ≠ 0 multipliziert wird (3) Eine Gleichung zu einer anderen Gleichung addiert wird

Mögliche Lösungsverfahren für LGS  Eliminationsmethode  Additionsverfahren  Gauß’scher Algorithmus  Determinatenverfahren (Basis dafür Matrizenrechnung)

Veranstaltung 3

Seite 1

Technische Mechanik I - Statik Additionsverfahren Anwendung auf das Beispiel Schritt 1: - Multiplikation von Gl 1 mit (-5) - Multiplikation von Gl 2 mit 2 GL 1:      GL 2:      Schritt 2: - Beibehaltung von GL 1 - Addition von GL 1 und GL 2 ergibt neue GL 2 - Entstehung eines Dreieckssystems GL 1:      GL 2:    Dreieckssystem Schritt 3: - GL 2 enthält nur noch eine Variable (F2) - Berechnung der unbekannten F2 aus GL 2: GL 2:   

Schritt 4: - Einsetzen der Teillösung aus Schritt 3 in GL 1 liefert die zweite unbekannte Kraft F1: GL 1:        

GL 1:       

 Liegt ein LGS in einer Dreiecksgestalt vor, lässt es sich einfach durch „Aufrollen“ von unten nach oben lösen!

Bsp:                

Veranstaltung 3

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Technische Mechanik I - Statik Schritt 1: - GL 3 auflösen nach F3 liefert die Kraft F3 zu:    Schritt 2: - Einsetzen von F3 in GL 2 und auflösen nach F2 liefert die Kraft F2 zu:         Schritt 3: - Einsetzen von F3 und F2 in GL 1, auflösen nach F1 liefert die Kraft F1 zu:          

Gauß’sche Algorithmus Gauß (Mathematiker 1777-1855)  Systematisches Verfahren zur Lösung von LGS  Andere Bezeichnung: Gauß’sches Eliminationsverfahren  Basis numerischer Verfahren Grundidee:  Umformen des LGS mit Hilfe von Äquivalenzumformungen in ein Dreieckssystem  Lösung durch „Aufrollen“ von unten

Bsp:                     

Schritt 1.1: - Beibehaltung der 1. Gleichung als GL1

Veranstaltung 3

Seite 3

Technische Mechanik I - Statik Schritt 1.2: - Multiplikation von Gl 1 mit (-2) - Multiplikation von Gl 2 mit 3 - Addition dieser beiden resultierenden Gleichungen liefert die neue GL 2 Schritt 1.3: - Multiplikation von Gl 1 mit 5 - Multiplikation von Gl 3 mit 3 - Addition dieser beiden resultierenden Gleichungen liefert die neue GL 3                  Schritt 2.1: - Beibehaltung der 1. Gleichung als GL1 - Beibehaltung der 2. Gleichung als GL 2 Schritt 2.2: - Multiplikation von Gl 2 mit (-7) - Multiplikation von Gl 3 mit 2 - Addition dieser beiden resultierenden Gleichungen liefert die neue GL 3                 Schritt 3: - Bestimmung der einzelnen Kräfte durch „Aufrollen“ von unten -    -    -   

Kurzschreibweise des Gaußalgorithmus: Angewendet auf das obige Bsp:                     

→

           

→

            

Durchführen von Schritt 1:                  Veranstaltung 3

Seite 4

Technische Mechanik I - Statik Durchführen von Schritt 2:                

→

           

Durchführen von Schritt 3:         

→

GL 3:    ;    GL 2:     ;   GL 1:        ;   

Alternative zum „Aufrollen“ von Unten (Schritt 3): Überführung des Dreieckssystems durch Äquivalenzumformungen in eine Diagonalform: Schritt 3.1 – NEU: - Beibehaltung von GL3 - Multiplikation von GL 2 mit -9 - Multiplikation von GL 3 mit 5 - Addition dieser so entstandenen Gleichungen zu einer neuen GL2 Schritt 3.2: - Multiplikation von GL 1 mit -9 - Multiplikation von GL 3 mit 2 - Addition dieser so entstandenen Gleichungen zu einer neuen GL1             

→

          

→

  

Schritt 4: - Beibehaltung von GL 2 und GL 3 - Multiplikation von GL 1 mit -2 - Addition mit GL2           

       

Schritt 5: - GL1: Division durch 54 - GL2: Division durch -54 - GL3: Division durch 9 Veranstaltung 3

Seite 5

Technische Mechanik I - Statik

          

           

→

Schritt 6: - Ablesen der Lösungen:

        

Hausaufgaben: Lösen Sie die folgenden LGS mittels des Gaußalgorithmus         a)              

       b)              

                     c)                    

1.4. Gleichgewicht von Kräften mit gemeinsamen Angriffspunkt Gleichgewicht herrscht, wenn sich alle Kräfte gegenseitig aufheben, d.h. die resultierende Kraft Null ist. Grafische Lösung (ebene Probleme): F2

Lösung mittels Krafteck:

y

F3 F1

F2

x F1

F3

Veranstaltung 3

Seite 6

Technische Mechanik I - Statik Rechnerische Lösung: Vektoriell:

                           

Ein Vektor ist Null, wenn jeder seiner Komponenten Null ist (skalar): Komponente in x-Richtung:



!   !  !  !  "  !   # !    



!    $%& '    $%& '    $%& '   "   $%& '  #  $%& '     

Komponente in y-Richtung: 

(   (  (  (  "  (   # (    



(    &)* '   &)* '    &)* '  "   &)* '   #  &)* '     

 2 Gleichgewichtsbedingungen in der Ebene: 



  

  

# !  +#  $%& '    # (  +#  &)* '   

 

 

 Lineares Gleichungssystem

Beispielaufgaben: Berechnung von Kräften B. 1.4/1: Hängekonstruktion mit Rolle  Geg: m=1000kg  Ges: F s1 und Fs2  Ges: Kräfte in den Auflagern A und B

A

60°

60° Fs

Veranstaltung 3

45°

B

O

1000 kg Seite 7

Technische Mechanik I - Statik Lösung: a) Resultierende Kraft auf der Rolle:

Fg = 9810 N

Fs = F

Satz: Am Rollenumfang wirkende Kräfte dürfen parallel zu sich in den Rollenmittelpunkt verschoben werden!

b) Bestimmung der Stabkräfte Knotenpunkt „0“ freischneiden: y

F s1

Fs2

, =60°

,=45°

x

F= 9810 N Fg= 9810 N Grafische Lösung:

Veranstaltung 3

Seite 8

Technische Mechanik I - Statik Abgelesene Stab- und Auflagerkräfte:

Rechnerische Lösung zur Bestimmung der beiden unbekannten Stabkräfte: Kräftegleichgewicht bilden: 1. In x-Richtung: 



 

 

# !    #  $%& '   - $%& .  - $%& .  / $%& .

2. In y-Richtung: 



 

 

# (    #  &)* '  - &)* .  - &)* .  / &)* .  /

Kräftegleichgewicht liefert 2 lineare Gleichungen mit 2 Unbekannten. Umsortieren und Berechnung der Sinus und Cosinusglieder liefert:    -  -  /  0  0 0 -  -  /1  2   0 Lösung mittels Gauß: Schritt 1: Umschreiben in Kurzform und Multiplikation beider Gleichungen mit 2: /  0 0 01  02

Veranstaltung 3

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Technische Mechanik I - Statik Schritt 2: -

Beibehaltung GL1 Multiplikation von Gl1 mit 0 und Addition von GL1 und GL2

/  0  30  40/10  2

Schritt 3: -

Berechnung von Fs2:

- 

567 0

Schritt 4: -

Einsetzen von Fs2 in GL1: Liefert:

-   0

 8/

567  0

-  /

/

Berechnung der Auflagerkräfte Was wirkt in diesem Lager? - Kräfte in x und y Richtung - Momentenfrei, da gelenkig gelagert Verabredung: - Fx und Fy sind nicht die skalaren Komponenten der Kraft F (Fx und Fy haben einen Richtungssinn!) – Deren Beträge entsprechen den skalaren Komponenten - Der Richtungssinn wird durch die Freischnittskizze festgelegt - Ergibt die Rechnung für den Betrag einer Kraftkomponente einen negativen Wert, so bedeutet dies, dass der wahre Richtungssinn dieser Komponente dem angenommenen Richtungssinn (Pfeilrichtung in der Zeichnung) entgegengesetzt ist - Ein einmal festgelegter Richtungssinn wird während der Rechnung nie geändert (auch wenn die Rechnung einen negativen Wert ergibt!)

Veranstaltung 3

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Technische Mechanik I - Statik Lagerpunkt „A“ freischneiden: FAy FAx

Fs1 Aufstellen der Kräftegleichgewichte:   9!  - $%& .  :  9!  /  8  /   9(  - &)* .  :  9(  /  

0  8/ 

Lagerpunkt „B“ freischneiden: FBy FBx Fs2

Aufstellen der Kräftegleichgewichte:   ;!  - $%& .  :  ;!    9(  - &)* .  :  ;( 

Veranstaltung 3

/ 00

/ 00

  /   /

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Technische Mechanik I - Statik B. 1.4/2: Fachwerkausleger mit Laufkatze 2

30° 1

5

30° 3

4

F=20 kN  Geg: F=20N  Ges: alle Stabkräfte Fsi

Vorgehen: Freischneiden aller Knoten

Knoten 1:

Knoten 2:

Veranstaltung 3

Seite 12

Technische Mechanik I - Statik

Knoten 3:

Knoten 4:

Knoten 5:

Veranstaltung 3

Seite 13...